Teoria de campos térmica com interação: massas térmicas e blindagem de Debye

A teoria livre deu a termodinâmica de um gás ideal. Com interação, o gás de quanta modifica a própria propagação: partículas ganham massa térmica e cargas elétricas e de cor são blindadas. As regras de Feynman mudam pouco, apenas a integral de energia vira uma soma de Matsubara, mas as consequências são grandes: restauração de simetria, perda do alcance de longa distância de Coulomb, e uma hierarquia de escalas em que a teoria perturbativa para de funcionar.

Numa sala vazia, uma pessoa grita e ouve o eco só da própria voz. Numa multidão, a voz é abafada: cada pessoa interage com as vizinhas, e o que se escuta é mudado pelo meio. Em temperatura alta, o vácuo vira essa multidão de quanta térmicos. Um quantum que viaja por ele “pesa mais” (massa térmica) e uma carga elétrica é cercada por cargas de sinal oposto que a escondem a distância maior que o raio de Debye (blindagem), como íons numa solução salina.

As regras: de ∫d4k a T∑n∫d3k

Num diagrama de laço, a integral sobre a energia vira uma soma sobre as frequências de Matsubara (KMS), com k0→iωn e ωn=2πnT (bósons) ou (2n+1)πT (férmions); o resto, vértices e propagadores, é inalterado:

A soma é convertida em contorno com nB(z)=1/(eβz−1), que tem pólos em z=iωn com resíduo T. O resultado-base, e o que dele se deduz para o gás sem massa:

Toda integral de laço em temperatura finita contém T∑ng(iωn). A soma é convertida numa integral de contorno cujos pólos de peso são os da função de distribuição. Convenções: β=1/T, E=k2+m2.

Uma função com pólos nas frequências certas nB(z)=1/(eβz−1) tem pólos simples onde eβz=1, isto é, z=iωn=2πinT. Perto de zn, eβz−1≃β(z−zn), de modo que Res⁡znnB=T. Para férmions, nF(z)=1/(eβz+1) tem pólos em z=i(2n+1)πT com resíduo −T (pois eβz+1≃−β(z−zn)).

A soma vira um contorno Seja g(z) analítica perto do eixo imaginário. Pelo teorema dos resíduos, com C um contorno anti-horário que envolve o eixo imaginário (duas retas verticais, Re⁡z=±0+): T∑ng(iωn)=∮Cdz2πi g(z) nB(z)(feˊrmions: −T∑ng=∮dz2πi g nF).

Deformar para os pólos de g Se g∼1/z2 no infinito, o arco no infinito não contribui (nB é limitada longe do eixo imaginário). Abrindo o contorno, ele passa a envolver (em sentido horário) os pólos de g: T∑ng(iωn)=−∑zj∈poˊlos⁡(g)Res⁡zj[g(z) nB(z)].

O caso básico: g=1/(E2−z2) Como ωn2=−z2, 1/(ωn2+E2)=1/(E2−z2)=1/[(E−z)(E+z)]. Pólos em z=±E: Res⁡z=E=nB(E)⋅−12E,Res⁡z=−E=nB(−E)2E. Usando nB(−E)=−1−nB(E): T∑n1ωn2+E2=nB(E)−nB(−E)2E=12E[1+2nB(E)]. O 1 é o resultado de vácuo (∫dω2π1ω2+E2=12E); o 2nB é a parte térmica: a densidade de ocupação mais a estimulada.

Férmions O mesmo cálculo com nF e o sinal oposto do resíduo, com nF(−E)=1−nF(E), dá T∑n1ωn2+E2∣ωn=(2n+1)πT=12E[1−2nF(E)]. O bloqueio de Pauli reduz o resultado de vácuo em vez de aumentá-lo. Esta é a diferença de sinal que, no potencial efetivo, faz os férmions contribuírem com sinal oposto aos bósons.

Teste: ⟨φ2⟩ de um campo sem massa ⟨φ2⟩=T∑n∫d3k(2π)31ωn2+k2. A parte térmica, com ∫0∞ ⁣x dxex−1=Γ(2)ζ(2)=π26: ⟨φ2⟩T=∫d3k(2π)3nB(k)k=12π2∫0∞ ⁣dk kek/T−1=T22π2⋅π26=T212.

Resultado. T∑n1ωn2+E2=12E[1±2nB,F(E)] (+ bósons, − férmions) e ⟨φ2⟩T=T2/12 para um campo escalar real sem massa.

A massa térmica do λφ4

Com L=12(∂φ)2−12m2φ2−λ4!φ4, a correção de um laço ao propagador é um tadpole, independente do momento: Π=λ2⟨φ2⟩. A parte de vácuo é renormalizada em m2 como em T=0; a parte térmica é finita:

Para m2=−μ2<0 o potencial é de duplo poço em T=0. A massa térmica muda de sinal em Tc=24/λ μ: acima, φ=0 é estável (restauração da simetria), o mecanismo de campo médio por trás do μ2(T) que o widget da transição impõe à mão. Aqui o sinal e o coeficiente são derivados.

Teoria L=12(∂φ)2−12m2φ2−λ4!φ4. A correção de um laço ao propagador é um tadpole; em temperatura finita o laço contém a soma de Matsubara da derivação anterior.

O tadpole como campo médio Pelo teorema de Wick, mantendo um par contraído e dois campos livres, φ4→6⟨φ2⟩φ2+const (há (42)=6 maneiras de escolher o par). Logo, a um laço, λ4!φ4 → λ4! 6 ⟨φ2⟩ φ2=12(λ2⟨φ2⟩)φ2. Isto é um termo de massa: Π=λ2⟨φ2⟩, independente do momento externo (o tadpole não depende de p). Com sinal: a auto-energia soma-se a m2, e o propagador passa a 1/(p2−m2−Π).

⟨φ2⟩ em temperatura finita Pela derivação das somas de Matsubara, ⟨φ2⟩=∫d3k(2π)31+2nB(E)2E=∫d3k(2π)312E⏟vaˊcuo (renormalizado em m2)+∫d3k(2π)3nB(E)E. A parte de vácuo diverge e é absorvida na renormalização de m2 (contratermo independente de T). Toda a dependência em T é finita: o contratermo de T=0 basta, como esperado, porque o banho térmico não altera o ultravioleta.

Limite m≪T Com m=0, pela derivação anterior, a parte térmica vale T2/12. Com m≠0 a primeira correção vem do modo n=0: T∫d3k(2π)31k2+m2=−mT4π (em regularização dimensional). Portanto ⟨φ2⟩T=T212−mT4π+O ⁣(m2ln⁡mT).

A massa térmica mT2=m2+λ2⋅T212=m2+λT224 (com a correc¸a˜o −λ2mTT4π em ordem seguinte). Para m2=−μ2<0 (potencial de duplo poço), mT2 muda de sinal em Tc2=24μ2/λ: acima disso, o mínimo φ=0 é estável. É a restauração da simetria no nível de campo médio, base de μ2(T).

Sentido físico e validade O meio térmico “vê” um campo autointeragente: cada quantum se propaga através de um gás de outros quanta e adquire uma energia de interação ∝λ⟨φ2⟩. A expansão vale para λ≪1 e é uma resumação (daisy) quando mT é usado no propagador interno, onde se resolve mT2=m2+λ2(T212−mTT4π) autoconsistentemente (a equação de gap de Hartree).

Resultado. mT2=m2+λT2/24 a um laço; com μ2>0 na fase simétrica, Tc2=24μ2/λ nesta aproximação de campo médio.

Blindagem de Debye na QED e na QCD

A componente 00 da auto-energia do fóton, no limite estático e de grande comprimento de onda, é uma massa para o potencial elétrico A0: Π00(ω=0,k→0)=mD2. O laço de elétron é a derivada da densidade de carga em relação ao potencial químico, e o resultado é universal:

A massa de Debye é o limite estático (ω=0), de longo comprimento de onda (k→0) da componente 00 da auto-energia do fóton, mD2=Π00(0,k→0). O laço de férmions com um vértice γ0 é a derivada do número de partículas em relação ao potencial químico; isso reduz o cálculo a uma integral de uma variável.

O laço e a inserção de γ0 Em Matsubara, Π00(0,k)=−e2 T∑n∫d3p(2π)3tr⁡[γ0S(P)γ0S(P+K)] (o sinal − do laço fechado de férmions e a convenção de que Π00>0 significa blindagem). O propagador livre é S(P)=(iωnγ0−γ ⁣⋅ ⁣p−M)−1 com ωn=(2n+1)πT.

Identidade de Ward estática Um potencial químico entra em S como iωn→iωn+μ. Logo ∂S/∂μ=−Sγ0S, isto é, uma inserção de γ0 a momento nulo em uma linha é −∂/∂μ. Para k→0, as duas linhas do laço carregam o mesmo momento e Π00(0,k→0)=e2 ∂n∂μ∣μ=0,n=⟨ψ†ψ⟩ (densidade lıˊquida de carga/e). Fisicamente: um potencial eletrostático uniforme ϕ desloca μ→μ−eϕ e induz δρ=−e2(∂n/∂μ)ϕ; na equação de Poisson, −∇2ϕ=ρext+δρ, isto aparece como (−∇2+mD2)ϕ=ρext com mD2=e2∂n/∂μ.

A densidade n(μ) Cada modo p de um estado de spin tem grande potencial Ω=−Tln⁡(1+e−β(p−μ)) para partículas e −Tln⁡(1+e−β(p+μ)) para antipartículas (M=0). Com n=−∂Ω/∂μ e 2 estados de spin: n(μ)=2∫d3p(2π)3[nF(p−μ)−nF(p+μ)].

A derivada e a integral ∂μnF(p−μ)=−nF′(p) e o mesmo para as antipartículas: ∂n∂μ∣0=4∫d3p(2π)3(−nF′(p))=42π2∫0∞ ⁣dp p2(−nF′)=4π2∫0∞ ⁣dp p nF(p), por integração por partes. Com ∫0∞p dpep/T+1=η(2)Γ(2)T2=π212T2 (η(2)=12ζ(2)): ∂n∂μ∣0=4π2⋅π2T212=T23 ⟹ mD2=e2T23 . Checagem: o gás de Dirac sem massa tem P=7π2180T4+μ2T26+μ412π2; então n=∂P/∂μ=μT2/3+μ3/3π2 e ∂n/∂μ∣0=T2/3. ✓

Regra geral: susceptibilidade de carga Cada estado de uma espécie com “carga” q (sob o gerador relevante) contribui com q2∫d3p(2π)3(−∂pn): férmion, T212; bóson, 12π2 ⁣⋅ ⁣2 ⁣∫p nB dp=T26. Em QED: 4 estados (2 spins × e±), q2=1: 4⋅T212=T23 ✓. Para Nf sabores de carga Qf: mD2=e2T23∑fQf2.

QCD Quarks: para a representação fundamental tr⁡(TaTb)=12δab; 4 estados por cor e sabor dão Nf⋅4⋅12⋅T212=NfT26. Glúons: 2 polarizações físicas, representação adjunta, tr⁡(TAaTAb)=Nδab: 2⋅N⋅T26=NT23. Somando, mD2=g2T2(N3+Nf6) (N=3: mD2=g2T2(1+Nf6)). Nota de honestidade: a regra da susceptibilidade é um atalho para reproduzir o resultado do laço (glúons + fantasmas) no limite de T alto, que é independente de gauge; o cálculo completo do laço gluônico em gauge covariante dá o mesmo coeficiente.