Isospin: quando a ordem das rotações importa

Nos anos 1950 sabia-se que prótons e nêutrons se comportam quase identicamente sob a força forte. Tratados como dois estados de uma mesma partícula, convertem-se um no outro por uma rotação num espaço interno, o isospin. O grupo dessas rotações é o SU(2), e ele não comuta.

Girar uma fase exige um número. Girar um par exige três, um para cada direção independente, e rotações em direções diferentes dependem da ordem: girar 90° em torno de x e depois de y não dá o mesmo que o contrário (experimente com um livro). Grupos assim se chamam não abelianos, e é a não comutatividade que faz os mensageiros da força interagirem entre si.

À esquerda, a seta sofre primeiro uma rotação A e depois B; à direita, primeiro B e depois A. Em três dimensões (o caso de SU(2), cujas rotações internas se comportam como as do espaço) os resultados diferem: AB≠BA. Essa diferença é medida pelo comutador, [Ta,Tb]=ifabcTc, e as constantes fabc≠0 são exatamente o que faz os bósons de gauge carregarem a própria carga e interagirem entre si. Num plano (o caso de U(1)), as rotações só somam ângulos e a ordem não importa: o fóton não interage consigo mesmo.

Esse é o fato que Yang e Mills levaram a sério. O mesmo gesto de Weyl, agora com SU(2), exige um campo de gauge com três componentes e uma regra de transformação mais rica; a seção sobre Yang–Mills do corpo do texto mostra o resultado, e a derivação completa, com constantes de estrutura, identidade de Jacobi e Casimirs, vem abaixo.

Carga é o modo como a simetria age

A carga de um campo é a maneira como o grupo de simetria age sobre ele. No eletromagnetismo a simetria gira a fase do elétron, então o elétron tem carga; o campo eletromagnético apenas se desloca para compensar, sem ser girado, e o fóton é neutro. No caso não abeliano o campo de gauge, além de se deslocar, também é girado pelo próprio grupo: ele tem carga. Os mensageiros da força carregam a carga que transmitem e interagem consigo mesmos. Yang chamou esse campo de B; ele não correspondia a nenhuma partícula conhecida, e era aí que as equações ficavam difíceis.

Em cima, dois fótons: sem carga elétrica, passam um pelo outro sem perceber. Embaixo, dois glúons: carregam cor e interagem num vértice de três glúons, saindo desviados e criando um terceiro glúon. É a assinatura do termo não abeliano gfabcAμbAνc dentro de Gμνa.

Clique em cada pedaço da fórmula. Quase tudo é “Maxwell elevado a N2−1”; o único termo novo, gfabcAbAc, é o que faz os mensageiros da força carregarem a carga que transmitem (e o que torna a teoria difícil).

Os vértices de três e quatro glúons que saem de gfabcAbAc não existem para fótons. Ao quantizar, aparece também um artifício, o campo fantasma, que cancela graus de liberdade não físicos (veja Quantizar: os dois caminhos e BRST).

Tudo o que distingue Yang–Mills do eletromagnetismo está codificado em um único objeto, [Ta,Tb]. Aqui ele é construído do zero, com as identidades que aparecem em todo cálculo de QCD, e conectado à curvatura pela fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff.

Grupo, álgebra e constantes de estrutura Elementos de SU(N) perto da identidade: U=eiαaTa, com Ta hermitianas e de traço nulo (det⁡U=eiαatr⁡Ta=1). Há N2−1 geradores. O fechamento do grupo sob produto implica fechamento da álgebra sob comutador: [Ta,Tb]=ifabc Tc,tr⁡(TaTb)=12δab. Multiplicando por Td e tomando o traço: tr⁡([Ta,Tb]Td)=i2fabd, ou seja, fabd=−2itr⁡([Ta,Tb]Td). A ciclicidade do traço torna f totalmente antissimétrico, e a hermiticidade o torna real.

Exemplos explícitos SU(2): Ta=σa/2. De σ1σ2=iσ3 e σ2σ1=−iσ3: [σ12,σ22]=14(2iσ3)=i σ32 ⟹ fabc=ϵabc. SU(3): Ta=λa/2 (Gell-Mann), com f123=1, f147=f246=f257=f345=f516=f637=12, f458=f678=32. No caso abeliano U(1), f≡0 e tudo o que segue colapsa no eletromagnetismo (setor de gauge).

A identidade de Jacobi Para quaisquer operadores, [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0 (expanda os 12 termos). Com geradores: [Ta,[Tb,Tc]]=ifbce[Ta,Te]=−fbcefaed Td, ⟹fbcefaed+fcaefbed+fabefced=0. É essa identidade que, mais adiante, garante a identidade de Bianchi, a nilpotência de BRST e a consistência dos vértices de três e quatro glúons.

A representação adjunta Defina matrizes (N2−1)×(N2−1) por (TAa)bc=−ifabc. Reescrevendo Jacobi com índices livres b,c, obtém-se exatamente [TAa,TAb]=ifabc TAc. Os próprios geradores formam uma representação do grupo, e é nela que vive o campo de gauge: δAa=fabcAbαc é iαc(TAc)abAb. “O glúon tem carga de cor” significa precisamente que a adjunta não é trivial, o que exige f≠0.

Completeza (Fierz) para SU(N) {1, Ta} é uma base das matrizes N×N, ortogonal no produto tr⁡(X†Y). Expandindo uma matriz arbitrária M=1Ntr⁡M 1+2tr⁡(MTa)Ta e lendo os índices: TijaTkla=12(δilδkj−1N δijδkl).

Casimir fundamental CF Contraia j=k na identidade de Fierz: (TaTa)il=12(N−1N)δil ⟹ CF=N2−12N(43 para SU(3)). Também de Fierz: TaXTa=12tr⁡X 1−12NX para qualquer X. Essa identidade é a ferramenta para o próximo passo.

Casimir adjunto CA=N Usando facd=−2itr⁡([Ta,Tc]Td) e Fierz sobre d (comutadores têm traço nulo): facdfbcd=−4tr⁡([Ta,Tc]Td)tr⁡([Tb,Tc]Td)=−2tr⁡([Ta,Tc][Tb,Tc]). Expandindo o comutador em quatro termos e usando TcXTc e TcTc=CF: tr⁡([Ta,Tc][Tb,Tc])=(−14N−CF2−CF2−14N)δab=−N2 δab ⟹ facdfbcd=N δab. Esses dois números, CA=N e TF=12, são os que entram em b0=113CA−43TFnf.

BCH: rotações finitas que não comutam Para matrizes, eXeY=exp⁡(X+Y+12[X,Y]+112([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])+… ). Expandindo até segunda ordem o “comutador de grupo”: eϵXeϵYe−ϵXe−ϵY=exp⁡(ϵ2[X,Y]+O(ϵ3)). Com X=iT1, Y=iT2: ϵ2[iT1,iT2]=−iϵ2T3. Girar em x, em y, desfazer x, desfazer y não volta ao início: sobra uma rotação de ordem ϵ2 em torno de z. É o que o widget de rotações não abelianas, acima, mostra.

A plaqueta: curvatura = comutador de transportes Com D=∂−igA, o transportador de x+aμ^ para x é Uμ(x)=e−iagAμ (avaliado no ponto médio). A plaqueta é Uμν=Uμ(x) Uν(x+aμ^) Uμ(x+aν^)† Uν(x)†. Para quatro fatores, ln⁡∏eXi=∑Xi+12∑i<j[Xi,Xj]+O(X3). Expandindo tudo em torno do centro da plaqueta: ∑iXi=−ia2g (∂μAν−∂νAμ)+O(a3),12∑i<j[Xi,Xj]=−a2g2[Aμ,Aν]+O(a3), ⟹Uμν=exp⁡(−ia2g (∂μAν−∂νAμ−ig[Aμ,Aν])+O(a3))=e−ia2gFμν+O(a3). O termo quadrático de F é literalmente o termo de BCH: a parte não abeliana da curvatura é o fato de que transportar por dois caminhos diferentes dá resultados que não comutam.

Resultado. [Ta,Tb]=ifabcTc, Jacobi, adjunta, CF=N2−12N, CA=N, e U□=e−ia2gF+O(a3) com F contendo −ig[A,A]. Este último resultado é a ponte exata entre a geometria (holonomia), a rede de Wilson e a ação contínua.

Convenções: Aμ=AμaTa, Dμ=∂μ−igAμ, métrica (+,−,−,−), matéria ψ na fundamental. Repetimos a construção da derivação do U(1) (seção anterior) com U(x)∈SU(N) e vemos exatamente onde o comutador entra.

Transformação de A, finita Exija (Dμψ)′=U Dμψ com ψ′=Uψ: (∂μ−igAμ′)(Uψ)=(∂μU)ψ+U∂μψ−igAμ′Uψ=!U∂μψ−igUAμψ ⟹Aμ′=UAμU−1−ig (∂μU) U−1. A parte homogênea UAU−1 diz que A está na adjunta; a parte não homogênea é o que faz dele uma conexão.

Transformação infinitesimal Com U=1+iαaTa: UAU−1≈A+i[α,A] e −ig(∂U)U−1≈1g∂α. Em componentes, i[α,A]a=i αbAc ifbca=fabcAbαc: δAμa=1g ∂μαa+fabcAμbαc=1g (Dμα)a,(DμX)a≡∂μXa+gfabcAμbXc.

Curvatura: o comutador agora sobrevive Em [Dμ,Dν] os termos ∂∂ se cancelam, mas os termos AμAν não, porque matrizes não comutam: [Dμ,Dν]=−ig(∂μAν−∂νAμ)+(−ig)2[Aμ,Aν]=−ig Fμν, Fμν=∂μAν−∂νAμ−ig[Aμ,Aν],Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνc. Como D↦UDU−1, segue F↦UFU−1: F é covariante, não invariante. O “campo elétrico de cor” muda sob gauge, por isso não é observável sozinho.

A lagrangiana invariante LYM=−12tr⁡(FμνFμν)=−14FμνaFaμν, invariante pela ciclicidade do traço. Em d=4, [A]=1 e [g]=0: nenhum parâmetro com dimensão. Termos como tr⁡F3 têm dimensão 6 e são suprimidos; m2tr⁡A2 é proibido pelo mesmo argumento do caso abeliano.

Identidade de Bianchi Jacobi para operadores aplicada a Dλ,Dμ,Dν, com [Dμ,Dν]=−igFμν e [Dλ,F]=DλF (adjunta): [Dλ,[Dμ,Dν]]+cıˊcl.=0 ⟹ DλFμν+DμFνλ+DνFλμ=0. São as “duas equações de Maxwell homogêneas” de cor; não vêm da dinâmica.

Variação de F δFμν=∂μδAν−ig[Aμ,δAν]−(μ↔ν)=DμδAν−DνδAμ.

Equações de campo δSYM=−12∫FaμνδFμνa=−∫Faμν(DμδAν)a. Integrando por partes, a antissimetria de f dá ∫Xa(DμY)a=−∫(DμX)aYa: δSYM=∫(DμFμν)a δAνa. Com a matéria, ψˉiγμDμψ⊃g Aνa jaν, jaν=ψˉγνTaψ. Logo (DμFμν)a=−g jaν.