Potencial efetivo a temperatura finita e a transição eletrofraca

O potencial de Higgs que o Modelo Padrão tem em T=0 não é o que o universo primordial via. Cada partícula cuja massa depende de ϕ contribui, a um laço, com sua energia livre de gás térmico; somando, o campo de Higgs é restaurado a T∼160 GeV. A pergunta decisiva para a bariogênese é como: se por uma transição forte de primeira ordem (bolhas, fora de equilíbrio, condição de Sakharov) ou por um crossover suave. A resposta, calculada aqui em um laço e confirmada pela rede: crossover.

Pense numa bola numa paisagem com dois vales. Em T=0 o vale do vácuo (Higgs ligado, v=246 GeV) é o mais fundo. O banho térmico “empurra” a paisagem: as partículas pesadas que ganham massa do Higgs deixam o vale central mais fundo à medida que T cai. Na temperatura crítica os dois vales se igualam. Se há uma barreira entre eles, a transição acontece por bolhas, como a água fervendo, e isso é útil para criar a assimetria de bárions. Se não há barreira, o sistema desliza de um para o outro continuamente, como um copo de água esfriando, e a oportunidade se perde.

Um laço: Coleman–Weinberg mais a parte térmica

Com um fundo constante ϕ, cada campo i tem massa mi2(ϕ) e contribui com a energia livre de um gás de osciladores. A derivação abaixo reconstrói isso a partir da soma de Matsubara de laços térmicos:

O potencial efetivo a um laço em temperatura finita é a energia livre por volume de osciladores cujas massas dependem do campo de fundo ϕ. Usamos as somas de Matsubara da seção anterior; Veff(ϕ,T)=F/V.

Flutuações em torno de um fundo constante Escreva Φ=ϕ+δΦ, com ϕ constante. A parte quadrática na flutuação de cada campo i tem a forma 12δΦi(−∂2+mi2(ϕ))δΦi; a integral gaussiana dá det⁡−1/2 por grau de liberdade bosônico e det⁡+1/2 (por estado, para Dirac: det⁡+1 sobre 4 estados) para férmions. Com Z=e−βV V, V1(ϕ,T)=∑iςini2 T∑n∫d3k(2π)3ln⁡(ωn2+k2+mi2(ϕ)),ςi=±1 (boˊson/feˊrmion), com ni o número de graus de liberdade (ex.: W±: 6; Z: 3; t: 12; ςt=−1).

Derivar em relação a m2 para eliminar o logaritmo Para um bóson, fB(m2)=12T∑n∫d3k(2π)3ln⁡(ωn2+E2). Então ∂fB∂m2=12T∑n∫d3k(2π)31ωn2+E2=∫d3k(2π)31+2nB(E)4E, pela soma de Matsubara.

Integrar de volta Como ∂E/∂m2=1/2E e ∂E[Tln⁡(1−e−E/T)]=nB(E), o candidato fB(m2)=∫d3k(2π)3[E2+Tln⁡(1−e−E/T)] tem derivada 12E[12+nB]=1+2nB4E ✓. O termo E/2 é a energia de ponto zero (T-independente: dá o potencial de Coleman–Weinberg após regularização, m464π2[ln⁡m2μ2−32] em MS‾); o segundo é a energia livre de um gás de quanta, que se anula para m≫T, fixando a constante de integração.

Variáveis adimensionais: a função JB Com k=Tx, y2=m2/T2 e ∫d3k(2π)3=T32π2∫x2dx: VTB=T42π2 JB ⁣(m2T2),JB(y2)=∫0∞ ⁣dx x2ln⁡(1−e−x2+y2) ≤0.

Férmions A soma fermiônica (frequências (2n+1)πT) dá 1−2nF2E e entra com ς=−1. Por estado, ∂V/∂m2=−1−2nF4E, e a mesma integração dá −[E2+Tln⁡(1+e−E/T)] (verifique: ∂E Tln⁡(1+e−E/T)=−nF). A energia de ponto zero tem sinal negativo (mar de Dirac) e a parte térmica é a energia livre do gás de Fermi: VTF=−T42π2 nF JF ⁣(m2T2),JF(y2)=∫0∞ ⁣dx x2ln⁡(1+e−x2+y2) ≥0. (Aqui nF conta estados positivamente, e o sinal − está explícito.)

Total e checagem do limite m→0 Veff(1)=VCW(ϕ)+T42π2[∑BnBJB(mB2(ϕ)T2)−∑FnFJF(mF2(ϕ)T2)]. Em y=0: JB(0)=−∑k2k4=−2ζ(4)=−π445, de modo que VTB=−π290T4 por grau de liberdade bosônico, a pressão de Stefan–Boltzmann; JF(0)=2η(4)=7π4360 dá 78 do valor bosônico por estado fermiônico, a regra 7/8 de gás ideal.

Expansões de alta temperatura Derivando sob a integral, ∂JB/∂y2=12∫0∞x2nB(E)Edx, e em y=0 vale 12∫x nB dx=12⋅π26=π212. Para férmions, ∂JF/∂y2∣0=−12∫x nF dx=−π224. O primeiro termo não analítico em y2 vem do modo n=0 bosônico (−mT/4π por grau de liberdade; ver a derivação da massa térmica). Resultado: JB≃−π445+π212y2−π6y3−y432ln⁡y2ab,JF≃7π4360−π224y2−y432ln⁡y2af, com ln⁡ab=5,4076, ln⁡af=2,6351 (ab=16π2e3/2−2γE, af=π2e3/2−2γE). Válidas para y≲2; para y≳3 as funções decaem como e−y (os quanta pesados desacoplam).

Resultado. VT=T42π2[∑BnBJB−∑FnFJF] com JB,F acima. A expansão em y alimenta a próxima derivação: o termo y2 gera T2ϕ2, o y3 bosônico gera o termo cúbico −ETϕ3, e os y4ln⁡y renormalizam o quártico.

Expansão de alta temperatura e os coeficientes do MP

Para m≲2T vale a expansão JB≃−π445+π212y2−π6y3−… e JF≃7π4360−π224y2−…. Com as massas do MP (W, Z, t) o potencial toma a forma de um polinômio cuja estrutura é a da transição de primeira ordem de Landau: termo ϕ2 com coeficiente que muda de sinal, ϕ3 negativo vindo dos bósons, ϕ4 positivo:

Insere-se a expansão de JB, JF (derivação anterior) nas massas dependentes do campo do MP. Aproximação de Anderson–Hall / Dine et al.: contribuem W±,Z,t; h e os Goldstones são tratados à parte (ver o fim). v=246 GeV, ϕ é o módulo do dubleto, ϕ=v no vácuo.

Massas dependentes do campo mW2(ϕ)=14g2ϕ2=mW2ϕ2v2,mZ2(ϕ)=14(g2+g′2)ϕ2,mt2(ϕ)=12yt2ϕ2,(nW,nZ,nt)=(6,3,12).

Termo T2ϕ2 O termo y2 de cada função: bóson, T42π2π212m2T2=T2m224 por grau de liberdade; férmion, −T42π2(−π224)m2T2=T2m248 por estado. Então V⊃T224[∑BnBmB2+12∑FnFmF2]=T2ϕ224v2[6mW2+3mZ2+6mt2]=D T2ϕ2,D=2mW2+mZ2+2mt28v2. Numericamente D≃0,17. Se h e os 3 Goldstones forem incluídos (mh2≃3λϕ2, mG2≃λϕ2 com λ=mH2/2v2), D→D+λ/4=D+mH2/8v2.

Termo cúbico: só os bósons, só o modo zero O termo −π6y3 vem da integral em n=0. Por grau de liberdade bosônico, −T42π2π6m3T3=−Tm312π. Com mi3(ϕ)=mi3 ϕ3/v3: V⊃−Tϕ312πv3(6mW3+3mZ3)=−E Tϕ3,E=2mW3+mZ34πv3≃0,0096. Férmions não têm modo zero e não geram termo cúbico: é por isso que E depende só de W e Z. (O tratamento de resumação de anéis mostra que apenas as polarizações transversais permanecem sem blindagem; o efeito é reduzir E por um fator ∼2/3.)

Termo ϕ2 em T=0 e a escala T0 O potencial tree-level −12μ2ϕ2+λ4ϕ4 com μ2=λv2=mH2/2. Escolhendo os contratermos do Coleman–Weinberg para manter V′(v)=0 e mH fixo, o termo ϕ2 a T=0 vale −14(mH2−8Bv2)ϕ2, com B=364π2v4(2mW4+mZ4−4mt4)<0 (verifique: cada espécie contribui com nimi432π2v2ϕ2). Definindo DT02=14(mH2−8Bv2): V(ϕ,T)≃D(T2−T02) ϕ2−E Tϕ3+λT4ϕ4,T02=mH2−8Bv24D.

O quártico efetivo Os termos −y432ln⁡y2a combinados ao logaritmo de CW dão uma dependência logarítmica em T: λT=λ−116π2v4[6mW4ln⁡mW2abT2+3mZ4ln⁡mZ2abT2−12mt4ln⁡mt2afT2]. O top, com mt4 grande e sinal fermiônico, reduz λT (λT≈0,088 em T∼160 GeV, contra λ=0,129).

A temperatura crítica e ϕc Em Tc os dois mínimos, ϕ=0 e ϕ=ϕc, são degenerados, isto é, V=λT4ϕ2(ϕ−ϕc)2. Expandindo e comparando coeficientes com o polinômio: ϕ3: −λT2ϕc=−ETc ⇒ ϕc=2ETcλT;ϕ2: λT4ϕc2=E2Tc2λT=D(Tc2−T02). Tc2=T021−E2/(λTD),ϕcTc=2EλT (λT é avaliado em Tc; resolve-se por iteração.)

Números e condição de washout Com mW=80,4, mZ=91,2, mt=173 GeV e mH=125 GeV: D=0,167, E=0,0096, B=−4,4×10−3, T0≃163 GeV, λT(Tc)≃0,088, Tc≃164 GeV e ϕc/Tc≃0,22 (o potencial de um laço completo, com JB,JF exatas, dá Tc≃164 GeV e 0,16). A sphaleron na fase quebrada tem Esph≃4πϕgBsph, com Bsph≈1,9, e a taxa Γ∝e−Esph/T só deixa de apagar o excesso de bárions se Esph/Tc≳35–45, isto é, ϕc/Tc≳1. Aqui, 0,2≪1: mesmo a descrição perturbativa de 1 laço não é forte o bastante, e a rede mostra que não há sequer transição de primeira ordem (crossover).

Resultado. V≃D(T2−T02)ϕ2−ETϕ3+λT4ϕ4 com D,E,T0,λT em termos de mW,mZ,mt,mH; ϕc/Tc=2E/λT. A condição ϕc/Tc≳1 exige λT≲2E∼0,02 (em 1 laço, um Higgs muito leve).

Primeira ordem, washout e a condição v/T≳1

Em Tc os dois mínimos são degenerados em ϕ=0 e ϕc=2ETc/λT. A transição é de primeira ordem porque E>0, e é forte quanto maior ϕc/Tc. Isso importa porque, após a bolha nucleada, a fase quebrada ainda tem sphalerons, que violam B+L (bariogênese): eles apagariam o excesso de bárions criado na parede da bolha, a menos que a taxa seja suprimida por e−Esph/T com Esph≃4πϕ Bsph/g.

Com λT=2E/(ϕc/Tc), atingir ϕc/Tc≳1 pede λT≲2E≈0,02, isto é, um Higgs muito mais leve do que o medido (no polinômio, mH≲75 GeV, onde ele já superestima; o potencial completo de um laço dá só ϕc/Tc≈0,4 a 0,6 para mH entre 55 e 75 GeV e, com W,Z,t apenas, nunca chega a 1 nessa faixa; abaixo de ∼55 GeV o laço deixa de ser confiável). Para mH=125 GeV, ϕc/Tc≈0,2 já a um laço.

Mexa no widget. Os controles variam T e mH; a transição fica mais forte quando mH cai e quando há escalares extras acoplados ao Higgs (que somam D→D+Nsκ/24 e E→E+Nsκ3/2/12π): é a base dos modelos de bariogênese eletrofraca com singletos. O polinômio e o potencial completo dão Tc iguais a poucos por cento; para ϕc/Tc o polinômio superestima, sobretudo para Higgs leve.