Tempo imaginário periódico é temperatura

Aqui está a coincidência que não é coincidência. O operador que faz um sistema quântico evoluir no tempo e o operador que descreve um sistema em equilíbrio térmico são a mesma expressão, com o tempo trocado por um número imaginário fixo.

Consequência: enrolar o tempo imaginário num círculo de circunferência β equivale a colocar o sistema num banho térmico à temperatura T = 1/β. Temperatura é o tamanho de um círculo.

Compare o operador de evolução com o operador de Boltzmann:

São a mesma função de H^, com t=−iβ. E a função de partição térmica é um traço:

Um traço soma elementos diagonais — ou seja, amplitudes que começam e terminam no mesmo estado. Na linguagem de integral de caminho isso significa identificar τ=0 com τ=β:

Para férmions, o traço com variáveis de Grassmann traz um sinal extra da reordenação, e a condição vira antiperiódica:

Esse sinal de menos, que parece um detalhe técnico, é a origem de toda a diferença entre estatística de Bose e de Fermi no formalismo — inclusive do fator 7/8 que aparece na pressão de um gás de férmions sem massa (O gás ideal, calculado do zero). A geometria do problema é um cilindro: R3×S1, com o círculo de circunferência β.

A folha (τ,x) sendo costurada num tubo. O espaço corre ao longo do eixo; o tempo imaginário dá a volta. A superfície ondula com um modo ϕ(τ)=cos⁡(ωτ), e o ponto amarelo percorre o círculo de τ na posição x que você escolher. Se ω não for uma frequência de Matsubara, aparece um degrau na costura — e o modo simplesmente não existe no cilindro.

Enrole até 100% e a geometria fica explícita: R3×S1, um tubo infinito no espaço e fechado no tempo. Agora deslize ω devagar e olhe o degrau na costura — ele some, exatamente, quando ωβ é múltiplo de 2π. É isso, e só isso, que quantiza as frequências. Troque para férmion e o padrão se desloca de meia unidade: o que fecha passa a ser ωβ=(2n+1)π, porque a costura tem que inverter o sinal. Repare no que isso proíbe: o modo constante ω=0 é perfeitamente periódico e existe para bósons, mas não pode ser antiperiódico. Férmion nenhum tem modo zero — a consequência mais barata e mais usada do sinal de Grassmann.

E suba a temperatura vendo o tubo afinar. Essa é a imagem que vale guardar: temperatura alta é um cano estreito, no qual a partícula é obrigada a reencontrar o próprio passado a cada volta curta. Temperatura zero é um cano infinitamente gordo — indistinguível de um espaço plano, que é a teoria do vácuo da seção O propagador deixa de oscilar. Não há nenhum termostato na conta: o calor é a circunferência.

E o resto do espaço? A rede de tubos

O laboratório acima enrolou uma fatia: o plano (τ,x). Mas o espaço tem mais direções, e a pergunta natural é o que acontece com elas. A resposta é curta e vale desenhar: cada par (y,z) tem a sua própria fatia enrolada. Não é uma pilha — é uma rede, uma grade bidimensional de tubos idênticos, e o espaço térmico inteiro é essa rede: R3×S1.

Aqui há uma armadilha de intuição que vale desarmar. É tentador imaginar os tubos da rede como tubos dentro de tubos, com raios diferentes. No espaço térmico plano isso está errado: a métrica é ds2=dτ2+dx 2, então gττ=1 em toda parte e a circunferência própria do círculo vale β em qualquer ponto. Todos os tubos têm o mesmo raio β/2π. O que os distingue é a posição, não o tamanho.

Mas a intuição de tubos aninhados não é lixo — ela está certa em outra geometria. Perto de um buraco negro a circunferência própria é βf(r), que varia com a posição: vale 0,028 junto ao horizonte, 2,83 em r=4GM⋅2 e tende a 4GM longe. Aí sim os tubos encolhem uns dentro dos outros — e é exatamente isso que produz o charuto da seção Gravitação euclidiana: por que buracos negros são quentes. A diferença entre o cilindro e o charuto é, literalmente, se o raio depende de onde você está.

Aperte conversão e acompanhe as quatro etapas no topo do quadro. Em 0∘ não há tubo nenhum: há um slab, uma laje de espessura β na direção do tempo, com a face τ=0 (verde-água) embaixo e a face τ=β (âmbar) em cima. As linhas tracejadas ligam pontos marcados com ◆ nas duas faces: o traço diz que são o mesmo ponto. Girando, a laje inteira curva, as faces se aproximam e, em 90∘, os pares de ◆ se fundem: cada fibra virou um círculo, cada sítio um tubo, e o eixo z ocupa o lugar de ct. A cor dos tubos vai do verde-água ao âmbar ao longo de τ, então dá para ver a costura em todos eles. Todos têm o mesmo raio e ficam exatamente tangentes. Arraste para girar, role a roda para dar zoom.

A função de partição térmica Z(β)=Tr e−βH é a integral de caminho nesse slab com as faces τ=0 e τ=β identificadas — o traço é a colagem. Enquanto a fase gira, a distância entre elas é a corda do arco, e portanto uma quantidade geométrica exata:

que vale β em u→0 e exatamente zero em u=1, caindo sem nunca voltar atrás. O readout mostra o número. E o comprimento do arco é β o tempo todo: enrolar é uma isometria, nada estica — por isso o frame pode ser um retângulo rígido.

Arraste a fase devagar do começo ao fim e olhe a rede inteira. Duas coisas acontecem juntas. O slab se enrola — inteiro ao mesmo tempo, porque a rotação é global, não é um ponto do espaço de cada vez. E a rede se contrai: o espaçamento acompanha o tamanho dos tubos, então o que era uma laje larga e rasa vira um feixe apertado de canos encostados. É a imagem mais literal que consigo dar de "compactificar": a direção do tempo deixa de ser um caminho aberto e vira uma volta curta, em cada ponto do espaço ao mesmo tempo.

Acompanhe também o readout: a assinatura sai de (−,+,+,+) e chega em (+,+,+,+), o mesmo caminho do Lab 02 — só que lá você via um eixo, e aqui vê o espaço todo. Repare que ela vira em 45∘, na metade do percurso, enquanto os tubos só fecham em 90∘: a assinatura já é euclidiana quando a compactificação ainda está a meio caminho.

A partícula segue um caminho fechado, porque o traço só admite caminhos que voltam ao ponto de partida. Com o tempo aberto ela sobe da face τ=0 até a face τ=β e reaparece embaixo, no mesmo ponto do espaço: os dois círculos brancos piscam juntos, e esse salto é exatamente a identificação. Depois que o círculo fecha, o salto desaparece e mostramos um caminho que dá três voltas em τ enquanto passeia devagar pelo espaço: o pontilhado é o caminho inteiro, o cometa é onde ela está agora. As três derivas controlam o tamanho do passeio em x, y e z; zere as três e ela fica girando no próprio tubo. O tubo onde ela está acende em vermelho.

Dá para subir o número de partículas, e cada uma ganha fase de partida e amplitudes próprias — mas repare que aí quase todo tubo fica ocupado e o vermelho perde a graça. Com uma só, o destaque diz exatamente onde ela está. E qualquer que seja o número, todas dão o mesmo número de voltas: girar em τ e passear no espaço são movimentos independentes, e é por isso que a soma sobre enrolamentos do Lab 11 não depende do que cada uma faz em x, y e z.

R3×S1 tem dimensão 4 e mergulhá-lo exige 5; a tela tem 3. Não há como desenhar os quatro eixos de uma vez — mas há uma saída, e ela é honesta: não precisamos dos mesmos quatro o tempo todo.

Enquanto ct é um eixo reto, ele ocupa um dos três lugares do desenho, e z fica de fora. Quando ct se enrola, ele passa a caber inteiro no plano perpendicular a x — deixa de precisar de um lugar só para si — e aí z entra e assume a vaga. Acompanhe o eixo verde durante a conversão: ele começa rotulado ct e termina rotulado z, e o readout mostra a troca em andamento.

Nenhuma dimensão foi criada ou destruída nesse processo — as quatro estão lá o tempo todo. O que muda é qual delas o desenho consegue mostrar, e a rotação de Wick é justamente o que libera a vaga. É a versão gráfica do que a seção Tempo imaginário periódico é temperatura vem dizendo: o tempo deixa de ser uma direção especial e vira uma volta, e o espaço fica com um eixo a mais para exibir.

Vale desarmar uma impressão que o desenho acima cria sozinho. Quando as folhas planas se enrolam, a figura ganha uma direção que não estava lá — e é tentador ler isso como um eixo z surgindo. Não é, e a razão é precisa.