O gás ideal, calculado do zero

Hora de cobrar o formalismo. Se tudo o que foi dito é verdade, então partir da integral de caminho euclidiana e calcular a pressão de um gás de fótons tem de reproduzir a lei que Stefan mediu em 1879 — a que diz que um corpo quente irradia proporcionalmente a T4.

Reproduz, com treze casas decimais. E a versão para férmions sai automaticamente 7/8 da bosônica, um número que nenhuma etapa da conta parecia prometer.

Fazendo a integral gaussiana e a soma de Matsubara, a energia livre de um campo escalar livre fica

O primeiro termo é a energia de vácuo, divergente e independente de T — subtrai-se. O segundo é finito e é toda a termodinâmica. Para um campo sem massa, a integral se faz e dá

A integral ∫d3k ln⁡(1∓e−βωk) é feita numericamente sobre a grade, com massa ajustável. Para m=0 o resultado é comparado com a fórmula fechada.

Com m=0 a integral bate com π2T4/90 até a décima terceira casa, e a razão férmion/bóson sai 0,875000000 — exatamente 7/8, consequência de ∑(−1)n+1n−4=η(4)=78ζ(4). Agora suba a massa: a pressão despenca assim que m passa de T, porque criar um quantum passa a custar mais do que a agitação térmica pode pagar. É a mesma lógica da catástrofe do ultravioleta — modos caros congelam — e é por isso que só as partículas leves contam para a equação de estado do universo primordial.

Para um campo livre a integral é gaussiana e ln⁡Z=−12tr⁡ln⁡K^, com K^ diagonal em (n,k) e autovalores ωn2+Ek2. Falta somar ln⁡(ωn2+E2) em n — e é aqui que a soma da seção anterior paga. Derive em E:

Integrando de volta em E (a constante não depende de E e some na pressão):

O primeiro termo é a energia de ponto zero: independe de T, diverge, e é exatamente a peça que a seção Regularização: como extrair um número finito de uma soma infinita aprende a jogar fora. O segundo é toda a termodinâmica. Para m=0, integrando por partes,

Para férmions muda só o sinal dentro do logaritmo, e o denominador vira ek/T+1. A integral então dá Γ(4)η(4) com a eta alternada η(4)=(1−2−3)ζ(4) — e sai o 7/8, que o Lab 13 mede como 0,875000000. Note o que esse fator não é: não tem nada a ver com spin nem com contagem de estados (isso já está no g). Ele é puramente o preço da antiperiodicidade em τ, ou seja, do sinal de Grassmann no traço.

O texto reduz a energia livre térmica a T∫ ⁣d3k(2π)3ln⁡(1−e−βωk) e diz que, para massa nula, “a integral se faz” e dá π2T4/90; para férmions sai 7/8 disso. Fazemos a integral (por partes, série geométrica e ζ(4)), provamos ζ(4)=π4/90, obtemos o 7/8 e recomputamos g∗. Um grau de liberdade, ℏ=c=kB=1, ωk=k.

Pressão como integral radial A parte térmica do campo escalar sem massa é P=−F/V=−T∫d3k(2π)3ln⁡(1−e−k/T). O integrando só depende de k=∣k∣ e d3k=4πk2dk: P=−T2π2∫0∞k2ln⁡(1−e−k/T)dk.

Integração por partes Com dv=k2dk, v=k3/3, u=ln⁡(1−e−k/T), du=1Te−k/T1−e−k/Tdk=1Tdkek/T−1. O termo de fronteira k3ln⁡(1−e−k/T)/3 se anula em 0 (∼k3ln⁡k) e em ∞. Então P=16π2∫0∞k3 dkek/T−1=T46π2∫0∞x3 dxex−1.

A integral é Γ(4)ζ(4) Expandindo 1ex−1=∑n≥1e−nx e usando ∫0∞x3e−nxdx=3!/n4: ∫0∞x3 dxex−1=6∑n≥11n4=6 ζ(4)=6,4939(numeˊrico: 6,493939). Logo P=ζ(4) T4/π2.

ζ(4)=π4/90 pela identidade de Parseval A série de Fourier de f(x)=x2 em [−π,π] é x2=π23+4∑n≥1(−1)nn2cos⁡nx. Parseval, 1π∫−ππf2dx=a022+∑an2 com a0=2π2/3 e an=4(−1)n/n2, dá 2π45=2π49+16 ζ(4) ⟹ ζ(4)=116⋅8π445=π490. Portanto, por grau de liberdade bosônico, PB=π290 T4. A densidade de energia vem de ρ=Ts−P com a entropia s=dP/dT=4P/T: ρB=3PB=π2T4/30.

Férmions: o mesmo cálculo com o sinal trocado Para um modo fermiônico, ln⁡Z=+ln⁡(1+e−βk) (antiperiodicidade), então PF=+T∫d3k(2π)3ln⁡(1+e−k/T). As mesmas operações dão PF=T46π2∫0∞x3 dxex+1=T46π2 6 η(4),η(4)=∑n≥1(−1)n+1n4. Separando termos pares e ímpares, η=ζ−2∑m≥1(2m)−4=ζ−2ζ/24=(1−2−3)ζ. Logo η(4)=78 ζ(4) ⟹ PFPB=78,PF=78π290T4. Numericamente, ∫x3/(ex+1)=5,68220=0,875×6,49394.

Números: Stefan–Boltzmann e g∗ Fótons (2 polarizações): ρ=2ρB=π2T4/15, que em unidades SI é a constante a=π2kB4/15ℏ3c3=7,566×10−16 J m−3K−4, a mesma de Planck. Para o fundo cósmico (T=2,725 K): ρ=4,17×10−14 J/m3. Para um plasma relativístico, ρ=π230g∗T4, com g∗=∑Bg+78∑Fg: g∗hoje=2+78⋅6⋅(411)4/3=3,363,g∗T∼1 MeV=2+78(4+6)=10,75. (Em g∗hoje: três neutrinos e antineutrinos, 6 estados, com Tν=(4/11)1/3T após a aniquilação e+e−.)

Resultado. PB=π2T4/90 por grau de liberdade, ζ(4)=π4/90, PF/PB=η(4)/ζ(4)=7/8, ρ=π230g∗T4 com g∗=3,363 hoje e 10,75 antes da aniquilação e+e−.