Quantização canônica: criação e aniquilação

A quantização canônica eleva campos a operadores, trocando os parênteses de Poisson por comutadores. O campo vira uma soma de osciladores — cada modo com seus operadores de criação e aniquilação.

Lendo a fórmula. Na mecânica clássica, o estado de um sistema é dado pelas posições q e momentos p, e a dinâmica pelos parênteses de Poisson {q,p}=1. Um campo é um sistema com uma “posição” em cada ponto do espaço, ϕa(x), e um momento conjugado em cada ponto, πa(x)=∂L/∂ϕ˙a. Quantizar é trocar { , } por −i[ , ] (com ℏ=1): os campos viram operadores que não comutam com seus momentos no mesmo ponto.

Quantização canônica, passo a passo

Unidades com ℏ=1, corda de comprimento 1 com extremos fixos. A amostragem quântica é real: em cada modo, caminhantes de Metropolis seguem ∣ψn(q)∣2, com ψn dado pelos polinômios de Hermite. As curvas fracas são outras amostras do mesmo estado, e a faixa é ±⟨ϕ(x)2⟩, calculada exatamente. Note que num estado de Fock ⟨ϕ⟩=0: a partícula está no ruído, não numa onda. A energia de ponto zero 12∑kℏωk diverge com infinitos modos; o ordenamento normal a remove.

Campo escalar e a equação de Klein-Gordon

Escalar real livre, L=12∂μϕ ∂μϕ−12m2ϕ2, com π=∂L/∂ϕ˙=ϕ˙ e Ep=p 2+m2. Partimos da expansão em modos escrita acima e do comutador canônico de tempo igual; invertemos a expansão para extrair ap e calculamos [ap,aq†]. No fim conferimos o caminho de volta.

A expansão resolve a equação de Klein–Gordon Cada onda plana e∓ip⋅x com p⋅x=Ept−p⋅x satisfaz (□+m2)e∓ip⋅x=(−p2+m2)e∓ip⋅x, que se anula em p2=Ep2−p 2=m2. Como ϕ é real, a parte de frequência negativa é a conjugada da positiva: ϕ(x)=∫ ⁣d3p(2π)32Ep(ap e−ip⋅x+ap† eip⋅x).

O momento conjugado π=ϕ˙: derivar em t traz ∓iEp da exponencial: π(x)=∫ ⁣d3p(2π)32Ep (−iEp)(ap e−ip⋅x−ap† eip⋅x).

Inverter: isolar ap Seja f~(p)=∫d3x e−ip⋅xf(t,x). A integral em d3x de e±iq⋅x dá (2π)3δ(3), então ϕ~(p)=ape−iEt+a†−peiEt2E,π~(p)=−iE ape−iEt−a†−peiEt2E. Em Eϕ~+iπ~ os termos em a†−p se cancelam e os em ap dobram. Multiplicando por eiEt: ap=∫d3x eip⋅x Ep ϕ(x)+i π(x)2Ep,ap†=∫d3x e−ip⋅x Ep ϕ(x)−i π(x)2Ep. (O lado direito não depende de t, como deve, pois ap é constante no quadro de Heisenberg.)

O comutador [ap,aq†] Só [ϕ,π] é não nulo. Com ϕx≡ϕ(t,x) e E=Ep, E′=Eq: [Eϕx+iπx, E′ϕy−iπy]=−iE[ϕx,πy]+iE′[πx,ϕy]=−iE (iδ(3))+iE′(−iδ(3))=(E+E′) δ(3)(x−y). Portanto [ap,aq†]=∫d3x ei(p−q)⋅x Ep+Eq2EpEq=(2π)3δ(3)(p−q), pois a integral em x dá δ(3)(p−q), que força Ep=Eq; então a fração vale 2E/2E=1 e o fator de fase temporal também é 1.

Os outros comutadores se anulam Do mesmo jeito, [Eϕx+iπx, E′ϕy+iπy]=iE′[ϕx,πy]+iE[πx,ϕy]=(E−E′) δ(3)(x−y). A integral em x força q=−p, logo E′=E e o comutador se anula: [ap,aq]=0=[ap†,aq†].

Verificação no sentido inverso Com a álgebra dos passos 4 e 5, calcule [ϕ(t,x),π(t,y)] usando os passos 1 e 2. Sobram os termos [a,a†] e [a†,a]: [ϕx,πy]=∫ ⁣d3p(2π)3 2Ep (iEp)(eip⋅(x−y)+e−ip⋅(x−y))=i2⋅2 δ(3)(x−y)=i δ(3)(x−y). Recupera-se o comutador de partida, então as duas formulações são equivalentes.

Resultado. [ϕ,π]=iδ(3) ⟺ [ap,aq†]=(2π)3δ(3)(p−q), [a,a]=0: cada p é um oscilador independente. A normalização 1/2E torna os estados ∣p⟩=2Ep ap†∣0⟩ invariantes de Lorentz: ⟨p∣q⟩=2Ep(2π)3δ(3)(p−q). Checagem de unidades: ϕ tem dimensão 1 e ∫d3p a/E também, logo [ap]=−1, compatível com δ(3) de dimensão −3.

Energia, momento, vácuo e partículas

Substituindo a expansão na hamiltoniana H=∫d3x [12π2+12(∇ϕ)2+12m2ϕ2], os termos com aa e a†a† se cancelam e sobra uma soma de osciladores independentes. O termo constante 12Ep por modo (energia de ponto zero) é infinito e não observável; o ordenamento normal : : (todos os a† à esquerda) o remove.

Escalar real livre na caixa de volume V→∞, com a expansão e a álgebra [ap,aq†]=(2π)3δ(3)(p−q) da seção (derivada na caixa anterior). Substituímos em H=∫d3x [12π2+12(∇ϕ)2+12m2ϕ2], mostramos que só sobram osciladores, isolamos a energia do ponto zero e vemos que ap† soma Ep.

Três integrais espaciais Cada produto de dois campos contém ∫d3x e±i(p±q)⋅x=(2π)3δ(3), que colapsa uma integral de momento. Escrevendo q=±p e ϕ e π da expansão em modos: ∫ ⁣π2=∫ ⁣d3p(2π)3−E22E[apa−pe−2iEt+ap†a†−pe2iEt−apap†−ap†ap],∫ ⁣(∇ϕ)2=∫ ⁣d3p(2π)3p 22E[apa−pe−2iEt+ap†a†−pe2iEt+apap†+ap†ap],∫ ⁣ϕ2=∫ ⁣d3p(2π)312E[apa−pe−2iEt+ap†a†−pe2iEt+apap†+ap†ap]. Os sinais: em π vem (∓iE)2, em ∇ϕ vem (ip)⋅(±iq), com q=∓p nos termos aa e a†a†.

Os termos aa e a†a† cancelam Somando com os pesos 12, 12, 12m2, o coeficiente de apa−pe−2iEt é 14E (−E2+p 2+m2)=0, pela relação de dispersão. O mesmo vale para a†a†. Esses termos mudariam o número de partículas em duas unidades, e a teoria livre não os tem.

O que sobra O coeficiente de apap†+ap†ap é 14E(E2+p 2+m2)=2E24E=E2: H=∫ ⁣d3p(2π)3 Ep2(apap†+ap†ap)=∫ ⁣d3p(2π)3 Ep(ap†ap+12 [ap,ap†]). Com [ap,ap†]=(2π)3δ(3)(0)=V: H=∫ ⁣d3p(2π)3 Ep ap†ap+V ⁣∫ ⁣d3p(2π)3 12Ep. É uma soma de osciladores, ∑E(n+12), um por modo.

A energia do vácuo é infinita No estado ∣0⟩, só o segundo termo contribui. Densidade de energia com corte ∣p∣<Λ e m→0: ε0=∫Λ ⁣d3p(2π)3∣p∣2=4π(2π)3⋅12⋅Λ44=Λ416π2. Para Λ=MP=1,22×1019 GeV, ε0=1,4×1074 GeV4; a densidade de energia escura medida é (2,25 meV)4=2,6×10−47 GeV4, a razão é 5×10120, o número do problema da constante cosmológica (veja a última seção).

Ordenamento normal Sem gravidade, só diferenças de energia são medidas, então redefinimos o zero da energia pondo todos os a† à esquerda dos a: :H:=∫ ⁣d3p(2π)3 Ep ap†ap,:H: ∣0⟩=0. O mesmo cálculo com P=−∫π∇ϕ dá :P:=∫d3p(2π)3 p ap†ap.

ap† soma uma partícula de energia Ep Usando [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B: [:H:,ap†]=∫ ⁣d3q(2π)3Eq aq† [aq,ap†]=Ep ap† ⇒ :H: ap†∣0⟩=Ep ap†∣0⟩. De m e p vem E=p 2+m2: é isso que faz ap†∣0⟩ ser uma partícula relativística de massa m.

Resultado. H=∫ ⁣d3p(2π)3Ep(a†a+12[a,a†]); o ponto zero 12∑E vale Λ4/16π2 por volume (cortado em Λ) e é eliminado por : : sem efeito sobre diferenças de energia; [:H:,ap†]=Epap†. Aproximações: campo livre, V→∞; o corte duro quebra a invariância de Lorentz (só o expoente 4 é robusto).

Partículas idênticas e o enunciado do teorema spin-estatística, do lado da mecânica quântica, estão em partículas idênticas.

A mecânica quântica por trás deste método (espaço de Hilbert, bras e kets, oscilador harmônico, spin) está em Mecânica Quântica. Ir para a seção →