Quantizar: os dois caminhos

Quantizar significa passar de uma única história clássica para uma soma sobre todas as histórias possíveis do campo, cada uma com um peso. O símbolo DA promete uma integral sobre um espaço de dimensão infinita, e defini-la com rigor é, em essência, o problema.

E há uma complicação final: mesmo que alguém construa a teoria dentro de uma caixa finita, o enunciado exige todo o R4. É preciso mostrar que tudo continua sob controle quando a caixa cresce sem limite, com o gap sobrevivendo. Jaffe e Witten observam que esse passo está além dos métodos atuais. Há dois caminhos tradicionais:

Construir operadores num espaço de Hilbert, com causalidade. É a linguagem dos axiomas de Wightman.

Trocar t por −iτ (rotação de Wick): o peso oscilante vira peso positivo, como uma probabilidade. É a linguagem dos axiomas de Osterwalder–Schrader e das simulações em rede, e a rota de quase todo o progresso.

M1Partir da teoria clássicaprovado

M2Separar tempo e espaço (hamiltoniana)provado

M3Impor a lei de Gauss nos estadosparcial

M4Fixar o gauge (Faddeev–Popov)parcial

M5Usar a simetria BRSTparcial

M6Renormalizar em teoria de perturbaçãoprovado

M7Construir os operadores de Wightmanaberto

E1Girar o tempo (Wick)provado

E2Discretizar na rede de Wilsonprovado

E3Trabalhar em volume finitoprovado

E4Tomar o limite do contínuo a→0parcial

E5Tomar o volume infinito L→∞aberto

E6Verificar os axiomas de Osterwalder–Schraderaberto

E7Reconstruir e provar Δ>0aberto

Partir da teoria clássica

Escrevemos a ação S=−14∫FμνaFaμν e as equações DμFμν=0. Tudo aqui é matemática bem estabelecida.

Comparação lado a lado

Como se volta ao tempo real: a reconstrução de Osterwalder–Schrader

Provando tudo no mundo euclidiano, a positividade por reflexão constrói o espaço de Hilbert, a translação no tempo euclidiano dá e−τH com H≥0, e a continuação τ→it recupera Minkowski. Um decaimento exponencial euclidiano vira um gap no espectro. “Existir”, para Yang–Mills, significa construir essa medida e verificar esses axiomas (a reconstrução completa está também em Osterwalder–Schrader).

Os quatro estágios da reconstrução. O pulso percorre o caminho que transforma uma medida de probabilidade euclidiana numa teoria quântica relativística. Clique em um estágio para ver o que ele exige.

“Existir”, no enunciado de Jaffe e Witten, quer dizer satisfazer axiomas como os de Osterwalder–Schrader (OS). Aqui está a reconstrução: como uma medida de probabilidade em campos euclidianos produz H, H≥0 e o vácuo Ω.

Os dados: funções de Schwinger Uma medida dμ em S′(R4) (distribuições) define momentos Sn(x1,…,xn)=∫ϕ(x1)⋯ϕ(xn) dμ. Em Yang–Mills, ϕ precisa ser invariante de gauge (tr⁡F2, laços de Wilson suavizados), porque só a classe [A]∈A/G tem significado.

Os axiomas (OS0) regularidade/temperança; (OS1) covariância euclidiana E(4); (OS2) positividade por reflexão; (OS3) simetria sob permutações; (OS4) agrupamento (cluster). O central é OS2: com θ(τ,x)=(−τ,x) e Θ a ação antilinear induzida em funcionais, ⟨ ΘF‾ F ⟩μ ≥ 0para todo F dependente soˊ de ϕ em τ>0.

O espaço de Hilbert Seja E+ o espaço desses funcionais. OS2 diz que ⟨F,G⟩≡⟨ΘF‾ G⟩μ é uma forma sesquilinear positiva semidefinida. Seja N={F:⟨F,F⟩=0} (subespaço, por Cauchy–Schwarz). Então H=E+/N‾,Ω=[ 1 ]. A reflexão faz o papel do “bra”: o que está em τ<0 é o conjugado do que está em τ>0.

O semigrupo de translação temporal T(t), translação por t≥0 em τ, leva E+ em E+. Propriedades: (i) simetria, ⟨F,T(t)G⟩=⟨T(t)F,G⟩, porque ΘT(t)=T(−t)Θ e a medida é invariante; (ii) preserva N (Cauchy–Schwarz); (iii) T(t)T(s)=T(t+s); (iv) contração: iterando Cauchy–Schwarz, ∥T(t)F∥2=⟨F,T(2t)F⟩≤∥F∥ ∥T(2t)F∥≤⋯≤∥F∥2−21−n ∥T(2nt)F∥21−n →n→∞ ∥F∥2, pois ∥T(s)F∥ fica limitado uniformemente em s (invariância da medida), e a potência 21−n→0.

O hamiltoniano Um semigrupo fortemente contínuo de contrações autoadjuntas tem a forma T(t)=e−tH,H=H†≥0,HΩ=0. A positividade da energia não foi postulada: ela sai de OS2. As translações espaciais e as rotações em SO(3) dão o momento e o momento angular; OS1 completo, após continuação analítica, dá Lorentz.

Na rede: a matriz de transferência Para a ação de Wilson, a positividade por reflexão vale para reflexões em planos de sítios e de elos (Osterwalder–Seiler, 1978). Isso dá um operador integral explícito entre fatias de tempo, T=e−aH, autoadjunto e positivo, e ⟨O(t)O(0)⟩=Tr⁡(TLt−t O Tt O)Tr⁡TLt. Na rede finita tudo isso é teorema. O problema é preservar OS1 (que a rede quebra) e não trivialidade no limite a→0, L→∞.

De volta a Minkowski O teorema de reconstrução de Osterwalder–Schrader (1973, 1975, com uma condição de crescimento) garante que as Sn são valores em tempos imaginários de funções de Wightman Wn que satisfazem os axiomas de Wightman: Wn é obtida por τj→itj. A teoria em tempo real é derivada, não postulada.

Resultado. Medida euclidiana + OS0–OS4 ⇒ (H,H≥0,Ω) e uma QFT de Wightman. Construir Yang–Mills quântica em R4 significa construir essa medida (ou suas funções de Schwinger invariantes de gauge) e verificar os axiomas.

Funcionais, integral de caminho e fixação de gauge

As ferramentas formais da rota euclidiana são as funções geradoras Z[J], W[J] e Γ[ϕ] e as equações de Schwinger–Dyson, e a integral de caminho com seu rigor (Trotter, Feynman–Kac, gaussianas, rotação de Wick e integrais de Grassmann). O caso de gauge acrescenta a redundância: muitas configurações descrevem a mesma física, e somar sobre todas contaria cada física infinitas vezes.

A linguagem em que a quantização por integral de caminho é escrita. Formulação euclidiana, campo escalar ϕ para leveza de notação; tudo se aplica a Aμa com índices extras.

O que é um funcional Uma aplicação do espaço de campos nos números. Exemplos: S[ϕ]=∫ddx (12(∂ϕ)2+V(ϕ)),Fy[ϕ]=ϕ(y),Lf[ϕ]=∫fϕ. O espaço é de dimensão infinita; a pergunta toda do problema é que estrutura de medida ele admite.

Derivada funcional Definida pela parte linear da variação na direção η (derivada de Gâteaux): F[ϕ+ϵη]−F[ϕ]=ϵ ⁣∫ ⁣ddx δFδϕ(x) η(x)+O(ϵ2). Aplicada a Fy: δϕ(y)δϕ(x)=δd(x−y). Valem Leibniz e a regra da cadeia, com ∫ no lugar de ∑.

Exemplo: a equação de movimento S[ϕ+ϵη]−S[ϕ]=ϵ ⁣∫ ⁣(∂ϕ⋅∂η+V′(ϕ)η)+O(ϵ2)=ϵ ⁣∫ ⁣(−∂2ϕ+V′(ϕ))η+O(ϵ2) ⟹δSδϕ(x)=−∂2ϕ(x)+V′(ϕ(x)). (Termos de borda nulos para η de suporte compacto.) Euler–Lagrange é δS/δϕ=0.

Segunda derivada: um operador δ2Sδϕ(x) δϕ(y)=(−∂x2+V′′(ϕ(x)))δd(x−y). É o núcleo de um operador diferencial; seu inverso é o propagador no fundo ϕ. Taylor funcional: F[ϕ+η]=∑n1n!∫F(n)(x1,…,xn) η(x1)⋯η(xn).

Funcional gerador Z[J]=∫Dϕ e−S[ϕ]+∫Jϕ,⟨ϕ(x1)⋯ϕ(xn)⟩=1Z[0] δnZδJ(x1)⋯δJ(xn)∣J=0, pois δδJ(x)e∫Jϕ=ϕ(x) e∫Jϕ. Z[J] é a transformada de Laplace da medida: conhecer todos os momentos é conhecer a medida (sob condições de crescimento).

Conexas: W=ln⁡Z δWδJ(x)=1ZδZδJ(x)=⟨ϕ(x)⟩J,δ2WδJ(x)δJ(y)=⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩J−⟨ϕ(x)⟩J⟨ϕ(y)⟩J. Em geral W(n) são os cumulantes, isto é, as funções de correlação conexas. São elas que devem decair como e−Δ∣x∣.

Ação efetiva por Legendre Com φ(x)=δW/δJ(x), defina Γ[φ]=∫Jφ−W[J]. Regra da cadeia: δΓδφ(x)=J(x)+ ⁣∫ ⁣δJ(z)δφ(x)φ(z)− ⁣∫ ⁣δWδJ(z)δJ(z)δφ(x)=J(x). Derivando δW/δJ=φ em relação a φ: ∫W(2)(x,z) Γ(2)(z,y)=δ(x−y). Logo Γ(2)=(W(2))−1, o inverso do propagador completo, e Γ(n) são os vértices 1PI.

Expansão em laços Com ℏ restaurado (e−S/ℏ), expanda S em torno do ponto de sela ϕc até ordem quadrática e use a integral gaussiana do próximo bloco: Γ[φ]=S[φ]+ℏ2Tr⁡ln⁡δ2Sδφδφ+O(ℏ2). Foi exatamente essa fórmula, com o operador Δ1 do glúon e Δ0 do fantasma, que deu a função beta na derivação de b0.

Schwinger–Dyson A integral de uma derivada total é zero (invariância por translação de Dϕ): 0=∫Dϕ δδϕ(x)e−S+∫Jϕ ⟹ ⟨δSδϕ(x)⟩J=J(x),⟨δSδϕ(x)ϕ(y)⟩=δd(x−y). A equação de movimento clássica vale como valor esperado, com um termo de contato. Para uma simetria local, a mesma manobra gera as identidades de Ward (abelianas) e de Slavnov–Taylor (não abelianas).

Resultado. Z=eW, Γ=L[W], Γ=S+ℏ2Tr⁡ln⁡S′′+…, Schwinger–Dyson. Cuidado honesto: “Dϕ” não é uma medida em dimensão infinita (não há Lebesgue invariante por translação). Na rede é ∏xdϕx, bem definido; o programa construtivo é mostrar que as medidas regularizadas convergem.