Massa do nada: transmutação dimensional e o gap

Restava um enigma. As equações da força forte não contêm nenhuma massa nem comprimento: todo o comportamento é governado por um único número adimensional. Por princípio deveriam descrever a mesma física em qualquer escala. Mas a liberdade assintótica diz que a força é fraca de perto e forte de longe, e então tem de existir uma distância de transição. De onde ela vem?

Vem dos efeitos quânticos. O acoplamento corre com a escala, e o ponto onde ele fica grande define uma energia Λ, de cerca de 200 MeV na QCD. Como E=mc2, uma escala de energia é uma escala de massa. Esse fenômeno, em que um número puro se converte numa grandeza física, é a transmutação dimensional.

A curva rosa é a escala Λ/μ=e−8π2/(b0g2) com b0=113N. A amarela é o polinômio de Taylor dessa função em torno de g2=0, até a ordem escolhida: é identicamente zero, em qualquer ordem, porque todas as derivadas se anulam em g=0. A teoria de perturbações é exatamente essa série de Taylor: por isso ela não enxerga a massa. O painel menor mostra log⁡10(Λ/μ): para g2=1 e SU(3), Λ/μ≈10−3; para g2=0,5, 10−6.

Parte de β(g)=−b0g3/16π2−b1g5/(16π2)2+… e chega a três afirmações: existe uma escala Λ invariante de RG; toda massa física é múltiplo de Λ; e Λ é não analítica em g, com todas as derivadas nulas em g=0.

Integrar o fluxo a um laço d(1/g2)dln⁡μ=b08π2 ⟹ 1g2(μ)=1g2(μ0)+b08π2ln⁡μμ0. Uma constante de integração, 1/g2(μ0), foi trocada por outra. A escolha de μ0 é arbitrária: há uma família a um parâmetro de pares (μ0,g(μ0)) que descrevem a mesma teoria.

O invariante da família Defina Λ≡μ exp⁡(−8π2b0g2(μ)). Verificação de que não depende de μ: dln⁡Λdln⁡μ=1+8π2b0⋅2g3 β(g)=1+16π2b0g3(−b0g316π2)=0. Invertendo: αs(μ)=g24π=4πb0ln⁡(μ2/Λ2). O parâmetro adimensional g desapareceu e no lugar dele surgiu uma escala de massa.

Toda massa é um múltiplo de Λ Uma massa física M (do glueball, por exemplo) só pode depender de μ e g(μ). Análise dimensional: M=μ f(g(μ)). Independência de μ: μdMdμ=μ(f+β(g)f′(g))=0 ⟹ f(g)=Cexp⁡(− ⁣∫g ⁣dg′β(g′))=C e−8π2/(b0g2). Portanto M=C Λ, com C um número puro. Razões M1/M2 são números puros calculáveis em princípio: a teoria não tem nenhum parâmetro livre (para SU(N) dado).

Não analiticidade A função h(x)=e−c/x, x=g2>0, tem h(n)(x)→0 quando x→0+ para todo n. A série de Taylor de Λ/μ em g2 é identicamente zero: Mμ=C e−8π2/(b0g2)=0+0⋅g2+0⋅g4+… Nenhuma ordem finita de diagramas, nem a soma de qualquer subsérie, produz o gap. Ele é estritamente não perturbativo. O mesmo fator e−8π2/g2 reaparece na ação de um instanton (instantons).

Dois laços e independência de esquema Com b1=343CA2 (=102 para SU(3) puro) e 1β=−16π2b0g3(1−b1g216π2b0+O(g4)): Λ=μ (b0g216π2)−b1/(2b02)e−8π2/(b0g2)(1+O(g2)). Sob g→g′=g+cg3+… (mudança de esquema), b0 e b1 não mudam; Λ muda por um fator constante Λ′=Λe16π2c/b0 (pois 1/g′2=1/g2−2c+O(g2)). Exemplo: ΛMS‾/Λrede≈28,8 para SU(3) com ação de Wilson.

O que a conta não diz Tudo acima é consistente com um gap M=CΛ, C>0, mas não o prova: o argumento só usa a forma assintótica de β para g→0. Se C=0 (teoria sem gap, como uma fase de Coulomb) a análise dimensional seria igualmente satisfeita. O Problema do Milênio é, nesta linguagem, provar C>0 num modelo construído rigorosamente.

Resultado. Λ=μe−8π2/(b0g2(μ)) é invariante de RG; M=CΛ; a dependência em g é C∞ e plana em 0, logo invisível a qualquer ordem. A escala nasce do corte e da quebra quântica da invariância de escala (anomalia de traço, Tμμ=β(g)2gFaFa).

O gap de massa

Ordene todos os estados de energia possíveis. O mais baixo é o vácuo, e uma partícula é uma excitação de um campo. A pergunta do gap é: qual é a menor excitação acima do vácuo? Se o glúon não tem massa, como o fóton, ele poderia carregar energia arbitrariamente pequena, e o espectro desceria continuamente até o vácuo. Não é o que se observa. Numa força forte “pura”, só de glúons, o objeto mais leve que se forma é uma bola de glúons, o glueball, que as simulações em supercomputadores dão como ~1,7 GeV (quase o dobro da massa do próton). A faixa vazia entre o vácuo e esse primeiro estado é o gap.

À esquerda, os estados de energia de uma teoria só de glúons, calculados na QCD na rede: as "glueballs", bolas de campo de cor, rotuladas por spin, paridade e conjugação de carga (JPC). O estado mais leve, 0++, tem ~1,7 GeV: entre o vácuo e ele não há nada. Esse intervalo é o gap de massa. Na teoria de Maxwell, só de fótons, o espectro começa em zero (fótons de energia arbitrariamente pequena). À direita, como a rede mede uma massa: o correlator C(t) de um operador decai como e−mt, e a inclinação no gráfico logarítmico dá m. Provar matematicamente que esse gap existe e é positivo é um dos sete Problemas do Milênio.

Como se enxerga um gap? Mede-se a correlação euclidiana de um operador invariante de gauge entre dois instantes e lê-se a inclinação do logaritmo: com gap, a “memória” entre as medidas morre exponencialmente. Mude o gap e compare com uma teoria sem gap, cujo decaimento é só em potência. A massa efetiva mef(τ)=−ddτln⁡C cai até um platô: o platô é Δ.

No primeiro painel, C(τ)=⟨Oˉ(τ)Oˉ(0)⟩ em escala logarítmica. Com gap (lilás), C=∑n∣⟨n∣O∣Ω⟩∣2e−Enτ: os estados excitados morrem primeiro e sobra uma reta de inclinação −Δ. Sem gap (cinza), o decaimento é em potência e nunca vira reta. No segundo, a massa efetiva mef=−ddτln⁡C: com gap, ela desce até um platô em Δ; sem gap, vai a zero. Os pontos são medidas simuladas com ruído crescente em τ, como numa rede de verdade: o platô se lê bem antes de o sinal se perder no ruído.

A equivalência que conecta o que se mede na rede (correlações euclidianas) com o que o enunciado pede (espectro de H). Usa só a reconstrução OS e o teorema espectral.

Correlação euclidiana como elemento de matriz Para O invariante de gauge, projetado em momento nulo, Oˉ(τ)=∫d3x O(τ,x), e subtraído, ⟨O⟩=0, a reconstrução dá C(τ)≡⟨Oˉ(τ) Oˉ(0)⟩=⟨OΩ, e−τH OΩ⟩H,τ≥0.

Representação espectral Com a decomposição espectral H=∫E dPE, defina a medida positiva dμO(E)=d⟨OΩ,PE OΩ⟩. Então C(τ)=∫[0,∞)e−τE dμO(E). Com vácuo único (consequência de OS4), μO({0})=∣⟨Ω,OΩ⟩∣2=⟨O⟩2=0.

Espectro discreto: a massa efetiva Se o espectro relevante é discreto, C(τ)=∑n≥1∣⟨n∣O∣Ω⟩∣2e−Enτ e meff(τ)≡−ddτln⁡C(τ) →τ→∞ E1, monotonamente decrescente (desigualdade de Cauchy–Schwarz para a medida). É exatamente o gráfico do widget de correlador acima: a inclinação no infinito é a massa do estado mais leve com os números quânticos de O.

Gap ⇒ decaimento Se spec⁡(H)⊂{0}∪[Δ,∞), então μO é suportada em [Δ,∞) e 0≤C(τ)≤e−Δτ∫dμO=e−Δτ ∥OΩ∥2.

Decaimento ⇒ gap Suponha C(τ)≤KOe−mτ para todo O num conjunto cujos vetores OΩ são densos em Ω⊥. Se μO((0,m−ϵ])=c>0 para algum ϵ, então C(τ)≥∫(0,m−ϵ]e−τEdμO≥c e−(m−ϵ)τ, que contradiz a cota para τ grande. Logo cada OΩ tem medida espectral em [m,∞); por densidade, P(0,m)=0: spec⁡(H)∖{0}⊂[m,∞).

Agrupamento espacial A mesma lógica com translações espaciais e invariância euclidiana dá a forma do enunciado desta seção: ∣⟨O(x)O(0)⟩−⟨O⟩2∣≤C e−Δ∣x∣. Por O(4), decaimento em qualquer direção euclidiana é decaimento em τ.

A versão em Minkowski Källén–Lehmann: ⟨Ω∣O(x)O(0)∣Ω⟩=∫0∞dρ(s) Δ+(x;s), com ρ≥0. O gap é supp⁡ρ⊂{0}∪[Δ2,∞): nenhuma partícula com massa entre 0 e Δ. Na rede, o estado mais leve de Yang–Mills SU(3) é o glueball 0++, ≈1,7 GeV (Morningstar–Peardon).

Resultado. Δ>0⇔ decaimento exponencial uniforme das correlações conectadas de observáveis invariantes de gauge. Na rede, com a e L fixos, isso é fácil e até rigoroso em acoplamento forte; o que falta provar é uma cota Δ≥Δ0>0 uniforme quando a→0 e L→∞, em unidades físicas.