Wilson: ímãs, rede e laços de Wilson

Kenneth Wilson, em Cornell, estudava materiais perto de transições de fase. Em 1974 ele levou a ideia à QCD, num artigo chamado simplesmente “Confinamento de quarks”: trocar o espaço-tempo por uma grade e construir tudo com grandezas que não dependem da escolha de gauge.

Wilson e os ímãs: o grupo de renormalização

Num ímã, cada átomo é uma pequena bússola que flutua com a temperatura. Longe da temperatura crítica cada bússola só “conversa” com as vizinhas; perto dela o comprimento de correlação cresce, e flutuações pequenas arrastam regiões cada vez maiores, até que todas as escalas importam ao mesmo tempo. A ideia de Wilson foi descrever o sistema uma escala de cada vez: agrupe bússolas vizinhas, troque cada grupo por uma bússola efetiva, repita. Acompanhar como os parâmetros mudam com a escala é o grupo de renormalização (Nobel de 1982; os detalhes de Callan–Symanzik em Grupo de renormalização).

Um modelo de Ising 128×128 simulado de verdade (aglomerados de Wolff). Cada painel seguinte troca blocos 2×2 por um único spin, pela regra da maioria: é a transformação de Kadanoff. Abaixo de Tc o agrupamento converge para ordem (ponto fixo de temperatura zero); acima, apaga a estrutura (ponto fixo de temperatura infinita); exatamente em Tc=2/ln⁡(1+2)≈2,269 os painéis parecem estatisticamente iguais: o ponto fixo crítico. O limite do contínuo de uma teoria de campos é uma trajetória que sai de um ponto fixo assim; para Yang–Mills, o ponto fixo é o gaussiano g=0.

A versão de Wilson (integrar escalas) e a de campo contínuo (mudar μ com a teoria fixa) do mesmo fato. O widget de Ising acima é uma implementação literal do passo 1.

Transformação de bloco Agrupe sítios em blocos de lado b e defina variáveis de bloco (spin majoritário, média de elos). A distribuição das variáveis de bloco é de novo de Gibbs, com acoplamentos novos: e−S′[Φ]=∫Dϕ Pb(Φ ∣ ϕ) e−S[ϕ],K′=Rb(K),RbRb′=Rbb′. Em geral S′ tem infinitos termos (vizinhos distantes, plaquetas maiores). Rb é um mapa no espaço de todas as ações.

Pontos fixos O comprimento de correlação em unidades da rede encolhe: ξ(K′)=ξ(K)/b. Num ponto fixo K∗=Rb(K∗) vale ξ=ξ/b, logo ξ∈{0,∞}. Pontos fixos não triviais são críticos.

Linearização e dimensões de escala Perto de K∗: δKi′=∑jMijδKj. Nos autovetores uα, uα′=byαuα: yα>0 relevante,yα<0 irrelevante,yα=0 marginal. Universalidade: só as direções relevantes (poucas) importam a longas distâncias; o resto da ação nua é esquecido.

Expoente ν Com uma direção relevante t (temperatura reduzida): ξ(t)=b ξ(bytt). Escolha b=∣t∣−1/yt: ξ(t)=∣t∣−1/yt ξ(±1) ⟹ ν=1yt. Ising 2D: yt=1, ν=1 (Onsager). Abaixo de Tc o fluxo vai para o ponto fixo ordenado; acima, para o desordenado. É o que o widget mostra.

O limite do contínuo é uma trajetória Uma teoria contínua com escala física ξfıˊs=a ξrede fixa exige ξrede→∞ quando a→0: os acoplamentos nus precisam ser ajustados em direção a um ponto fixo. A teoria contínua é a trajetória renormalizada que sai do ponto fixo ao longo das direções relevantes.

Callan–Symanzik No contínuo: funções de Green nuas G0(n)(p;g0,Λ)=Zn/2G(n)(p;g,μ). As nuas não sabem de μ: μddμG0(n)=0 a g0,Λ fixos. Pela regra da cadeia, [μ∂∂μ+β(g)∂∂g+n γ(g)]G(n)(p;g,μ)=0,β=μ∂g∂μ,γ=12μ∂ln⁡Z∂μ.

Solução: o acoplamento corrente Por análise dimensional, G(n)(sp;g,μ) depende de s só via sμ. Combinando com a equação acima, a dependência em s é absorvida em gˉ(t), t=ln⁡s: dgˉdt=β(gˉ),gˉ(0)=g,G(n)(sp;g,μ)=s[G] e−n∫0tγ(gˉ) G(n)(p;gˉ(t),μ). Yang–Mills: β<0⇒gˉ(t)→0 para t→+∞. Em momentos grandes a teoria é efetivamente livre, e perturbação em gˉ é confiável.

Onde Yang–Mills cai nessa figura O ponto fixo é o gaussiano, g0=0, e g02 é marginalmente relevante: y=0 na linearização, mas o termo de segunda ordem (b0>0) o faz crescer logaritmicamente para o IR. Há uma única direção relevante: uma teoria contínua para cada SU(N), com escala Λ. A parte difícil é o trecho global da trajetória, do ponto fixo UV até o regime de acoplamento forte no IR, onde nenhuma linearização vale. Provar o gap é provar como essa trajetória termina.

Resultado. Rb, pontos fixos, u′=byu, ν=1/yt; [μ∂μ+β∂g+nγ]G=0 e gˉ(t). Para Yang–Mills, ponto fixo UV gaussiano com uma direção marginalmente relevante: a teoria contínua é única a menos da escala Λ.

Quando Wilson olhou para a QCD viu o mesmo quadro: acoplamento fraco a curtas distâncias, forte a longas. Os quarks pareciam livres de perto e nunca apareciam sozinhos; ficavam presos em hádrons. Ninguém conseguia calcular esse confinamento, porque a teoria de perturbação trata potências maiores do acoplamento como correções cada vez menores, e isso deixa de valer quando o acoplamento cresce.

A rede de Wilson

Wilson teve de lidar com a redundância de gauge: as três cores de um quark podem ser rotuladas de modo arbitrário, e esse rótulo pode girar independentemente em cada ponto. A saída usual é “fixar o gauge”; Wilson construiu tudo com grandezas que não dependem dessa escolha. Trocou o espaço-tempo por uma grade de espaçamento a. O campo de gauge fica nas arestas: cada aresta guarda uma matriz de SU(3) que diz como comparar as cores de um ponto com as do vizinho. Uma aresta sozinha depende do gauge; o produto das arestas ao longo de um caminho fechado não, porque as rotações nos pontos intermediários se cancelam. O traço desse produto é o laço de Wilson, e no menor laço possível, a plaqueta, ele mede a curvatura do campo. É exatamente o que o laboratório de U(1) da primeira seção mostra (veja também Discretização).

A rotação de Wick

Wilson também não usou o tempo comum. Na integral de Feynman cada história contribui com eiS, um número complexo que interfere com os outros, e não dá para tratar isso como probabilidade. Trocando o tempo real por imaginário, t=−iτ, o peso vira e−SE, real e positivo, e a teoria quântica de campos passa a ser um problema de mecânica estatística, igual ao de um ímã.

Plano do tempo. O contorno de integração gira do eixo real, Minkowski, até o eixo imaginário negativo: t=e−iθτ. Em θ=90∘, t=−iτ, a métrica vira euclidiana e o fator eiS vira e−SE, um peso de Boltzmann positivo. À direita, a parte real de e ieiθx2: as oscilações violentas, que se cancelam de modo frágil, viram uma gaussiana que decai.

Por que o sinal fica certo, por que a ação de Yang–Mills vira uma soma de quadrados, e por que o i0 de Feynman é exatamente a instrução de rotação.

A continuação t=−iτ, e−iHt=e−Hτ. O intervalo vira dt2−dx2=−(dτ2+dx2): a métrica (+,−,−,−) torna-se −δμν e o grupo de Lorentz, SO(4).

Escalar Com dt=−i dτ e ∂t=i ∂τ: iSM=i ⁣∫ ⁣dt d3x(12(∂tϕ)2−12(∇ϕ)2−V)=i(−i) ⁣∫ ⁣dτ d3x(−12(∂τϕ)2−12(∇ϕ)2−V)=−SE, SE=∫d4x(12(∂ϕ)2+V)≥0 se V é limitado inferiormente. eiSM (fase) vira e−SE (peso).

Campo de gauge Para que Aμdxμ continue covariante, A0 dt=A4 dτ, ou seja A0=iA4. Então Ei=F0i=iF4i e −14FaFa=12(E2−B2)=−12(F4i2+B2): iSM=i(−i) ⁣∫ ⁣dτ d3x(−12F4iaF4ia−12BaBa)=−14 ⁣∫ ⁣d4x FμνaFμνa=−SE. Soma de quadrados de todas as componentes: SE≥0, com zero só em conexões planas. É isso que torna e−SE candidato a densidade de probabilidade.

O i0 é a rotação No propagador ik02−ωk2+i0 os polos estão em k0=±(ωk−i0), no quarto e no segundo quadrantes; o primeiro e o terceiro estão livres. Gire o contorno de k0 no sentido anti-horário, k0=ik4, sem cruzar polos: ∫dk02π ik02−ωk2+i0=∫dk42π 1k42+ωk2=∫dk42π 1kE2+m2. Todo diagrama de Feynman em Minkowski é a continuação de um diagrama euclidiano, onde as integrais são reais, positivas e mais fáceis de majorar.

Mecânica estatística Z=∫Dϕ e−SE é uma função de partição clássica em 4 dimensões, com ℏ no papel de temperatura. Tempo euclidiano periódico de período βT dá Tr⁡e−βTH: temperatura finita. Por isso Monte Carlo, RG de Wilson e teoremas de probabilidade se aplicam diretamente.

Resultado. iSM→−SE, SEYM=14∫FμνaFμνa≥0, e a prescrição i0 é a rotação do contorno. A volta (de τ para t) é o que o teorema de Osterwalder–Schrader garante (reconstrução, na seção sobre as duas rotas de quantização).

Lei da área: o confinamento calculado

Coloque um quark e um antiquark a uma distância R e deixe-os parados por um tempo euclidiano T. Suas trajetórias formam os lados de um retângulo no espaço-tempo, e o laço de Wilson em volta dele mede a energia necessária para manter as cargas separadas. Com acoplamento forte a contribuição dominante vem das plaquetas que preenchem o interior, e o laço cai exponencialmente com a área.