Quantização por integral de caminho

Feynman: a amplitude de transição é a soma sobre todas as trajetórias, cada uma com peso eiS/ℏ. A interferência entre as infinitas histórias produz a física quântica.

A versão de mecânica quântica (uma partícula, o propagador como soma sobre histórias e a verificação numérica de que coincide com a soma sobre estados) está em Mecânica Quântica, em Integral de caminho. Aqui a mesma ideia é levada aos campos.

Na física clássica uma partícula segue um único caminho: o que minimiza a ação. Feynman propôs que, na física quântica, ela segue todos os caminhos ao mesmo tempo. Cada caminho contribui com uma “setinha” (um número complexo de tamanho 1) que gira conforme a ação daquele caminho. A amplitude final é a soma de todas as setinhas.

Caminhos muito tortos têm setinhas apontando para todos os lados e se cancelam. Caminhos perto do clássico têm setinhas quase alinhadas e somam. Por isso, para objetos grandes, só o caminho clássico importa; para partículas, os caminhos vizinhos também contam e produzem interferência. Na teoria de campos, “caminho” vira “história do campo inteiro”.

Construindo a integral, passo a passo

Em cima: o tempo vai de A até B e é fatiado em N instantes. Cada história é sorteada: pontes brownianas e deformações aleatórias de todos os tamanhos, mais alguns caminhos esdrúxulos (zigue-zague, teletransporte, excursões) com parâmetros aleatórios. Todas entram com o mesmo peso ∣eiS/ℏ∣=1; cada uma é colorida pela sua fase (S−Scl)/ℏ. Em dourado, o caminho resultante: a média das posições pesada pela fase, ⟨xk⟩=Re[∑xk eiΔS/ℏ/∑eiΔS/ℏ]. Com poucas histórias ele é ruidoso; conforme a soma avança, as contribuições de fase desencontrada se cancelam e ele cai sobre a reta clássica (tracejada). A faixa clara marca as deformações que mudam a fase em menos de π. Pause e clique num caminho (ou use ◀ ▶) para ver a ação, a fase e a flecha que ele soma. Embaixo: as flechas somadas na ordem do sorteio e a fase estacionária. No fim do lote aparece o resultado e um novo sorteio começa. Partícula livre, m=1, T=1, S=∑k(xk+1−xk)2/(2ε), ε=T/N.

Caminhos perto do clássico (ação estacionária, δS=0) têm fases parecidas e somam construtivamente; trajetórias 'tortas' têm fase que varia rápido e se cancelam. É assim que a mecânica clássica emerge no limite ℏ→0.

Da partícula ao campo: a mesma soma, agora em TQC

Para uma partícula, cada história é uma posição xk por fatia de tempo. Para um campo, cada história é uma função inteira: um valor ϕ(x,tk) em cada ponto do espaço e em cada fatia. A integral passa a ser sobre todas essas configurações. Decompondo o campo em modos de Fourier, um campo livre vira uma coleção de osciladores harmônicos independentes, um por modo, com ωk2=k2+m2: a soma sobre histórias de campo é o produto das somas de cada oscilador.

Em cima, o tempo avança para o fundo e cada lâmina é uma fatia de tempo. Em cada uma, a história atribui um valor ao campo em cada ponto do espaço: uma curva ϕ(x,tk). As fatias das pontas são fixas: o campo começa como um pacote à esquerda, ϕa, e termina como um pacote à direita, ϕb. As histórias são sorteadas (deformações suaves e rugosas de todos os tamanhos, mais algumas esdrúxulas com parâmetros aleatórios); a colorida é a que está sendo somada, com a cor indicando sua fase, e a branca é a história clássica, solução exata de δS=0. Em dourado, a história resultante: o campo médio pesado pela fase, ⟨ϕ(x,tk)⟩=Re[∑ϕ eiΔS/ℏ/∑eiΔS/ℏ], que começa ruidoso e converge para a clássica conforme a soma avança. Embaixo à esquerda, as flechas eiS[ϕ]/ℏ somadas na ordem do sorteio; à direita, a fase da história atual separada por modo de Fourier: cada modo é um oscilador com ωn2=(nπ)2+m2. A TQC livre é exatamente isso, um oscilador por modo e infinitos modos.

Da integral de caminho aos diagramas de Feynman

Uma pergunta concreta: qual é a energia mínima de uma mola que não é perfeita, V=12x2+g x4? Com g=0 a integral de caminho é gaussiana e se resolve exatamente; com g≠0, não. A saída é escrever a resposta como uma soma de desenhos, os diagramas de Feynman. O passo a passo abaixo mostra de onde vem cada peça do desenho: a linha é uma correlação dos caminhos livres, o vértice é um instante em que a interação age, e o desenho é uma maneira de ligar as pernas dos vértices.

Sem interação (mola perfeita, V=12x2), a integral de caminho em tempo imaginário sorteia caminhos x(τ) que tremem ao acaso. Cada caminho é diferente, mas o valor num instante “lembra” o valor em outro: a média de x(τ1) x(τ2) sobre todos os caminhos é G(τ2−τ1)=12e−∣τ2−τ1∣, que enfraquece com a distância. No gráfico das médias, essa média medida nos caminhos sorteados cai sobre a curva. Essa correlação é a linha de um diagrama de Feynman.

Em fórmulas: expandir o peso da interação em série traz, a cada potência de g, um vértice −g∫dτ onde quatro fatores x(τ) se encontram. O que sobra é a média gaussiana de um produto de muitos x, que é a soma sobre todas as maneiras de emparelhar os fatores (teorema de Wick). O laboratório depois das equações aplica essas regras com emparelhamentos sorteados aos milhares e confere as contas.

Regras: cada potência de g traz um vértice −g∫dτ com quatro pernas, uma para cada x(τ) de x4. O teorema de Wick soma sobre todos os emparelhamentos das 4n pernas: cada par é uma linha G(τ−τ′)=12e−∣τ−τ′∣; um par no mesmo vértice é um laço G(0)=12.

O oscilador anarmônico H=12p2+12x2+g x4 é uma teoria de campos em uma dimensão (o tempo) e tem resposta exata para comparar. Em cima à esquerda, n vértices com quatro pernas e uma contração de Wick sorteada: as pernas se juntam aos pares e o desenho que sobra é um diagrama. À direita, a frequência de cada forma converge para (número de contrações que a produzem)/(4n−1)!!: é daí que vêm os fatores de simetria. Diagramas desconexos não entram na energia, porque o logaritmo de Z os cancela. No meio, os diagramas conexos de vácuo até a 3ª ordem com seus valores exatos: (contrações/n!) × (integral dos propagadores sobre os tempos dos vértices). Embaixo, o resultado: a energia do vácuo somada ordem a ordem contra o valor exato (diagonalização numérica). Para g pequeno as somas se aproximam do valor exato, mas os coeficientes crescem como 3KK! e a série acaba divergindo: ela é assintótica, com melhor truncamento perto de K∼1/(3g). Ordens acima de 3 vêm da recursão de Bender–Wu.

A integral de caminho manda somar todas as histórias possíveis. Sem interação essa soma é fácil e tudo o que ela produz se resume a um número por par de instantes: a linha. Com interação, a soma vira uma série, e cada termo da série é um desenho feito de linhas e vértices. Somar os desenhos, em ordem crescente de número de vértices, é somar as histórias aos poucos. Aqui o resultado é uma grandeza medível, a energia do estado fundamental, e dá para conferir contra o valor exato.

Cada caminho contribui com um fasor de módulo 1, eiS[ϕ]/ℏ — uma flecha no plano complexo cujo ângulo é a ação em unidades de ℏ. A amplitude total é a soma vetorial de todas essas flechas (uma espiral de Cornu).

Onde a ação é estacionária (δS=0, o caminho clássico), caminhos vizinhos têm quase a mesma fase: as flechas se alinham e somam. Longe dela, a fase gira violentamente e as flechas se enrolam, cancelando-se. Quanto menor ℏ, mais estreito o feixe de caminhos que sobrevive — até restar só o clássico. O widget acima mostra exatamente essa soma de fasores à direita.

Campo escalar livre

Interações e diagramas

Férmions e variáveis de Grassmann

Campos de gauge: Faddeev-Popov

A derivação abaixo refaz a construção linha a linha: o problema do propagador, a inserção do 1, o determinante como integral sobre fantasmas, a simetria BRST com s2=0 verificado pela identidade de Jacobi, as identidades de Slavnov–Taylor e, no fim, o obstáculo de Gribov e Singer.

Minkowski, Dμ=∂μ−igAμ, δAμa=1g(Dμα)a. A quantização perturbativa padrão de Yang–Mills, cada passo justificado, e o ponto exato em que ela deixa de ser global.

O problema: o propagador não existe A parte quadrática de −14F2 é 12Aμa(∂2gμν−∂μ∂ν)Aνa; em momentos, o operador −(k2gμν−kμkν) aniquila kν: (k2gμν−kμkν) kν=0. Os modos de gauge puro, Aμ=∂μα, têm ação nula; o operador não é inversível. Globalmente: ∫DA eiS integra ao longo de órbitas onde nada muda, um fator vol⁡(G)=∞.