O Problema do Milênio: Yang–Mills e o gap de massa

A rede de Wilson (módulo QCD) dá números excelentes: glueballs, tensão da corda, massa do próton. Mas cada resultado é uma extrapolação numérica. O Clay Mathematics Institute pede outra coisa: provar que a teoria de Yang–Mills quântica existe em quatro dimensões e que tem um gap de massa. Este módulo conta como se chegou a essa pergunta e mostra, com laboratórios e derivações passo a passo, quão perto estamos.

Imagine uma teoria só de glúons, sem quarks. As equações cabem numa linha e não têm nenhum parâmetro de massa. Mesmo assim, as simulações mostram que a partícula mais leve dessa teoria, uma “bola de glúons”, pesa cerca de 1,7 GeV: existe um degrau de energia entre o vácuo e qualquer excitação. O problema é transformar essa evidência numérica em teorema: definir a teoria com o rigor de um objeto matemático e mostrar que o degrau nunca encolhe a zero.

A pergunta é a mesma que Pauli fez a Yang em 1954: qual é a massa desse campo? Setenta anos depois ela vale um milhão de dólares.

O enunciado preciso

O enunciado é de Arthur Jaffe e Edward Witten (2000). Para todo grupo de gauge compacto simples G (por exemplo SU(2), SU(3)), provar que existe uma teoria quântica de Yang–Mills em R4 satisfazendo axiomas pelo menos tão fortes quanto os de Wightman ou de Osterwalder–Schrader, e que ela tem gap Δ>0. Seja H o hamiltoniano reconstruído, com vácuo único Ω, HΩ=0:

Provar que uma teoria quântica de Yang–Mills existe como objeto matemático rigoroso em R4. Isso nunca foi feito para nenhuma teoria de gauge interagente em quatro dimensões.

Provar que a excitação mais leve acima do vácuo tem massa estritamente positiva, Δ>0, embora o glúon das equações não tenha massa.

Por que é difícil: uma massa que não está na equação

A lagrangiana −14FμνaFaμν não tem parâmetro com dimensão: em d=4, [g]=0. Uma massa só pode surgir quebrando a invariância de escala por efeito quântico. A função beta faz exatamente isso, trocando o acoplamento adimensional g por uma escala Λ, e toda massa física é um número puro vezes Λ: provar o gap é provar que esse número é positivo. O efeito é invisível a qualquer ordem de teoria de perturbações, como mostra a seção Massa do nada.

O mesmo sinal da função beta que gera Λ no infravermelho é o que torna Yang–Mills candidata a existir no ultravioleta. Na eletrodinâmica o acoplamento cresce com a energia e atinge um polo (Landau); em Yang–Mills o acoplamento nu vai a zero quando o corte some. E ainda assim a construção rigorosa ficou em aberto, por razões técnicas que as seções seguintes percorrem: duas rotas de quantização, nenhuma delas completa (Quantizar); a rede como definição e seus dois limites (Wilson, Balaban).

Mapa do módulo

O módulo segue a ordem histórica do problema. A primeira metade conta como se chegou ao enunciado; a segunda, quão perto se chegou da prova. As derivações passo a passo (caixas com “Próximo passo”) estão ao fim de cada tema; as marcadas como também presentes no corpo do texto foram mantidas aqui de propósito, para que o módulo se leia sozinho.

Pauli e Weyl: do gauge U(1); isospin, SU(2) e a ação de Yang–Mills.

Massa, alcance e Higgs; liberdade assintótica e cor.

Transmutação dimensional e o gap.

Landau e a crise da teoria de campos; quantizar: os dois caminhos.

Wilson, a rede e os laços; Creutz e o contínuo; Balaban, MRS e a quantização estocástica.

Instantons, Donaldson, o placar atual, linha do tempo e fontes.

O texto diz que, “na rede com a e L fixos”, o gap é fácil e que o difícil é a uniformidade. Mostramos a parte fácil: numa rede finita com grupo compacto o espaço de estados é compacto e o núcleo da matriz de transferência T=e−aH é estritamente positivo, então o estado fundamental é único e Δ=1aln⁡(λ0/λ1)>0. Depois calculamos o gap exato de um modelo solúvel (um rotor U(1) em tempo discreto, a cadeia XY, o análogo unidimensional da ação de Wilson) e mostramos o que a cota uniforme precisaria controlar. (A ligação gap ⇔ decaimento exponencial está em Massa do nada.)

O objeto: um núcleo positivo e simétrico Numa rede finita, os campos de uma fatia de tempo vivem num espaço compacto e conexo C=Gn (G=U(1) ou SU(N), n elos). A matriz de transferência é um operador integral em L2(C,Haar): (Tψ)(U)=∫CT(U,U′) ψ(U′) dU′,T(U,U′)=e−Sfatia<∞ e T(U,U′)>0. T(U,U′)=T(U′,U) (reflexão), T é contínuo e limitado em C×C, logo T é autoadjunto e compacto: tem espectro discreto λ0≥∣λ1∣≥⋯→0.

O maior autovalor tem autofunção positiva Seja λ0=max⁡∥ψ∥=1⟨ψ,Tψ⟩, atingido em ψ. Como T>0, ⟨∣ψ∣,T∣ψ∣⟩≥∣⟨ψ,Tψ⟩∣=λ0, e ∥∣ψ∣∥=1; portanto ∣ψ∣ também realiza o máximo, logo é autofunção. Chame ψ0=∣ψ∣≥0. Então λ0 ψ0(U)=∫T(U,U′) ψ0(U′) dU′>0para todo U, pois o integrando é não negativo e positivo num conjunto de medida não nula. Logo λ0>0 e ψ0>0 em toda parte.

O autovalor é simples Suponha outra autofunção real φ, ortogonal a ψ0, com o mesmo λ0. Como ∫φ ψ0=0 e ψ0>0, φ muda de sinal. Mas, pelo passo 2 aplicado a φ, ∣φ∣ também seria autofunção estritamente positiva, e uma função contínua em C conexo que muda de sinal tem um zero: contradição. Logo λ0 é simples e ∣λk∣<λ0 para k≥1.

O gap é positivo Com T=e−aH, Ek=−1aln⁡λk e ψ0 é o vácuo único: Δ=E1−E0=1aln⁡λ0λ1>0. Pela decomposição espectral, os correlatores conexos decaem como e−Δt. Isso vale para toda rede finita: é um teorema, sem nenhuma hipótese sobre β.

Um exemplo exato: o rotor U(1) Um elo U(1) por fatia, com T(θ,θ′)=eβcos⁡(θ−θ′). Pela expansão de Jacobi–Anger, eβcos⁡ϕ=∑mIm(β)eimϕ, então T é diagonalizado por ondas planas: ∫02π ⁣ ⁣eβcos⁡(θ−θ′)eimθ′dθ′=2πIm(β) eimθ,λm=2πIm(β), I0>I1>I2>⋯ . O vácuo é m=0 (constante, positiva) e o primeiro excitado é m=±1 (dupla degenerescência por θ→−θ): aΔ=ln⁡I0(β)I1(β). Para β=2: I0=2,27959, I1=1,59064 e aΔ=ln⁡1,43313=0,3599 (diagonalizando numericamente o núcleo com 400 pontos: 0,3599). Para β≫1, I1/I0≈1−12β e aΔ≈12β: em β=20, 0,02566 contra 0,025. O gap em unidades de rede encolhe quando β→∞, que é o limite do contínuo.

Cota quantitativa de Doeblin e por que ela morre com o volume Como cos⁡≥−1, T/λ0≥e−β/(2πI0), isto é, o núcleo markoviano normalizado satisfaz P(θ,dθ′)≥δ dθ′/2π com δ=e−β/I0. Isto contrai a variação total por (1−δ) a cada passo, então ∣λ1∣/λ0≤1−δ e aΔ ≥ −ln⁡(1−δ)=−ln⁡(1−e−β/I0(β))=0,0612(β=2), contra o exato 0,3599. A cota é correta, mas fraca. Com M rotores independentes por fatia (M elos), o gap exato continua 0,3599, enquanto δM=δM: para M=10, δ10=5,4×10−13. A cota de positividade se degrada exponencialmente com o volume, e em Yang–Mills em quatro dimensões não se conhece uma cota de Δ que seja uniforme em L→∞ e a→0 com Δ/a fixo. É esse o conteúdo do problema do Milênio (Balaban).

Resultado. Rede finita, grupo compacto: núcleo T>0 ⇒ λ0 simples, vácuo único e Δ=1aln⁡(λ0/λ1)>0. Exemplo: aΔ=ln⁡[I0(β)/I1(β)]=0,3599 em β=2, com cota de Doeblin ≥0,0612; a cota perde δM com o volume, e a uniformidade no contínuo continua em aberto.