Extensões gravitacionais
Quantização canônica dos campos de spin alto: o gravitino (3/2) e o gráviton (2).
O mesmo procedimento canônico estende-se ao setor gravitacional — campos de spin 3/2 e 2, com vínculos de gauge mais ricos.
Um anel de partículas livres, com a onda vindo na direção perpendicular à tela. A onda gravitacional (gráviton, spin 2) estica uma direção e comprime a perpendicular, alternando: polarização + ou ×, que é a mesma figura girada de 45°. Girar o padrão por 180° o deixa igual: essa simetria é a marca do spin 2 (um campo de spin s volta a si mesmo após 360∘/s). Já uma onda eletromagnética (spin 1) sobre cargas balança o anel inteiro numa direção, e o padrão só se repete após 360°. O LIGO mede exatamente esse estica-e-encolhe, com h∼10−21.
Gravitino · spin 3/2 (Rarita-Schwinger)
Na supergravidade, o parceiro supersimétrico do gráviton é o gravitino ψμ, um espinor-vetor de Majorana.
Gráviton · spin 2 (Fierz-Pauli)
As flutuações lineares da métrica, gμν=ημν+κhμν (com κ=32πG), são um campo tensorial simétrico de spin 2.
O campo hμν simétrico tem 10 componentes; o texto afirma que só 2 (helicidades ±2) são físicas. Contamos pela equação linearizada de Einstein no espaço de momentos, hμν(x)=ϵμνe−ip⋅x, com métrica (+,−,−,−). Verificamos também por álgebra linear numérica.
A simetria de gauge A linearização da invariância por difeomorfismos xμ→xμ+ξμ é δhμν=∂μξν+∂νξμ ⟶ δϵμν=−i (pμξν+pνξμ), com 4 funções livres ξν. Toda a física depende só de classes de equivalência ϵ∼ϵ+p ξ: os 4 parâmetros de gauge podem ser usados para remover 4 componentes.
A equação de movimento A equação de Fierz–Pauli sem massa (a linearização de Gμν=0) é, no espaço de momentos, Eμν≡p2ϵμν−pμpλϵλν−pνpλϵλμ+pμpν ϵ+ημν(pλpσϵλσ−p2ϵ)=0,ϵ≡ηλσϵλσ. Ela é identicamente consistente com a simetria do passo 1: Eμν[p ξ]=0 para todo ξ, e também pμEμν≡0 (identidade de Bianchi). Estas são 4 relações entre as 10 equações, então só 10−4=6 delas são independentes.
Contagem pelo posto Para p2≠0, a matriz 10×10 de Eμν tem posto 6: as soluções são as 4 de gauge puro e nada mais, ou seja, nenhum modo propagante fora da camada de massa. Para p2=0 o posto cai para 4 e o espaço de soluções tem dimensão 10−4=6: 10⏟ϵμν−4⏟posto de E=6 soluc¸o˜es,6−4⏟gauge puro=2 fıˊsicas. Conferi o posto numericamente para p=(2,0,0,1) (posto 6) e p=(1,0,0,1) (posto 4).
O mesmo no gauge de de Donder Escolhendo pμϵμν=12pνϵ (4 condições), Eμν=0 vira p2ϵμν=0 para ϵˉμν=ϵμν−12ημνϵ: 10−4=6 componentes restam. Ainda sobra a liberdade residual ξμ com □ξμ=0; em p2=0 qualquer ξ preserva a condição, e remove mais 4: 10−4 (de Donder)−4 (residual)=2.
As duas polarizações, explicitamente Para pμ=ω(1,0,0,1), as componentes ϵ0ν,ϵ3ν são removidas pelo gauge, e sobram ϵxx=−ϵyy e ϵxy (simétrico, transverso, sem traço): duas, ϵ+ e ϵ×. Com e±=(0,1,±i,0)/2, ϵμν(±2)=eμ±eν±. Uma rotação de θ em torno de z^ leva e±→e∓iθe±, então ϵ(±2)→e∓2iθϵ(±2): helicidade ±2, spin 2. (O fóton tem fase e∓iθ: helicidade ±1.)
Em D dimensões e com massa A mesma contagem (12D(D+1) componentes, menos D de gauge-fixing, menos D residuais) dá Ngrav(D)=12D(D+1)−2D=12D(D−3),Ngrav(4)=2, Ngrav(5)=5, Ngrav(11)=44. Com massa de Fierz–Pauli não há simetria de gauge e restam 12(D+1)(D−2)=5 em D=4: os 2 do gráviton sem massa mais 2 de vetor e 1 de escalar (a descontinuidade vDVZ).
Resultado. 10 componentes − 4 (vínculos/de Donder) − 4 (gauge residual) =2: helicidades ±2, com N=12D(D−3) em D dimensões. Verificação numérica do posto: 6 fora da camada de massa, 4 em p2=0, isto é, 6−4=2 polarizações físicas. Vale na teoria linear (campo fraco) sobre espaço plano.