Liberdade assintótica e cor

Nos anos 1960 a força forte parecia impossível de domar. No fim da década, o acelerador de Stanford (SLAC) disparou elétrons contra prótons e viu que os quarks lá dentro se comportavam como quase livres, o contrário da intuição: toda força conhecida ficava mais forte a distâncias menores, e esta parecia sumir.

Em 1972 David Gross decidiu provar que nenhuma teoria quântica de campos poderia enfraquecer a curtas distâncias, o que as eliminaria da disputa. Com o aluno Frank Wilczek, calculou a variação do acoplamento numa teoria de Yang–Mills. Depois de corrigir um erro de sinal o resultado se inverteu: a força diminuía com a aproximação dos quarks e crescia com o afastamento. David Politzer, em Harvard, chegou ao mesmo resultado, e os artigos saíram lado a lado em 1973 (Nobel de 2004). O fenômeno é a liberdade assintótica. ’t Hooft havia obtido o sinal em 1972, sem publicar.

Com pouca energia, o próton é uma bola difusa: três quarks de valência presos numa nuvem de glúons e pares do mar, com acoplamento forte. Com muita energia, a sonda resolve distâncias de ℏc/Q, o acoplamento cai e os partons parecem quase livres: é a imagem que a fatorização com PDFs formaliza. αs(Q) a um laço com Λ≈0,2 GeV e nf=3.

Por que: blindagem contra antiblindagem

No vácuo quântico, pares partícula–antipartícula surgem e somem o tempo todo. Em volta de uma carga elétrica eles se orientam e a blindam: de longe a carga parece menor, de perto maior. Na força forte a carga é a cor, por analogia com a luz: três cargas, vermelho, verde e azul, que juntas se neutralizam (a teoria é a cromodinâmica quântica, QCD). Como os glúons também carregam cor, eles espalham a carga para fora, num efeito oposto, a antiblindagem, que vence a blindagem. Na leitura de Nielsen e Hughes, o 11/3 do coeficiente da função beta é a soma de um termo paramagnético dos glúons (que antiblinda e domina) com um diamagnético menor (que blinda).

À esquerda, pares elétron–pósitron virtuais se orientam e escondem parte da carga elétrica: a sonda vê mais carga quando chega perto, e o acoplamento da QED cresce com a energia. À direita, os glúons, que têm cor, espalham a carga de cor para longe: a sonda vê menos cor quando chega perto. É a antiblindagem por trás da liberdade assintótica e do running do capítulo. Animação ilustrativa.

Só combinações sem cor líquida existem livres: três cores juntas (bárion, como o próton), ou uma cor e sua anticor (méson, como o píon).

Vermelho, verde e azul somam branco: um bárion, como o próton. Uma cor com sua anticor também soma branco: um méson, como o píon. Qualquer outra combinação tem cor líquida e o confinamento proíbe que exista isolada. As espirais são glúons trocando cor entre os quarks.

Com N cores e nf sabores o acoplamento, a um laço, corre assim; acima de 11N/2 sabores os quarks blindam mais do que os glúons antiblindam e a liberdade assintótica se perde.

Curvas de um loop calculadas de verdade. QED: cada férmion carregado de massa mf passa a blindar a carga quando Q>mf, 1α(Q)=1α(0)−23π∑fNcQf2ln⁡Qmf: de 137 no limite clássico para cerca de 128 na massa do Z, como medido no LEP (os degraus são os limiares). QCD: 1αs(Q)=1αs(μ)+b02πln⁡Qμ, com b0=11−23nf positivo: o acoplamento cai no ultravioleta (liberdade assintótica, Nobel 2004) e explode perto de ΛQCD≈0,2 GeV, onde a teoria de perturbações acaba e começa o confinamento. Pontos: medidas (decaimento do τ, Υ, LEP no Z, jatos no LHC). Um loop subestima um pouco αs em baixa energia. A escala de distância sondada é ℏc/Q.

Cálculo completo de b0=113CA com o método do campo de fundo e o núcleo do calor (heat kernel). Formulação euclidiana, campo reescalado (gA→A), de modo que S=14g2∫FaFa, D=∂−iA, e g aparece só como prefator global. As ferramentas (determinantes gaussianos, integrais de Grassmann, ação efetiva) estão em Integral de caminho e Funções de Green.

Estratégia: o acoplamento é o coeficiente de F2 na ação efetiva Separe A=Aˉ+g a, com Aˉ um fundo clássico arbitrário e a a flutuação (normalizada canonicamente). A ação efetiva Γ[Aˉ]=−ln⁡∫Da e−S[Aˉ+ga] (só diagramas 1PI) é invariante de gauge em Aˉ se a fixação de gauge também for. Então, por invariância, a parte local de dimensão 4 só pode ser Γ[Aˉ]=14g2(μ)∫d4x FˉμνaFˉμνa+… Basta calcular o coeficiente de ∫Fˉ2 gerado pelo laço.

Fixação de gauge de fundo Escolha Ga=(Dˉμaμ)a com peso 12∫G2 (Feynman–'t Hooft, ξ=1). Sob Aˉ↦UAˉU−1−i(∂U)U−1, a↦UaU−1, G é covariante, logo Γ[Aˉ] é invariante. O operador de Faddeev–Popov é −DˉμDμ, que a um laço vira −Dˉ2.

Expansão quadrática F(Aˉ+ga)=Fˉ+g(Dˉμaν−Dˉνaμ)−ig2[aμ,aν]. O termo linear em a é proporcional à equação de movimento do fundo e não contribui para 1PI. Integrando por partes e usando DˉμDˉν−DˉνDˉμ=Ωμν, o termo −12(Dˉμaμ)2 de DˉμaνDˉνaμ é cancelado pela fixação de gauge, e sobra: S(2)=12∫aμa (Δ1)μνab aνb+∫cˉa(Δ0)abcb,Δ1=−Dˉ2 δμν−2 Ωμν,Δ0=−Dˉ2, com Ωμν=[Dˉμ,Dˉν]=−iFˉμνcTAc na adjunta. O −2Ω é o acoplamento do spin do glúon ao campo de fundo: um momento magnético.

Ação efetiva a um laço Integrais gaussianas: bósons reais dão det⁡−1/2, fantasmas (Grassmann complexos) dão det⁡+1. Logo Γ[Aˉ]=S[Aˉ]+12ln⁡det⁡Δ1−ln⁡det⁡Δ0+O(g2).

Núcleo do calor e o logaritmo Para Δ=−D2+E em R4: ln⁡det⁡Δ=−∫1/Λ2∞dssTr⁡e−sΔ e, para s→0, Tr⁡e−sΔ=1(4πs)2∫d4x tr⁡[1−sE+s2(12E2+112ΩμνΩμν)+O(s3)]. O termo s2 cancela o (4πs)−2 e deixa ∫ds/s: um logaritmo. Cortando no infravermelho em s∼1/μ2: ln⁡det⁡Δ∣log⁡=−116π2ln⁡Λ2μ2∫d4x tr⁡(12E2+112ΩμνΩμν).

O traço na adjunta Com tr⁡A(TAaTAb)=facdfbcd=CAδab (derivado em Yang–Mills): tr⁡A(ΩμνΩμν)=−FˉμνaFˉμνbtr⁡A(TAaTAb)=−CA FˉμνaFˉμνa.

Fantasmas e vetor, separadamente Fantasma (E=0, escalar na adjunta): tr⁡(112Ω2)=−112CAFˉ2. Vetor: espaço interno ⊗ 4 componentes de Lorentz. O termo orbital dá 4×(−112)CAFˉ2=−13CAFˉ2. O termo de spin, Eμν=−2Ωμν: 12tr⁡E2=12⋅4∑μνtr⁡A(ΩμνΩνμ)=−2tr⁡A(ΩμνΩμν)=+2 CAFˉ2.

Soma: diamagnetismo contra paramagnetismo Γ∣log⁡=−CA16π2ln⁡Λ2μ2∫Fˉ2[12⋅2⏟spin −12⋅13+112⏟orbital + fantasma]=−1112 CA16π2ln⁡Λ2μ2∫Fˉ2. Em unidades de 14: spin =+4, orbital =−13. Os fantasmas cancelam as duas polarizações não físicas no termo orbital; o termo de spin, que não existe para escalares, domina. É a leitura de Nielsen e Hughes: o vácuo de Yang–Mills é um meio paramagnético (μmag>1), e por relatividade ϵμ=1 implica ϵ<1: antiblindagem.

Renormalização 14g2(μ)=14g02(Λ)−11CA12⋅16π2ln⁡Λ2μ2 ⟹ 1g2(μ)=1g02(Λ)−b08π2ln⁡Λμ,b0=113CA. Mantendo g(μ) fixo e Λ→∞, 1/g02 cresce: g0(Λ)→0. É a liberdade assintótica, agora como afirmação sobre o acoplamento nu.

A equação de fluxo μddμ(1g2)=b08π2 ⟹ −2g3 β(g)=b08π2 ⟹ β(g)=−b0 g316π2.

Matéria e o caso abeliano A mesma conta, com Ω na representação R e E o acoplamento de spin (12σμνFμν para Dirac), dá a regra geral por multipleto: contribuição η T(R)((2s)2−13) com η=+1 para bósons e −1 para férmions, por campo com dois estados físicos (helicidades ±s, ou partícula e antipartícula): vetor (adj.):113CA,Weyl:−23T(R),Dirac:−43T(R),escalar complexo:−13T(R). Logo b0=113N−23nf para QCD. Em QED não há vetor carregado, só o termo fermiônico: β>0, blindagem, polo de Landau (acima).

Resultado. β(g)=−g316π2(113CA−43TFnf), com o 11/3 decomposto em +4 (spin, paramagnético) e −13 (orbital, diamagnético). O sinal é um fato perturbativo, controlado; o que acontece quando g cresce no infravermelho não é.