KMS, função espectral e tempo real

A seção tempo imaginário periódico obteve a temperatura impondo τ∼τ+β na integral de caminho. Aqui o caminho é o inverso: parte-se do operador densidade e−βH/Z e a periodicidade sai da ciclicidade do traço (condição KMS). Daí vêm as frequências de Matsubara, uma única função real ρ(ω) que governa os dois mundos (euclidiano e tempo real), e a razão pela qual a continuação analítica é o calcanhar de Aquiles da teoria térmica na rede.

Um sistema em equilíbrio térmico tem uma assinatura: as correlações entre medidas em instantes diferentes obedecem a uma simetria exata que mistura tempo e temperatura. Se você “gira” o relógio para o tempo imaginário por uma quantidade β=1/T, o sistema volta a si mesmo. Dessa única propriedade decorrem as frequências discretas dos cálculos térmicos e a relação entre o ruído (flutuações) e o atrito (dissipação) de qualquer meio. O custo: os cálculos numéricos dão os dados no tempo imaginário, e traduzi-los de volta para tempo real é como reconstruir uma melodia a partir de uma foto borrada.

A condição KMS

Sejam A,B operadores e ⟨⋯ ⟩=Tr⁡(e−βH⋯ )/Z. Com A(t)=eiHtAe−iHt, a ciclicidade do traço dá

A condição vale para H completo, interagente; não é um resultado de teoria livre. Em teoria quântica de campos a rigor define o estado térmico (Haag–Hugenholtz–Winnink), sem referência a e−βH, que pode nem existir em volume infinito.

Periodicidade e frequências de Matsubara

No tempo imaginário GE(τ)=⟨TτA(τ)B⟩ a condição KMS torna-se GE(τ+β)=±GE(τ): periódica para bósons, antiperiódica para férmions (o sinal da troca de operadores). Expandindo em série de Fourier:

Parte-se só de ρ=e−βH/Z e da ciclicidade do traço. Convenções: ℏ=c=kB=1, A(t)=eiHtAe−iHt, ⟨⋯ ⟩=Tr⁡(ρ ⋯ ). A e B são operadores bosônicos ou fermiônicos genéricos; o sinal ς=+1 (bósons) ou −1 (férmions) aparece só quando necessário.

As duas funções de Wightman Defina G>(t)=⟨A(t)B(0)⟩ e G<(t)=⟨B(0)A(t)⟩. Para um oscilador, A=a, B=a†: G>=(1+n) e−iΩt e G<=n e−iΩt, com n=⟨a†a⟩. A razão (1+n)/n=eβΩ é o que o passo seguinte generaliza.

Ciclicidade do traço dá a condição KMS Insira 1=e−βHeβH e use Tr⁡(XY)=Tr⁡(YX): Z G>(t)=Tr⁡[e−βHA(t)B]=Tr⁡[B e−βHA(t)]=Tr⁡[e−βH eβHBe−βH⏟B(−iβ) A(t)]. Logo G>(t)=⟨B(−iβ)A(t)⟩. Como ρ comuta com H, a média é invariante por translação temporal (inclusive complexa): deslocar os dois argumentos por +iβ dá G>(t)=⟨B(0) A(t+iβ)⟩=G<(t+iβ). Esta é a condição KMS (Kubo–Martin–Schwinger). Nenhuma hipótese sobre H foi feita: vale para o sistema interagente completo.

Em frequência: balanço detalhado Com G≷(ω)=∫dt eiωtG≷(t), insira a condição KMS e mude a variável para s=t+iβ, de modo que eiωt=eiωseβω: G>(ω)=∫dt eiωt G<(t+iβ)=eβω∫ds eiωsG<(s)=eβω G<(ω) (deslocando o contorno de s de volta ao eixo real, o que é permitido pela analiticidade na faixa 0≤Im⁡s≤β). Para o oscilador, G>(ω)=2π(1+n)δ(ω−Ω) e G<(ω)=2πn δ(ω−Ω): a razão eβΩ é o fator de Boltzmann da emissão contra a absorção.

Periodicidade em tempo imaginário Defina GE(τ)=⟨TτA(τ)B(0)⟩, com A(τ)=eτHAe−τH (isto é, t=−iτ); o ordenamento temporal troca A e B com o sinal ς. Para −β<τ<0 temos GE(τ)=ς⟨B A(τ)⟩ e, por ciclicidade, ⟨B A(τ)⟩=1ZTr⁡[e−βHB eτHAe−τH]=1ZTr⁡[e−(β+τ)HB eτHA], ⟨A(τ+β) B⟩=1ZTr⁡[eτHA e−(τ+β)HB]=1ZTr⁡[e−(τ+β)HB eτHA]. Os dois lados coincidem (o segundo traço foi ciclado duas vezes), logo GE(τ)=ς GE(τ+β),−β<τ<0. Periódica para bósons, antiperiódica para férmions. É a mesma condição de contorno da integral de caminho em tempo imaginário periódico, agora provada de dentro do formalismo operatorial.

Frequências de Matsubara Uma função com G(τ+β)=ςG(τ) expande-se em GE(τ)=T∑ne−iωnτG(iωn). A condição pede e−iωnβ=ς: ωn=2πnT (boˊsons),ωn=(2n+1)πT (feˊrmions) ,G(iωn)=∫0β ⁣dτ eiωnτGE(τ). O modo n=0 existe só para bósons. Esta é a origem de tudo o que distingue as duas estatísticas em temperatura finita (a massa efetiva dos modos de Matsubara, a redução dimensional, a ausência de modo zero fermiônico).

Função espectral Defina ρ(ω)=G>(ω)−ς G<(ω): a transformada do comutador (bósons) ou do anticomutador (férmions). Combinada com o passo 3 (G>=eβωG<), G>(ω)=[1+ς nς(ω)]ρ(ω),G<(ω)=nς(ω) ρ(ω),nς(ω)=1eβω−ς. (Verificação: G>−ςG<=ρ [1+ςn−ςn]=ρ, e G>/G<=(1+ςn)/n=eβω, pois 1+ςn=eβωn.) Em teoria interagente ρ depende de T, mas o fator estatístico é universal.

Representação espectral de G(iωn) Para 0<τ<β, GE(τ)=G>(t=−iτ)=∫dω2πe−ωτG>(ω). Então G(iωn)=∫dω2π [1+ςnς]ρ(ω)∫0β ⁣dτ e(iωn−ω)τ=∫dω2π [1+ςnς]ρ ς e−βω−1iωn−ω, usando eiωnβ=ς. Como 1+ςnς=(1−ςe−βω)−1, o produto [1+ςnς](ςe−βω−1) vale −1 nos dois casos (fermiônico: (1+e−βω)−1(−e−βω−1)=−1). Resultado, idêntico para bósons e férmions: G(iωn)=∫dω2π ρ(ω)ω−iωn

Resultado. A periodicidade (antiperiodicidade) em β sai da ciclicidade do traço; ela fixa ωn=2πnT ((2n+1)πT); e toda a dependência dos dados Euclidianos em iωn está numa única função real ρ(ω), a mesma que controla a resposta em tempo real (próxima derivação).

A função espectral

O comutador (bósons) ou anticomutador (férmions) ρ(ω)=G>−ςG< carrega toda a informação dinâmica. Com a KMS, as duas funções de Wightman são ρ vezes um fator estatístico universal, e a transformada dos dados de Matsubara é uma integral de Stieltjes sobre ρ:

Exemplo: um oscilador livre de frequência Ω tem ρ=2π[δ(ω−Ω)−δ(ω+Ω)]/(2Ω) para φ, e G(iωn)=1/(ωn2+Ω2), exatamente o propagador de Matsubara usado em propagadores. Uma interação alarga os picos (decaimento, Γ), desloca-os (massa térmica) e acrescenta contínuos (Landau damping, ver a próxima seção).

Continuação analítica: de iωn a ω+i0+

O mesmo ρ determina o propagador retardado, que governa a resposta linear (condutividade, viscosidade, taxas de produção):

Continua a derivação anterior (ρ(ω) e G(iωn)=∫dω2πρω−iωn). Aqui: o propagador retardado, o teorema de flutuação–dissipação e uma estimativa explícita de por que o caminho de volta (GE→ρ) é instável. Bósons, ς=+1.

O propagador retardado é a mesma integral A resposta linear é governada por GR(t)=−i θ(t)⟨[A(t),B]⟩. Com ⟨[A(t),B]⟩=∫dω′2πe−iω′tρ(ω′), a transformada é GR(ω)=−i∫0∞ ⁣dt ei(ω+i0+)t∫dω′2πe−iω′tρ(ω′)=∫dω′2πρ(ω′)ω−ω′+i0+. Comparando com a representação espectral: GR(ω)=− G(iωn→ω+i0+). A função G(z) é analítica fora do eixo real; os valores nas frequências de Matsubara e a função de resposta física são o mesmo objeto analítico em pontos diferentes do plano complexo.

Parte imaginária e dispersão Pela fórmula de Sokhotski, 1/(x+i0+)=P1x−iπδ(x), portanto ρ(ω)=−2Im⁡GR(ω),Re⁡GR(ω)=P ⁣ ⁣∫dω′2πρ(ω′)ω−ω′(Kramers–Kronig). Para A=B†, ωρ(ω)≥0: é a dissipação (absorção líquida de energia) do sistema sob a perturbação.

Flutuação–dissipação A correlação simetrizada S(ω)=12[G>+G<](ω) mede as flutuações. Pelo passo 6 da derivação anterior, S(ω)=(12+nB(ω))ρ(ω)=12coth⁡βω2 ρ(ω)=−coth⁡βω2 Im⁡GR(ω). (Para férmions, 12tanh⁡βω2 no lugar de 12coth⁡.) Flutuações térmicas e dissipação são a mesma função, ligadas por um fator estatístico universal. Limite clássico ω≪T: S≃(T/ω)ρ, a relação de Einstein/Nyquist; limite T→0: S→12sgn⁡(ω)ρ, flutuações de ponto zero.

O problema inverso: dados em τ O que o computador entrega (Monte Carlo na rede, por exemplo) é GE(τ) em poucos pontos τ∈(0,β), com erro estatístico. Com G>=[1+nB]ρ, GE(τ)=∫dω2π K(τ,ω) ρ(ω),K(τ,ω)=e−ωτ1−e−βω. É uma transformada de Laplace; invertê-la é o problema clássico mal posto.

Quão mal posto: uma perturbação oscilante do espectro é invisível Tome δρ(ω)=ϵ e−(ω−ω0)2/2σ2cos⁡[Ω(ω−ω0)], um espectro modulado com frequência Ω. Longe de ω=0 (onde K≃e−ωτ), com x=ω−ω0: δGE(τ)≃ϵ Re⁡ e−ω0τ ⁣∫ ⁣dx2π e−x22σ2−(τ−iΩ)x=ϵ σ2π e−ω0τ eσ2(τ2−Ω2)2cos⁡(σ2τΩ), pela integral gaussiana ∫e−x2/2σ2−axdx=σ2π eσ2a2/2 com a=τ−iΩ. O fator e−σ2Ω2/2 é gaussiano em Ω: uma modulação com σΩ=6 altera GE por e−18≈10−8 vezes a amplitude, abaixo de qualquer erro estatístico realista (∼10−3 a 10−4). Infinitos espectros distintos dão os mesmos dados.

Unicidade formal, instabilidade prática Se G(z) fosse conhecida com precisão infinita nos infinitos pontos z=iωn e limitada em Im⁡z>0, o teorema de Carlson garantiria uma única continuação. Com dados ruidosos em poucos pontos: (i) a interpolação de Padé é exponencialmente sensível ao ruído; (ii) métodos regularizados (entropia máxima, Bayes, Backus–Gilbert, redes neurais) devolvem um ρ suavizado, com viés do prior. A positividade (ωρ≥0 para A=B†) e as regras de soma ajudam, mas não curam o problema. É por isso que quantidades de tempo real (viscosidade, condutividade, taxas) são tão mais difíceis na rede do que quantidades estáticas.