Desconfinamento e o loop de Polyakov

A identidade fundamental diz que a temperatura é o comprimento do círculo de tempo. Numa teoria de gauge esse círculo tem topologia: há uma linha de Wilson que o dá a volta, o loop de Polyakov. Ele mede a energia livre de um quark pesado isolado e é o parâmetro de ordem exato do confinamento na gluodinâmica pura, associado a uma simetria (o centro do grupo) que o vácuo da QCD preserva a baixa T e quebra a alta.

A baixa temperatura os quarks vivem presos: puxar um quark para longe do outro custa uma energia que cresce sem limite (a corda de cor), então um quark sozinho tem energia livre infinita. A alta temperatura o meio de glúons blinda a cor, a corda se desfaz e um quark isolado tem custo finito. O loop de Polyakov é o número que registra isso: ele vale zero enquanto os quarks estão presos e é diferente de zero depois. O fato de ser um parâmetro de ordem de verdade vem de uma simetria exata, e o fato de os quarks reais a quebrarem de leve é o que transforma a transição num crossover.

O loop de Polyakov e a energia livre de um quark

A derivação (passo a passo abaixo) mostra por que a integral de Grassmann de um quark pesado gera det⁡(1+e−βMU)→e−βMtr⁡U e como a simetria de centro, Ω(τ+β)=z Ω(τ) com z∈ZN, preserva a ação mas leva P→zP. O restante do argumento (por que o vácuo confinado tem ⟨P⟩=0, o que o lado desconfinado dá, como os quarks quebram ZN, e por que perto de Tc a dinâmica é um modelo de spins 3D) está na derivação.

Três fatos: o loop de Polyakov mede a energia livre de um quark estático; a simetria de centro ZN o força a zero na fase confinada; e, perto de Tc, a dinâmica de P(x) é a de um modelo de spins ZN em 3 dimensões (Svetitsky–Yaffe). Euclidiano, β=1/T, A0 hermitiano.

Uma carga estática em tempo imaginário Para um quark pesado (massa M→∞) o termo cinético espacial é desprezível e o lagrangiano euclidiano é ψ†(∂τ−igA0+M)ψ, sem gradientes espaciais: o quark não se move. A integral de Grassmann sobre ψ, antiperiódica em τ, é o determinante de ∂τ−igA0+M. Os autovalores desse operador são os de U: a solução de (∂τ−igA0)ψ=0 é ψ(τ)=Peig∫0τA0ψ(0), com ψ(β)=Uψ(0) e U=Pexp⁡(ig ⁣∫0β ⁣dτ A0(τ,x)),P(x)=1Ntr⁡ U. A antiperiodicidade dá det⁡(∂τ−igA0+M)∝det⁡(1+e−βMU)=1+e−βMtr⁡U+…, e o termo linear é o setor de um quark: Zq/Z=e−βM⟨tr⁡U⟩, onde Z é a função de partição sem quark. Definindo Fq como a energia livre do banho + quark menos o banho (e absorvendo M e a normalização N no zero de Fq): ⟨P⟩=e−Fq/T (renormalizado).

Transformações de gauge com contorno torcido As condições de contorno exigem apenas Aμ(τ+β)=Aμ(τ), não Ω(τ+β)=Ω(τ). Seja Ω(τ+β,x)=z Ω(τ,x) com z=e2πik/N1∈ZN (o centro de SU(N)). Como z é central, A→ΩAΩ−1+… continua periódico e a ação dos glúons é invariante. A linha de Wilson transforma-se por U→Ω(β) U Ω(0)−1: U→z Ω(0) U Ω(0)−1 ⇒ P(x)→z P(x). Na rede: multiplicar por z todos os elos temporais de uma fatia t0 deixa a ação de Wilson inalterada (cada plaqueta contém um elo z e um z−1) e multiplica cada P por z.

O parâmetro de ordem Se a simetria ZN é preservada pelo estado de equilíbrio, ⟨P⟩=⟨zP⟩=z⟨P⟩ para todo z, logo ⟨P⟩=0 e Fq=∞: um quark isolado custa energia livre infinita, isto é, confinamento. Se ZN é quebrada espontaneamente, ⟨P⟩≠0 (há N vácuos e2πik/N∣⟨P⟩∣) e Fq é finito: desconfinamento. A correlação de dois loops ⟨P(x)P†(y)⟩=e−Fqqˉ(r)/T é invariante; na fase confinada, Fqqˉ≃σ(T) r cresce linearmente (a corda de confinamento), com σ(T)→0 em Tc.

O lado desconfinado: ligação com Debye Acima de Tc, um quark estático perturba o meio, e sua energia própria é metade do potencial blindado em r→0: 12V(r→0) com V=g2CF4πre−mDr=g2CF4πr−g2CFmD4π+…. Descartando o termo de Coulomb (renormalização), Fq≃−g2CF8π mD=−12CFαs mD ⇒ ⟨P⟩≃1+CFαsmD2T+… (ver massa de Debye). ⟨P⟩ cresce até 1 em T→∞.

Quarks quebram ZN explicitamente Férmions fundamentais satisfazem ψ(β)=−ψ(0) e transformam-se como ψ→Ωψ; sob a transformação torcida, ψ(β)=−ψ(0) é violada por z. A simetria de centro não é uma simetria da teoria com quarks. Na expansão de acoplamento forte/massa pesada, o determinante fermiônico contribui exp⁡[h∑x2Re⁡P(x)] com h∝Nf e−M/T (o fator de Boltzmann de um quark pesado): um campo externo conjugado a P. Com h>0, ⟨P⟩≠0 em todas as temperaturas (não há mais parâmetro de ordem exato) e o desconfinamento passa de transição a crossover. Em QCD real com 2+1 sabores, Tpc≈155 MeV (o loop renormalizado sobe suavemente).

Svetitsky–Yaffe: a teoria efetiva de P Perto de Tc o comprimento de correlação diverge (ou é grande) apenas para P(x); todos os outros graus de liberdade têm gap ∼T e podem ser integrados. O resultado é uma teoria local 3D de P(x), invariante ZN, com interações de curto alcance. Na expansão de acoplamento forte, para SU(2) com Nτ fatias temporais, ligar duas linhas vizinhas exige uma coluna de Nτ plaquetas, cada uma de peso u(β)≈β/4 (com β=4/g2): Seff=−K∑⟨xy⟩sxsy−h∑xsx,K≃u(β)Nτ,s=±1 (sgn⁡P). K cresce com T=1/(Nτa): temperaturas altas = acoplamento efetivo forte = fase ordenada. A classe de universalidade só depende da simetria e da dimensão: SU(2) em 3+1D é a de Ising 3D (Kc=0,2217, segunda ordem); SU(3) é a de Potts de 3 estados 3D, que admite o termo cúbico Re⁡P3 e tem transição de primeira ordem — exatamente o que a rede encontra em gluodinâmica pura (Tc≈270 MeV).

Resultado. ⟨P⟩=e−Fq/T é o parâmetro de ordem da simetria de centro; P→zP; gluodinâmica: Tc≈270 MeV (1ª ordem, SU(3)); com quarks, ZN é explicitamente quebrada e há crossover em ≈155 MeV. O widget usa o modelo efetivo de Ising 3D como o de SU(2); não é QCD na rede.

O modelo efetivo, ao vivo

Svetitsky e Yaffe (1982): perto de uma transição de segunda ordem, a teoria SU(N) em 3+1 dimensões tem a mesma classe de universalidade do modelo de spins ZN em 3 dimensões. Para SU(2) é o modelo de Ising 3D, que o widget abaixo simula de verdade (heat bath em uma rede 123). O acoplamento K cresce com T; o campo h imita os quarks (o fator de Boltzmann e−M/T de um quark pesado é um campo externo conjugado a P). Varra K e veja ⟨∣P∣⟩ subir, a susceptibilidade formar um pico em Kc≃0,2217; depois ligue h e veja o pico se achatar e a transição virar crossover.

Modelo efetivo, não QCD na rede. Perto de Tc a dinâmica de P(x) no SU(2) é a de spins s=±1 em 3 dimensões (Svetitsky–Yaffe): Seff=−K∑⟨xy⟩sxsy−h∑xsx, com K∼uNτ crescente em T e h∝Nfe−M/T imitando os quarks. A rede 123 é simulada de verdade (heat bath); esquerda, uma fatia. Direita, ⟨∣P∣⟩→⟨∣m∣⟩ (sólida, pontos do último varrimento), a susceptibilidade normalizada (tracejada) e o campo médio (pontilhada). Com h=0, ⟨∣m∣⟩ sobe em Kc=0,2217 (arredondado pelo volume finito); com h>0 não há mais transição, só crossover. O SU(3) real tem 3 estados (Potts, primeira ordem, Tc≈270 MeV) e, com quarks, crossover em ≈155 MeV.

O que a rede diz da QCD real

Duas observações. (i) Tc da gluodinâmica pura (270 MeV) é muito maior que o crossover físico (155 MeV): os quarks leves baixam a temperatura em que o meio “derrete” porque a energia de desconfinar compete com a entropia de um grande número de graus de liberdade fermiônicos. (ii) O crossover do loop de Polyakov e o da restauração quiral coincidem em T dentro de ∼10 MeV na QCD real, mas são conceitualmente distintos: o primeiro é o parâmetro de ordem aproximado da simetria de centro (quebrada explicitamente), o segundo é o da simetria quiral (quebrada explicitamente pelas massas dos quarks leves). Acima de Tc, a blindagem de Debye e Fq≈−12CFαsmD do cálculo perturbativo aproximam o comportamento de ⟨P⟩.