Massa, alcance e o mecanismo de Higgs

Pauli se importava com a massa porque massa e alcance estão amarrados. Uma partícula sem massa viaja à velocidade da luz e transmite a força a distâncias infinitas; uma força que só atua dentro do núcleo precisa de um mensageiro pesado.

Pense numa conversa por bola de tênis lançada entre duas pessoas: quanto mais pesada a bola, menos longe ela vai. O alcance de uma força é, grosso modo, o comprimento de onda Compton do mensageiro, λ=ℏ/(mc). Fóton sem massa: alcance infinito. Píon (140 MeV): ~1,4 fm, o tamanho de um núcleo. W e Z (~80 e 91 GeV): ~0,002 fm.

Alcance típico λ=ℏ/(mc), o comprimento de onda Compton do mensageiro (ℏc=197,327 MeV·fm). Os pontos são mensageiros reais: o píon (Yukawa), de alcance ~1,4 fm, o tamanho de um núcleo; os bósons W e Z, quase cem vezes mais pesados que o próton, com alcance quase mil vezes menor. O fóton, de massa zero, fica fora do gráfico, com alcance infinito. A faixa verde é a escala do núcleo atômico.

Uma carga cercada pelo campo do bóson que a força troca. Com bóson sem massa (fóton, em cima), o potencial é V∝1/r: cai devagar e alcança qualquer distância. Com bóson massivo (embaixo), V∝e−mr/r (potencial de Yukawa): morre exponencialmente além de r∼ℏ/mc. Para o W (80,4 GeV) esse alcance é ℏc/mWc2≈0,0025 fm, mil vezes menor que um próton. É por isso que a força fraca parece fraca e de contato, embora seu acoplamento seja maior que o eletromagnético.

Dois cálculos: por que um mediador de massa m produz uma força de alcance 1/m, e como o mecanismo de Higgs dá massa mW=gv/2 sem escrever um termo de massa proibido. O contraste final é o ponto: Yang–Mills pura não tem Φ, e mesmo assim deveria ter gap.

Equação de campo de um vetor massivo Para L=−14F2+12m2AμAμ−AμJμ (Proca), Euler–Lagrange dá ∂μFμν+m2Aν=Jν. Tomando a divergência, m2∂νAν=∂νJν=0, então (□+m2)Aν=Jν. Para uma carga pontual estática, J0=g δ3(x): (−∇2+m2) A0(x)=g δ3(x).

Transformada de Fourier A0(r)=g∫d3k(2π)3 eik⋅rk2+m2.

Integral angular Com ∫dΩ eikrcos⁡θ=4πsin⁡krkr e estendendo a integral radial a R (o integrando é par): ∫ ⁣d3k eik⋅rk2+m2=2πir∫−∞∞ ⁣dk k eikrk2+m2.

Resíduo Para r>0, feche o contorno no semiplano superior; o único polo é k=im, com resíduo im e−mr2im=12e−mr: ∫−∞∞ ⁣dk k eikrk2+m2=2πi⋅12e−mr ⟹ A0(r)=g(2π)3⋅2π2e−mrr=g e−mr4πr.

Alcance V(r)=g24π e−mrr,ralcance=ℏmc. Com ℏc=197,3 MeV·fm e mW≈80,4 GeV, r≈2,5×10−3 fm. Para m=0, Coulomb. Massa do mediador ⇔ polo do propagador em k2=−m2 ⇔ decaimento exponencial: é a mesma ideia do gap, vista classicamente.

Por que não basta escrever m2A2 Além de violar δA=1gDα, o propagador de Proca é −i(gμν−kμkν/m2)k2−m2: a parte longitudinal não cai com k, e a contagem de potências degenera. Yang–Mills com massa explícita não é renormalizável.

Higgs: massa vinda do vácuo Dubleto Φ, L=∣DμΦ∣2−λ(Φ†Φ−v22)2, Dμ=∂μ−ig Wμaτa2. No vácuo ⟨Φ⟩=(0, v/2)T: ∣Dμ⟨Φ⟩∣2=g2v28 (0 1) τaτb(01) WμaWbμ=g2v28 WμaWaμ, pois só a parte simétrica 12{τa,τb}=δab sobrevive à contração com WaWb. Comparando com 12m2WaWa: mW=gv2. A simetria da lagrangiana continua exata; o vácuo é que não é invariante.

Contagem de graus de liberdade Antes: 3 bósons sem massa × 2 polarizações + 4 escalares reais = 10. Depois: 3 bósons massivos × 3 polarizações + 1 Higgs = 10. Três bósons de Goldstone viram as polarizações longitudinais (gauge unitário).

Resultado. V∝e−mr/r, alcance ℏ/mc, mW=gv/2. Em Yang–Mills pura não há Φ nem v: nenhuma escala aparece na lagrangiana. Se a força de cor tem alcance finito, a escala precisa nascer da dinâmica quântica, e é isso que o problema pede para provar.

A saída: o mecanismo de Higgs

O problema é que escrever um termo de massa para o campo de gauge destrói a simetria que dá sentido à teoria. Em 1964 Peter Higgs e outros propuseram uma saída: um campo que preenche todo o espaço. Os mensageiros continuam sem massa nas equações, mas, ao atravessarem esse campo, comportam-se como se tivessem massa (Goldstone e o mecanismo de Higgs). Em 1967 Steven Weinberg usou o mecanismo para unificar o eletromagnetismo e a força fraca; Abdus Salam chegou ao mesmo resultado, completando a proposta de Glashow de 1961. A comunidade ignorou o trabalho por anos, porque ninguém sabia se a matemática era consistente.

Em 1971 o doutorando Gerard ’t Hooft, orientado por Martinus Veltman, provou que as teorias de Yang–Mills, inclusive com quebra espontânea de simetria, são renormalizáveis. Os bósons W e Z foram detectados no CERN em 1983, com as massas previstas, e o Higgs apareceu no LHC em 2012, quarenta e oito anos depois de proposto. O Modelo Padrão ficou resumido num único grupo, SU(3)×SU(2)×U(1) (veja gauge e massas).