Princeton, 1954 e a fase que gira

Em fevereiro de 1954, Chen-Ning Yang apresentou em Princeton uma teoria nova, escrita com Robert Mills, para a força nuclear. Na primeira fila estava Wolfgang Pauli, que havia chegado às mesmas equações meses antes e as abandonara sem publicar. Seu motivo, um defeito aparentemente fatal, é o problema da massa.

Yang e Mills pegaram a estrutura matemática que explica o eletromagnetismo (a liberdade de girar a fase de uma partícula em cada ponto) e a estenderam para a força que prende prótons e nêutrons. Pauli viu de imediato o problema: a teoria prevê mensageiros sem massa, como o fóton, e uma força de curto alcance como a nuclear precisa de mensageiros pesados. Para entender a objeção, é preciso entender de onde vem a ideia de gauge.

Princeton, 1954: a pergunta de Pauli

Yang foi convidado por Robert Oppenheimer a apresentar o trabalho no Instituto de Estudos Avançados. Mills, doutorando que dividia sala com ele em Brookhaven, era o coautor. Pauli conhecia as equações melhor do que ninguém na sala, e interrompeu a exposição com uma única pergunta.

Yang não tinha resposta. Yang e Mills publicaram o artigo mesmo assim, deixando o problema da massa explícito no texto: a ideia era bonita demais para ficar na gaveta. Duas décadas depois, essa estrutura virou a base do Modelo Padrão, e a pergunta de Pauli, numa forma mais sofisticada, virou um dos sete Problemas do Milênio.

De Weyl ao gauge: a fase que gira

Em 1918 Hermann Weyl tentou unificar gravidade e eletromagnetismo. Na relatividade geral a direção de um vetor muda de ponto a ponto; Weyl perguntou se também o comprimento poderia mudar, e precisou de um campo compensador, que propôs ser o eletromagnético. Chamou essa liberdade de reescalar de gauge (bitola, como a dos trilhos de trem). Einstein derrubou a ideia: se o tamanho dos átomos variasse de lugar para lugar, as linhas espectrais também variariam, e elas são idênticas em todo o universo.

Com a mecânica quântica a ideia voltou com outra roupa. O elétron é descrito por uma função de onda, em cada ponto um número complexo com um tamanho (que dá a probabilidade) e um ângulo, a fase, que sozinha não é mensurável. Em 1929 Weyl reaplicou o gauge a giros locais da fase quântica em vez de mudanças de escala.

Girar a fase de todos os pontos pelo mesmo ângulo não muda nada físico. É a simetria U(1), a rotação de um único “mostrador”.

Girar a fase de cada ponto por um ângulo diferente quebra a comparação entre vizinhos. Para consertar, é preciso um campo que compense a diferença em cada ponto.

Para U(1), esse campo é exatamente o campo eletromagnético; sua ondulação quantizada é o fóton.

Cada nó tem um ponteiro (a fase local α, círculo grande), cada aresta um ângulo (o campo compensador A, círculo pequeno) e cada quadrado mostra a rotação acumulada ao dar a volta nele, θP=θ1+θ2−θ3−θ4. A transformação de gauge gira todos os ponteiros e todas as arestas, mas θP, e portanto a energia ∑(1−cos⁡θP), não muda: é a cancelação α−α nos nós intermediários. Mudar uma única aresta sem girar os ponteiros altera a física: dois quadrados mudam de cor. Azul: pouca curvatura; vermelho: muita.

Daqui sai a distinção que organiza todo o resto: o campo de matéria, sobre o qual a simetria age (a função de onda do elétron), e o campo de gauge, que a simetria obriga a existir para compensar os giros locais. A eletrodinâmica quântica, teoria de elétrons e luz, é uma das mais bem testadas da história. O mesmo princípio, com a mesma forma, aparece no setor de gauge do Modelo Padrão.

Convenções: ℏ=c=1, métrica (+,−,−,−), carga q. O objetivo é mostrar que exigir invariância sob uma fase que depende do ponto obriga a existência de um campo Aμ, fixa como ele se transforma, e determina (quase) unicamente sua dinâmica.

A simetria global e a falha da local A lagrangiana de Dirac L0=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ é invariante sob ψ↦eiqαψ com α constante. Se α=α(x), a regra de Leibniz produz um termo a mais: ∂μ(eiqα(x)ψ)=eiqα(x)(∂μψ+iq (∂μα) ψ) ⟹ δL0=−q (∂μα) ψˉγμψ. A derivada de um campo compara valores em pontos vizinhos; se cada ponto tem sua própria convenção de fase, essa comparação deixa de ter significado.

Derivada covariante e a lei de transformação de A Postule Dμ=∂μ−iqAμ e exija que Dμψ se transforme como ψ: (Dμψ)′=eiqαDμψ. Expandindo o lado esquerdo: (∂μ−iqAμ′)(eiqαψ)=eiqα(∂μψ+iq ∂μα ψ−iqAμ′ψ)=!eiqα(∂μψ−iqAμψ) ⟹Aμ′=Aμ+∂μα. O campo Aμ absorve exatamente o termo indesejado. Não foi escolha estética: é a única transformação afim que funciona.

O acoplamento mínimo e a corrente de Noether ψˉ iγμDμψ=ψˉ iγμ∂μψ+q Aμ ψˉγμψ≡ψˉ iγμ∂μψ+q Aμjμ. A interação é qAμjμ, com jμ=ψˉγμψ a mesma corrente que o teorema de Noether associa à simetria global. O vértice da QED, iqγμ, sai daqui.

A curvatura como comutador Calcule [Dμ,Dν] atuando em ψ. Os termos com duas derivadas se cancelam (derivadas parciais comutam) e os termos AμAν também (números comutam): [Dμ,Dν]ψ=−iq (∂μAν−∂νAμ) ψ ⟹ Fμν≡iq[Dμ,Dν]=∂μAν−∂νAμ. Como Dμ↦eiqαDμe−iqα, o comutador se transforma por conjugação; uma fase comuta com tudo, logo Fμν′=Fμν. No caso não abeliano é exatamente aqui que a história muda.

A dinâmica do campo: o que é permitido Invariância de gauge, Lorentz e dimensão de massa ≤4 deixam dois termos: FμνFμν e FμνF~μν=∂μ(ϵμνρσAν∂ρAσ), que é derivada total. Um termo de massa é proibido: δ(12m2AμAμ)=m2Aμ∂μα+O(α2)≠0. Logo L=−14FμνFμν+ψˉ(iγμDμ−m)ψ: o fóton é necessariamente sem massa.

Equações de Euler–Lagrange e conservação de carga Com ∂L/∂(∂μAν)=−Fμν e ∂L/∂Aν=q jν: ∂μ∂L∂(∂μAν)=∂L∂Aν ⟹ ∂μFμν=−q jν. (O sinal acompanha a convenção D=∂−iqA.) Como Fμν é antissimétrico, ∂ν∂μFμν=0, e portanto ∂νjν=0: a invariância de gauge exige carga conservada. As componentes ν=0 e ν=i são as leis de Gauss e de Ampère–Maxwell; as outras duas equações de Maxwell são a identidade de Bianchi ∂[λFμν]=0, automática.

Transporte paralelo, holonomia e a plaqueta O objeto que torna comparações não locais significativas é o transportador W(y,x)=exp⁡(iq ⁣∫xy ⁣Aμ dxμ),W(y,x)↦eiqα(y) W(y,x) e−iqα(x), de modo que ψˉ(y)W(y,x)ψ(x) é invariante. Para um laço fechado C=∂Σ, Stokes dá W(C)=exp⁡(iq∮CA)=exp⁡(iq∫ΣF). Numa plaqueta de lado a no plano μν: θ□=q a2Fμν(x)+O(a3). É essa soma de ângulos em volta da plaqueta que o laboratório acima mostra como invariante: ela é o fluxo magnético, e nenhuma escolha local de fase a altera.

Resultado. Gauge local ⇒ conexão A com A↦A+∂α; curvatura F=iq[D,D]; dinâmica −14F2 com fóton sem massa; carga conservada; observáveis = holonomias. Todo passo se repete no caso não abeliano, exceto que a fase deixa de comutar.