Os campos do Modelo Padrão

Cada spin tem sua estrutura. Escolha um campo abaixo e veja a onda e suas polarizações em 3D; a seguir, o catálogo completo com as equações de movimento.

Spin 1 massivo: 3 polarizações, 2 transversais (±1) e 1 longitudinal (0), que oscila ao longo da direção de movimento. A longitudinal é o Goldstone absorvido.

O operador a^λ† cria um quantum com polarização ϵμ(p,λ) — a direção em que o campo oscila no 3D. Note: o campo massivo (Proca) tem 3 polarizações; o fóton, só 2 transversas (a longitudinal é gauge); o escalar não tem direção; o férmion tem 2 helicidades.

Cada campo abaixo segue o mesmo roteiro: (1) a Lagrangiana livre, (2) a equação de movimento que sai de Euler–Lagrange, (3) a expansão em modos (um oscilador por momento e polarização), (4) a álgebra dos operadores (comutadores para bósons, anticomutadores para férmions) e (5) o propagador, que é o que entra nos diagramas de Feynman. O procedimento geral está detalhado na seção anterior com o escalar real; aqui se vê o que muda de um spin para outro. As interações (os termos com dois ou mais campos diferentes) ficam de fora: na teoria de perturbação elas viram os vértices.

1 · Escalar real (spin 0, neutro)

Tratado do começo ao fim em quantização canônica: lagrangiana, expansão em modos, [a,a†], hamiltoniano e vácuo.

2 · Escalar complexo (spin 0, partícula ≠ antipartícula)

Dois campos reais de mesma massa, Φ=(ϕ1+iϕ2)/2. A Lagrangiana é invariante pela fase global Φ→eiαΦ, e o teorema de Noether dá uma carga conservada: as partículas criadas por a† têm carga +1 e as criadas por b†, carga −1.

3 · Escalar carregado: o complexo acoplado ao fóton (QED escalar)

Tornando a fase local, a derivada vira covariante e o fóton entra. O campo livre e seus modos são os mesmos do item 2; o que muda são as equações de movimento, que agora acoplam Φ e Aμ, e os dois vértices que aparecem.

No Modelo Padrão não sobra nenhum escalar fundamental carregado: o ϕ± do dubleto de Higgs é comido pelos W±. Mas a QED escalar descreve bem píons e káons carregados a baixa energia, e os Goldstones G± no gauge Rξ.

4 · O Higgs (dubleto complexo, depois da quebra)

5 · Espinor de Dirac (spin ½)

Quatro componentes complexas: duas de spin para a partícula, duas para a antipartícula. A Lagrangiana é de primeira ordem nas derivadas, por isso o momento conjugado é o próprio ψ†, e a quantização usa anticomutadores: é o que torna a energia positiva e impõe o princípio de Pauli.

Campo de Dirac livre, L=ψˉ(i∂̸−m)ψ, com a expansão do item 5 do catálogo: operadores cps (elétron) e dps (pósitron), espinores us,vs com p̸ u=m u, p̸ v=−m v. Calculamos H com {c,c†}={d,d†}=(2π)3δ(3) e mostramos que com comutadores a energia seria ilimitada por baixo.

A hamiltoniana L é de primeira ordem: π=iψ† e H=πψ˙−L=ψ†(−iα⋅∇+βm)ψ. Pela equação de Dirac, hψ=iψ˙ com h=−iα⋅∇+βm, então H=∫d3x ψ† iψ˙.

Normalizações e ortogonalidade dos espinores De uˉγμu=2pμ e vˉγμv=2pμ (μ=0): ur†(p)us(p)=vr†(p)vs(p)=2Ep δrs. A onda de frequência positiva u(p)e−ip⋅x obedece a h(p)u=+E u, e v(−p) obedece a h(p) v(−p)=−E v(−p) (a onda v eip⋅x tem i∂t→−E). Autovetores de uma matriz hermitiana com autovalores distintos são ortogonais: ur†(p) vs(−p)=0.

Substituir a expansão iψ˙=∫d3p(2π)32E E∑s(csuse−ip⋅x−ds†vseip⋅x). A integral ∫d3x casa p com q nos termos c†c e d d† e com −q nos termos c†d† e d c, que se anulam pela ortogonalidade do passo 2. Os restantes têm u†u/2E=1 e v†v/2E=1: H=∫d3p(2π)3 Ep∑s(cps†cps−dps dps†). Antes de escolher a álgebra, o termo dos pósitrons aparece com sinal negativo: é o mar de Dirac em novo vestido.

Com anticomutadores d d†=(2π)3δ(3)(0)−d†d e (2π)3δ(3)(0)=V. Então H=∫d3p(2π)3 Ep∑s(cs†cs+ds†ds)−2V ⁣∫d3p(2π)3Ep. Os dois operadores de número aparecem com +E: cada elétron e cada pósitron custa +Ep. A constante −2V∫E é a energia de ponto zero dos 4 estados por momento (2 spins × partícula e antipartícula), 4×(−12E): o sinal oposto ao do escalar, e é o que o ordenamento normal remove (e que, em SUSY, cancela a dos bósons).

Com comutadores seria um desastre Com [d,d†]=(2π)3δ(3), d d†=d†d+V e H=∫d3p(2π)3 Ep∑s(cs†cs−ds†ds)+const. Cada pósitron criado diminuiria a energia em Ep, e n pósitrons com n→∞ levariam H→−∞: não há estado fundamental. (Com comutadores o princípio de Pauli também falha, (d†)2≠0.) A energia é positiva só com anticomutadores. Esta é a versão operacional do teorema spin-estatística para spin 12.

Consistência: de volta a {ψ,ψ†}=δ(3) Com as somas de spin ∑su u†=(p̸+m)γ0 e ∑sv v†=(p̸−m)γ0, no mesmo instante: {ψa(x),ψb†(y)}=∫d3p(2π)3 2E[(Eγ0−p ⁣⋅ ⁣γ+m)+(Eγ0+p ⁣⋅ ⁣γ−m)]ac(γ0)cb eip⋅(x−y)=δab δ(3)(x−y). (No termo de v trocou-se p→−p, de modo que as fases ficaram iguais.) Os termos em p e em m cancelam, e sobra 2Eγ0γ0/2E=1.

Resultado. H=∫d3p(2π)3Ep∑s(c†c+d†d)−2V ⁣∫ ⁣d3p(2π)3Ep, limitada por baixo e com +E para elétrons e pósitrons, somente se {c,c†}={d,d†}=(2π)3δ(3). Com comutadores, H conteria −E d†d e seria ilimitada inferiormente. O resultado vale para o campo livre; as interações só mudam H por termos de ordem mais alta.

No Modelo Padrão os férmions entram como pares de espinores de Weyl, ψL=PLψ e ψR=PRψ, que se transformam diferente sob SU(2)L×U(1)Y. A massa mψˉψ=m(ψˉLψR+ψˉRψL) só aparece depois da quebra, pelo Yukawa. Um neutrino poderia ainda ser de Majorana (ψ=ψc, partícula = antipartícula, d=c).

6 · Fóton (spin 1, sem massa)

Trabalhamos no gauge de Feynman (ξ=1), onde cada componente Aμ é um campo escalar sem massa, e mostramos como a norma negativa e a polarização longitudinal desaparecem dos estados físicos. Convenções do texto: métrica (+,−,−,−), [ap,λ,aq,λ′†]=−gλλ′(2π)3δ(3), ω=∣p∣.

A Lagrangiana de Feynman e o comutador Somando −14FμνFμν e −12(∂μAμ)2 e descartando uma derivada total: L=−12 ∂μAν ∂μAν=12A˙i2−12(∇Ai)2−12A˙02+12(∇A0)2. Os componentes espaciais são escalares comuns. O componente A0 tem o sinal cinético trocado. Com πν=∂L/∂A˙ν=−A˙ν e [Aμ(x),πν(y)]=iδμνδ(3): [Aμ(t,x),A˙ν(t,y)]=−i gμν δ(3)(x−y), que para μ=ν=i (gii=−1) é o comutador [ϕ,ϕ˙]=iδ usual, e para μ=ν=0 tem o sinal oposto. Repetindo a derivação do escalar, [aλ,aλ′†]=−gλλ′ nas polarizações ϵ(0)=(1,0), ϵ(1,2)=(0,e^⊥), ϵ(3)=(0,p^).

Norma negativa Para λ=0, [a0,a0†]=−1: ∥a0†∣0⟩∥2=⟨0∣a0a0†∣0⟩=−1<0, enquanto λ=1,2,3 dão +1. Um espaço de Hilbert com probabilidades negativas não serve, então é preciso excluir esses estados.

A hamiltoniana Os componentes espaciais dão ω ai†ai (como o escalar). O de A0 tem L de sinal contrário, logo H de sinal contrário: :H:=∫d3p(2π)3 ω(∑i=13ai†ai−a0†a0). O estado a0†∣0⟩ tem energia −ω a0†[a0,a0†]=+ω a0†: energia positiva, norma negativa.

A condição de Gupta–Bleuler A equação de Lorenz ∂μAμ=0 não vale como identidade de operadores, mas pode ser imposta aos estados pela parte de frequência positiva, A(+) (a que contém a): ∂μAμ(+)∣ψ⟩=0 ⇒ −i∑λpμϵμ(p,λ) ap,λ∣ψ⟩=0. Com pμ=(ω,p): p⋅ϵ(0)=ω, p⋅ϵ(3)=−p⋅p^=−ω, p⋅ϵ(1,2)=0. Então ω (ap,0−ap,3) ∣ψ⟩=0. Os modos transversais não são restringidos.

A energia dos estados físicos conta só 2 polarizações De a3∣ψ⟩=a0∣ψ⟩ e do conjugado ⟨ψ∣a3†=⟨ψ∣a0†, segue ⟨ψ∣a3†a3∣ψ⟩=⟨ψ∣a0†a0∣ψ⟩, e na hamiltoniana os dois termos se cancelam: ⟨ψ∣:H:∣ψ⟩=∫d3p(2π)3 ω ⟨ψ∣(a1†a1+a2†a2)∣ψ⟩. Também as normas: o estado (a3†−a0†)∣0⟩ tem ∥⋅∥2=[a3,a3†]+[a0,a0†]=1−1=0. Estados físicos diferem por vetores de norma zero, que são equivalentes a zero nas probabilidades: é a redundância de gauge.

Contagem 4 componentes de Aμ − 1 (a condição de Lorenz elimina a combinação a0−a3) − 1 (a combinação restante tem norma zero e é gauge, Aμ→Aμ+∂μΛ com □Λ=0) =2, as helicidades ±1 da luz. Em geral, em D dimensões: D−2.

Resultado. Fixar gauge dá 4 modos, um com norma −1; a condição ω(a0−a3)∣ψ⟩=0 faz as contribuições de a0 e a3 à energia se cancelarem, de modo que ⟨H⟩=∑ω ⟨a1,2†a1,2⟩: 2 graus de liberdade físicos. Vale para o fóton livre (QED); para glúons a mesma contagem exige os fantasmas, como no item 10 do catálogo.

7 · Glúons (spin 1, sem massa, com cor)

Essa expansão só vale para a parte livre, que é o ponto de partida da perturbação em alta energia. Glúons não aparecem como partículas livres (confinamento), e a condição de Gupta–Bleuler não basta no caso não-abeliano: as polarizações não físicas voltam pelos loops de glúons, e é para cancelá-las que existem os fantasmas (item 10).