Creutz, o Monte Carlo e o limite do contínuo

Michael Creutz percebeu que a rede de Wilson tinha transformado a teoria quântica num problema estatístico: cada configuração do campo recebe um peso positivo. Calcular a teoria exata exigiria somar todas as configurações, um número astronômico; mas um computador pode sortear configurações, passando mais tempo nas de peso grande, e estimar a integral inteira com médias sobre as amostras: o método de Monte Carlo.

Em 1979–80 Creutz simulou SU(2) puro. Em cinco dimensões viu a transição de fase esperada entre os regimes forte e fraco. Em quatro dimensões, com redes de até dez mil sítios, não viu transição: mantendo a tensão da corda fixa e refinando a rede, o acoplamento caía no ritmo previsto pela liberdade assintótica. Confinamento e liberdade assintótica pareciam coexistir. Era evidência numérica, não prova. O algoritmo (Metropolis, balanço detalhado) está explicado em Monte Carlo; abaixo, o caso em que dá para conferir tudo.

Algoritmo de Metropolis rodando no seu navegador: propõe-se mudar um elo θ→θ+δ e aceita-se com probabilidade min⁡(1,e−ΔS), S=−β∑Pcos⁡θP. Em 2D esta teoria tem solução exata, ⟨cos⁡θP⟩=I1(β)/I0(β) (derivada na seção sobre a rede), o que permite conferir a simulação. À esquerda, cada plaqueta colorida por cos⁡θP: azul, campo calmo; vermelho, campo intenso. Com β pequeno (acoplamento forte) o campo é caótico; com β grande ele se ordena, sem nenhuma transição no caminho. Pontos: medições com barra de erro; curva: resultado exato. Em 4D e com SU(3) este mesmo tipo de cálculo, em supercomputadores, produz o espectro de glueballs.

Como amostrar π(U)∝e−SW(U) num espaço com 4L4 cópias de SU(3), e por que o resultado é exato a menos de erro estatístico controlado.

Cadeia de Markov estacionária Um núcleo P(U→U′) deixa π invariante se ∑Uπ(U)P(U→U′)=π(U′). Condição suficiente (balanço detalhado): π(U) P(U→U′)=π(U′) P(U′→U). Somando em U e usando ∑UP(U′→U)=1, sai a estacionaridade.

Metropolis Proponha Uℓ′=XUℓ com X sorteado de uma distribuição simétrica (X e X−1 igualmente prováveis, perto de 1) e aceite com probabilidade min⁡(1,e−ΔS). Verificação para ΔS>0: π(U) q e−ΔS=e−S(U)Z q e−(S(U′)−S(U))=e−S(U′)Z q⋅1=π(U′) q min⁡(1,e+ΔS).

Localidade: os grampos Só as 2(d−1) plaquetas que contêm o elo ℓ mudam. Agrupando os outros três elos de cada uma num “grampo” Vℓ=∑grampos: Sloc=−βNRe⁡tr⁡(UℓVℓ),ΔS=−βNRe⁡tr⁡((Uℓ′−Uℓ)Vℓ). Custo O(1) por atualização. Para SU(2), eβ2Re⁡tr⁡(UV) pode ser amostrada exatamente (banho térmico de Creutz, 1980), aceitação 1.

Convergência Cadeia irredutível e aperiódica num espaço compacto: a distribuição converge para π (Perron–Frobenius / Harris). A taxa é o gap espectral do operador de transição: ∥Pnν−π∥≤Ce−n/τexp.

Erros com autocorrelação Para N medidas correlacionadas de O: Var⁡Oˉ≈σO2N 2τint,τint=12+∑t≥1ρO(t). Ignorar τint subestima as barras de erro. Desaceleração crítica: τ∝ξz, z≈2 para algoritmos locais; no limite do contínuo ξ/a→∞, o custo explode (por isso existem overrelaxation e fluxo de gradiente).

Teste contra o exato No U(1) 2D, a solução exata do bloco da ação de Wilson dá ⟨cos⁡θp⟩=I1(β)/I0(β). O widget de Monte Carlo acima compara a média medida pela cadeia com essa curva: é o teste mínimo de que balanço detalhado e erros estão corretos antes de confiar em 4D.

Resultado. Balanço detalhado ⇒ π∝e−S estacionária; Metropolis com grampos é local e barato; erros ∝2τint/N. Os números de rede são estimativas estatísticas de integrais bem definidas, não aproximações descontroladas; o que eles não fornecem é o limite a→0, L→∞ com cotas.

O limite do contínuo

Refinar a grade não é só desenhar quadrados menores. Se uma distância física, como o tamanho de um glueball, fica fixa enquanto o espaçamento a encolhe, ela passa a cobrir cada vez mais células: medido em unidades da rede, o comprimento de correlação diverge. É o comportamento de um ponto crítico, o que Wilson estudou nos ímãs, e só quando as correlações se estendem por arbitrariamente muitas células a grade se torna irrelevante.

Parece haver uma contradição: pela liberdade assintótica, quando a→0 o acoplamento vai a zero, e os glúons deixariam de interagir? A resposta é que a e g não são independentes. O acoplamento precisa cair num ritmo exato, amarrado ao espaçamento, de modo que a teoria tende a acoplamento zero na escala microscópica mas deixa para trás uma escala finita onde a interação é forte. É a transmutação dimensional vista de dentro da rede. Refine a rede e veja o acoplamento nu cair.

O círculo é um glueball, com tamanho físico fixo da ordem de 1/Λ. Cada célula da grade é uma plaqueta cujo campo flutua (cores). Diminuir a aumenta o número de células sobre o mesmo objeto físico; para que o tamanho físico não mude, o acoplamento nu precisa cair como manda a função beta: β=2N/g2≈Nb04π2ln⁡1aΛ (um laço, SU(3)). No limite, g→0 e o número de graus de liberdade vai ao infinito: é aí que uma prova precisa de cotas uniformes. Aqui Λ é a escala no esquema da rede (ΛL≈ΛMS‾/29 para SU(3)) e β vem da fórmula de um laço, ilustrativa: simulações reais usam β≈5,7 a 6,5 para a≈0,17 a 0,05 fm.

E há uma segunda questão. A rede de Wilson é só um jeito de regularizar: outra pessoa poderia escolher outra grade ou outra ação de curta distância. Se cada escolha desse física diferente, a construção definiria um modelo, não Yang–Mills. O grupo de renormalização ajuda de novo, com a universalidade: perto de um ponto crítico os detalhes microscópicos se apagam a cada mudança de escala, e construções diferentes chegam ao mesmo comportamento de grande escala.

Como a função beta fixa a relação entre o acoplamento nu e o espaçamento, e como isso vira um procedimento numérico (e por que ele ainda não é uma prova).

Física fixa, a variando Uma massa medida na rede é um número am. Para que m seja constante quando a→0, g0 deve depender de a. Com μ=1/a: adg0da=−β(g0)=+b0g0316π2+b1g05(16π2)2+… Diminuir a diminui g0: o limite do contínuo está em g0→0, β=2N/g02→∞.

Integração (dois laços) Pelo mesmo cálculo da transmutação dimensional (grupo de renormalização), com ΛL a escala no esquema da rede: a ΛL=(b0g0216π2)−b1/(2b02)exp⁡(−8π2b0g02)(1+O(g02)).

Em termos de β, para SU(3) b0=11, g02=6/β: o expoente é −8π2β66≈−1,196 β. Sem o fator de dois laços, a cai pela metade a cada Δβ≈ln⁡2/1,196≈0,58; o fator βb1/(2b02)=β0,42 torna o passo um pouco maior. Na prática, β≈5,7–6,5 cobre a≈0,17–0,05 fm, onde a escala assintótica ainda tem desvios visíveis.

Erros de discretização de Symanzik A ação de Wilson difere da contínua por operadores de dimensão 6 (bloco da ação de Wilson, passo 3), sem termos de dimensão 5 para gauge puro. Para uma razão adimensional: R(a)=am1am2=R0+c a2+O(a4, a2g02). Ajusta-se R contra a2 (por exemplo m0++/σ) e extrapola-se a2→0. É o procedimento que o widget de zoom na rede, acima, ilustra.

Volume finito Numa caixa periódica de lado L, com gap m, as correções a massas de estados ligados são exponencialmente pequenas, ∝e−c mL (Lüscher). Logo é preciso a≪1/m≪L: a janela útil cresce com L/a, e o custo cresce como (L/a)4×τint.

Por que isso não é prova Cada ponto é uma estimativa estatística em (a,L) finitos; a extrapolação assume a forma R0+ca2, que só é justificada se a teoria contínua existir e a expansão de Symanzik valer. A prova exigiria cotas uniformes em a e L para as funções de Schwinger e para o gap, com a ordem dos limites controlada: primeiro L→∞ a a fixo, ou conjuntamente. Isso é exatamente o que o programa de Balaban tenta (contagem de potências e Balaban, no módulo O problema de Yang–Mills).

Resultado. aΛL∼e−8π2/(b0g02), a cai pela metade a cada Δβ≈0,6 em SU(3), erros O(a2), efeitos de volume e−cmL. Numericamente sólido; matematicamente condicional.