Da mecânica quântica aos campos

Até aqui contamos partículas fixas. Mas partículas são criadas e destruídas o tempo todo, e uma teoria com um número fixo delas não dá conta. A saída é inverter a descrição: o objeto fundamental passa a ser o campo, e as partículas viram suas vibrações.

A imagem é a de uma corda de violão: a corda é o campo, e cada nota é uma partícula. "Criar um fóton" é fazer o campo eletromagnético vibrar um degrau a mais — literalmente o degrau da escada do oscilador da seção anterior.

Tudo o que fizemos até aqui pressupõe silenciosamente uma coisa: o número de partículas é fixo. O espaço de Hilbert L2(R3) descreve uma partícula; L2(R3)⊗N descreve N. Mas a natureza não respeita isso.

Junte relatividade e mecânica quântica e o número de partículas não pode ser conservado. A relação E=mc2 permite converter energia em massa; com energia disponível acima de 2mec2, um par elétron-pósitron real pode ser criado. (A imagem popular de energia "emprestada" por um tempo Δt∼ℏ/ΔE é enganosa: a energia se conserva em cada vértice, e partículas virtuais são linhas internas de diagramas; veja as relações de incerteza.) Processos como e+e−→γγ e a emissão espontânea de um fóton por um átomo são impossíveis de descrever num espaço de Hilbert de N fixo. Precisamos de um espaço que contenha todos os setores de N ao mesmo tempo.

Onde a TQC se encaixa: a escada da quantização

Antes das contas, vale ver o mapa. Quantizar é sempre a mesma operação: pegar algo que era um número e promovê-lo a operador. O que muda é em que você aplica isso.

Quase todo mundo tropeça aqui: "mas ψ(x) já não é um campo?" Ela parece um — atribui um número a cada ponto. Mas o papel é totalmente diferente:

Pense num lençol estendido. Na MQ, ψ(x) é a altura do lençol em cada ponto — a configuração atual. Na TQC, ϕ^(x) é ter um martelinho instalado em cada ponto: não é a forma do lençol, é o aparelho que adiciona ou remove uma ondulação ali. E o estado deixa de ser "a forma" e passa a ser a lista de quantas batidas existem em cada modo de vibração.

O operador de campo

Até agora falamos de modos. O campo é o que amarra tudo: uma superposição de todos os modos, com um operador de criação e um de aniquilação em cada ponto do espaço. Para um campo escalar real em uma dimensão de comprimento L:

Leia com atenção o que isso diz: ϕ^(x) não é um número em cada ponto — é um operador em cada ponto. Ele não "tem valor"; ele age no espaço de Fock, adicionando ou removendo quanta. E o hamiltoniano do campo livre fica:

Um campo quântico é uma coleção infinita de osciladores harmônicos, um para cada modo. O que chamamos de "partícula" é apenas um quantum de excitação de um desses osciladores.

O campo é a entidade fundamental; a partícula é derivada. Todos os elétrons do universo são idênticos porque são excitações do mesmo campo eletrônico — a indistinguibilidade deixa de ser um mistério e vira uma consequência estrutural.

Se você guardar uma só imagem desta seção, guarde esta. O campo é o oceano; a partícula é a onda.

É essa imagem que resolve a pergunta "por que todos os elétrons são exatamente iguais?". Não é coincidência nem fabricação em série: existe um único campo eletrônico no universo, e o que chamamos de elétrons são suas ondulações. Perguntar por que duas ondas do mesmo oceano são iguais é perguntar errado.

Onde a analogia quebra: ondas do mar somam amplitudes reais e podem ter qualquer tamanho; o campo quântico soma amplitudes complexas e só aceita excitações em múltiplos inteiros de ℏωk. É a quantização — e é justamente o que a analogia clássica não captura.

O vácuo não é o nada

Note o +12 na soma acima. Ele sobrevive mesmo com todos os nk=0:

A energia do vácuo diverge. Esse é o primeiro contato de quem estuda TQC com o fato de que a teoria produz infinitos que precisam ser domados (renormalização). E o vácuo tem outra propriedade contraintuitiva, essa perfeitamente finita e mensurável:

Ou seja: o campo é zero na média, mas não é zero. Ele flutua. Essas flutuações do vácuo não são especulação — elas produzem efeitos medidos em laboratório com altíssima precisão: o efeito Casimir (duas placas se atraem no vácuo), o deslocamento de Lamb nos níveis do hidrogênio, a emissão espontânea (um átomo excitado decai porque o campo eletromagnético do vácuo o perturba) e o momento magnético anômalo do elétron.

Como tudo se conecta

Com H^0 (campo livre) resolvido exatamente e uma interação V^ tratada na pintura de interação, a série de Dyson gera os diagramas de Feynman: cada termo da série é um processo de criação e aniquilação de quanta, e cada diagrama é uma instrução de cálculo. O elétron do vértice é um b^†; o fóton emitido é um a^†; o propagador interno é exatamente o K da seção Integral de caminho. Tudo o que você viu nesta área reaparece lá — só que com um índice de modo a mais.

Duas perguntas que o texto responde só em palavras: quando a mecânica quântica de N partículas deixa de valer (a escala em que pares aparecem) e como se constrói o espaço onde N varia, com a contagem de estados e a ação de a e a†. Usamos ℏ e c explícitos nos passos 1 e 2, e ℏ=c=1 depois.

Localizar custa momento Para confinar uma partícula numa região Δx, o princípio de incerteza exige Δp ≥ ℏ2 Δx. Quanto menor a caixa, maior o momento típico, e portanto a energia.

A energia relativística e o limiar de pares Com a relação relativística, a energia de uma partícula confinada é pelo menos E≳(Δp c)2+m2c4. Quando E≥2mc2, há energia suficiente para materializar um par e+e− a mais, e a descrição com um elétron só perde o sentido: (Δp c)2+m2c4=2mc2 ⇒ Δp=3 mc ⇒ Δx≃ℏ23 mc=λC23,λC≡ℏmc. Para o elétron, λC=3,86×10−13 m e Δx≈1,1×10−13 m. O número exato é só uma estimativa; o que importa é a escala λC: abaixo dela, não se confina uma partícula sem criar outras. O tempo correspondente é Δt∼ℏ/(2mc2)=6,4×10−22 s (c Δt=1,9×10−13 m, a mesma escala).

Empilhar todos os setores Seja H o espaço de uma partícula, com base de M modos {k}. O espaço de Fock é a soma direta dos setores de N=0,1,2,… partículas, simetrizados (bósons) ou antissimetrizados (férmions). Contando os estados da base ∣n1,…,nM⟩ com ∑ni=N: dim⁡FNboˊson=(M+N−1N),dim⁡FNfeˊrmion=(MN),dim⁡Ffeˊrmion=∑N(MN)=2M. Teste de consistência para M=3, N=2: bósons (42)=6, férmions (32)=3, e 6+3=9=32, a dimensão de H⊗H de partículas distinguíveis (a parte simétrica mais a antissimétrica).

A álgebra de a e a† (bósons) Para um modo, [a,a†]=1 e N^=a†a. Então [N^,a†]=a†[a,a†]=a† e [N^,a]=−a: se N^∣n⟩=n∣n⟩, então a†∣n⟩ tem autovalor n+1 e a∣n⟩ tem n−1. As normas fixam os coeficientes: ∥a†∣n⟩∥2=⟨n∣aa†∣n⟩=⟨n∣(N^+1)∣n⟩=n+1,∥a∣n⟩∥2=⟨n∣N^∣n⟩=n. Como ∥a∣n⟩∥2=n≥0 e a escada só desce em passos inteiros, ela tem de terminar em n=0, onde a∣0⟩=0. Resultado: a†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩,a∣n⟩=n ∣n−1⟩,∣n⟩=(a†)nn!∣0⟩.

Férmions: a escada tem só dois degraus Com anticomutadores, {c,c†}=1 e c2=0=(c†)2: cada modo tem ∣0⟩ e ∣1⟩=c†∣0⟩ e mais nada (c†∣1⟩=(c†)2∣0⟩=0). Daí 2M no passo 3. A troca de dois férmions de modos diferentes dá ci†cj†=−cj†ci†, o sinal que implementa a antissimetria.

O que ganhamos: processos que mudam N Um operador como ak† aq ap leva o setor de N para N−1: só faz sentido em F. A emissão de um fóton por um átomo, ∣exc⟩→∣fund⟩+γ, é a ação de aγ† sobre o estado do campo, e e+e−→γγ combina aniquilações de c, d com duas criações aγ†. É o mesmo oscilador da quantização canônica, uma cópia por modo do campo.

Resultado. A MQ de N fixo vale para Δx≫λC=ℏ/mc (elétron: 3,9×10−13 m); abaixo disso é preciso F=⨁NFN, onde a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩ para bósons e cada modo tem ocupação 0 ou 1 para férmions (dim⁡F=2M). Verificação numérica: M=3,N=2 dá 6+3=9.