Regularização: como extrair um número finito de uma soma infinita

Somar as energias de todos os modos de um campo dá infinito. Isso não é um defeito da teoria: é o sinal de que a pergunta foi mal feita — o que se mede nunca é a energia absoluta, é a diferença entre duas situações.

A regularização é o procedimento de separar, de uma soma divergente, a parte que depende do corte (e cancela na diferença) da parte finita que sobra. E a parte que sobra é medível em laboratório: é a força de Casimir.

A energia de vácuo é o determinante funcional da seção A ação euclidiana e o funcional gerador, escrito como soma de autovalores:

Três métodos padrão, todos equivalentes onde ambos funcionam:

A soma ∑n e−n/L é feita termo a termo. Depois se subtrai o termo L2, que é a parte dependente do corte, e observa-se o que resta.

Aumente L e veja o resto convergir para −0,0833333. O ponto que costuma ser mal contado na divulgação: a série 1+2+3+⋯ diverge, ponto final. O que ζ(−1)=−1/12 diz é que, depois de remover a parte que depende do corte — e que cancela em qualquer diferença física —, o que sobra é −1/12, independentemente do esquema. Essa independência é o conteúdo real, e é o que torna a previsão de Casimir medível: a força entre duas placas foi confirmada em laboratório com poucos por cento de erro.

A um laço tudo que se precisa é de ln⁡det⁡K^=∑nln⁡λn, uma soma escandalosamente divergente. A definição de Ray-Singer contorna isso construindo primeiro a função zeta espectral,

e observando que −ζK^′(0)=∑nln⁡λn formalmente. A jogada é continuar ζK^ analiticamente até s=0 — onde ela é finita — e definir

A ponte com a física é o núcleo do calor. Da representação de Mellin,

Os coeficientes de Seeley-DeWitt ak são integrais locais de curvatura e de campo — geometria pura. Cada ak com k<d produz um polo de ζ e corresponde a uma divergência ultravioleta; o ak com k=d é o que sobrevive em s=0, e é ele que aparece na anomalia conforme. Toda a ambiguidade de esquema se concentra num único coeficiente — o resto é inequívoco.

O caso de bolso: a energia de Casimir em 1D entre placas separadas por a tem modos ωn=πn/a, logo E=12∑ωn=(π/2a)∑n=(π/2a) ζ(−1)=−π/24a. O ζ(−1)=−1/12 não é mágica: é o mesmo −1/12 que o corte suave ∑n e−n/L=L2−112+O(L−2) deixa para trás quando o termo dependente do regulador cancela. Dois esquemas sem parentesco, o mesmo número — e é essa universalidade, não o valor em si, que é o conteúdo físico.

Efeito Casimir em 3D

A seção anterior mostrou, em uma dimensão, o −1/12 que sobra de 1+2+3+⋯ depois de descartar a parte que depende do corte. O caso físico é o de duas placas condutoras paralelas separadas por a, onde a soma de 12ℏω sobre os modos do campo eletromagnético dá uma energia por área finita e uma força medida em laboratório (Lamoreaux, 1997; Mohideen e Roy, 1998, com erro de poucos por cento). Duas vias levam ao mesmo número, e é a coincidência que importa: a continuação por zeta e uma soma com corte físico explícito.

Duas placas condutoras perfeitas em z=0 e z=a, área A→∞. Unidades ℏ=c=1. Começamos com um campo escalar com condição de Dirichlet (um grau de liberdade por modo) e depois contamos as polarizações do campo eletromagnético.

Os modos Com ϕ(z=0)=ϕ(z=a)=0 as ondas estacionárias têm kz=nπ/a, n=1,2,…, e momento paralelo livre k⊥∈R2: ωn(k⊥)=k⊥2+(nπ/a)2. A energia do vácuo por unidade de área é a soma de 12ω sobre todos os modos: EDA=12∑n=1∞∫d2k⊥(2π)2 ωn(k⊥)(divergente).

A integral transversal por continuação analítica Use ∫dDk(2π)D(k2+M2)−s=Γ(s−D/2)(4π)D/2Γ(s)MD−2s, válida para Re s>D/2 e continuada para s=−12 com D=2, M=nπ/a. Com Γ(−32)=4π3 e Γ(−12)=−2π: ∫d2k⊥(2π)2k⊥2+M2=Γ(−3/2)4π Γ(−1/2)M3=−M36π. (O sinal negativo é a assinatura de que o termo divergente foi descartado por continuação analítica, o que o método da próxima derivação justifica sem continuação.)

A soma sobre n e a função zeta EDA=12∑n≥1(−16π)(nπa)3=−π212 a3∑n≥1n3=−π212 a3 ζ(−3). ζ(−3)=−B4/4. Com B4=−1/30, ζ(−3)=1120. Então EDA=−π21440 a3(um escalar).

Polarizações do campo eletromagnético Para condutor perfeito (E∥=0, B⊥=0 nas placas) os modos têm a mesma frequência ωn(k⊥), n≥1, com duas polarizações (TE e TM). O modo n=0 existe só para TM, com ω=k⊥; sua energia 12∫d2k(2π)2k não depende de a, logo se cancela contra o exterior e não contribui para a força. Portanto EA=2×(−π21440a3)=−π2720 a3

A força e as unidades A pressão (força por área, atrativa) é F/A=−∂a(E/A): FA=−∂∂a(EA)=−3π2720 a4=−π2240 a4. (O sinal negativo significa atração: a energia sobe com a e o sistema tende a diminuí-lo.) Restaurando ℏc, F/A=−π2ℏc/(240a4). Com ℏc=197,327 eV nm, para a=1 μm=103 nm: ∣FA∣=π2240⋅197,327 eV nm(103 nm)4=1,30×10−3 Pa, pois π2/240=0,04112 e 1 eV=1,602×10−19 J. Escala a−4: em a=10 nm a pressão é 1,3×105 Pa, cerca de 1 atm.

Resultado. E/A=−π2ℏc/(720a3), F/A=−π2ℏc/(240a4). A regularização por zeta é só uma forma econômica de descartar a parte que depende do corte; a derivação seguinte mostra, com um corte físico explícito, que o resultado é o mesmo.

Resta responder a objeção natural: a regularização por zeta joga fora infinitos por continuação analítica, e isso poderia ocultar uma dependência física do corte. Não oculta. Quando o corte é explícito, a energia tem três pedaços, e só um deles depende de a de modo não trivial:

A soma de modos é divergente e a regularização por zeta pode parecer um truque. Aqui o corte é físico: acima de ω∼Λ o condutor deixa de ser perfeito (plasma, transparência), representado por uma função f(ω/Λ) suave, com f(0)=1 e f→0 rápido. Mostramos que Λ só aparece em termos que não dependem de a ou que são lineares em a.

Energia regularizada, por polarização E(a)/A=12∑n≥1F(n), com F(n)=∫d2k(2π)2 ω f(ω/Λ), ω2=k2+ωn2, ωn=nπ/a. Troque k dk=ω dω: F(n)=12π∫ωn∞ω2f(ω/Λ) dω.

Euler–Maclaurin Para F suave que decai, ∑n=1∞F(n)=∫0∞F dn−12F(0)−112F′(0)+1720F′′′(0)−… Cada termo: (i) ∫0∞F dn=aπ∫0∞dωn F=a2π2∫0∞ω3f dω∝aΛ4: linear em a, é a energia do vácuo de um volume aA e cancela com o exterior (o mesmo vácuo preenche o outro lado das placas). (ii) F(0)=12π∫0∞ω2f dω∝Λ3: independente de a, é a energia superficial de cada placa; também não produz força. (iii) F′(n)=−πa⋅12π ωn2f(ωn/Λ)=−π2n22a3f(nπaΛ). Derivando duas vezes mais e pondo n=0: F′(0)=0 e F′′′(0)=−π2a3f(0)=−π2a3.

O termo que sobrevive O único termo que depende de a de forma não trivial e é finito quando Λ→∞ é 1720F′′′(0): EA∣fin=12⋅1720(−π2a3)=−π21440 a3(por polarizac¸a˜o). Ele só usa f(0)=1: é independente da forma do regulador. O termo seguinte, com F(5)(0)∝f′′(0), é O(1/(aΛ)2) e some no limite; numericamente a razão entre a soma regularizada e −π2/1440a3 vale 1−1,4 f′′(0)/(aΛ)2 (para f=e−x, f′′(0)=1: 0,9996 em aΛ=60).

Comparação com zeta e Abel–Plana Com a regularização por zeta o mesmo −π2/1440a3 aparece direto. Pela fórmula de Abel–Plana, ∑n≥0g(n)−∫0∞g dn=12g(0)+i∫0∞g(it)−g(−it)e2πt−1dt; com g(n)=∫d2k(2π)2k2+(nπ/a)2, só a região k<πt/a, onde a raiz fica imaginária, contribui, e i[g(it)−g(−it)]=−13π(πt/a)3. Como ∫0∞t3 dte2πt−1=1240, resulta −π23a3⋅1240=−π2720a3 para ∑n≥1g(n) (o 12g(0) é o termo de superfície). Metade, −π2/1440a3, por polarização.

Temperatura finita, em esboço A energia livre por área, na representação de Matsubara com ξl=2πlT, é F/A=T∑l=0∞′ 2∫d2k(2π)2ln⁡(1−e−2ak2+ξl2) (condutor perfeito; o 2 conta as polarizações, o ′ dá peso 12 a l=0; ℏ=c=kB=1). Quando aT≫1 só l=0 sobrevive: com x=2ak, ∫0∞xln⁡(1−e−x)dx=−ζ(3), e FA→−ζ(3) T8π a2,FA→−ζ(3) T4πa3. O regime clássico: a força cai como a−3, não a−4, e ℏ desaparece. A escala é o comprimento térmico ℏc/kBT≈7,6 μm a 300 K.

Resultado. Com qualquer regulador suave, E(a)=(termo∝aΛ4)+(termo constante∝Λ3)−π2/(1440 a3)+O(Λ−2) por polarização. Só o último termo depende de a e do ambiente (as placas); é o único mensurável, e não depende do regulador.

Para duas placas, E/A=12∑n≥1∫ ⁣d2k(2π)2 ω f(ω/Λ) por polarização (dobrado aqui para o campo eletromagnético). A soma é feita termo a termo, em forma fechada. Primeiro painel: a energia tem uma parte de volume ∝aΛ4, uma de superfície ∝Λ3 (independente de a) e uma parte finita; as duas primeiras divergem e não dão força. Segundo: o que sobra depois de subtrair as duas primeiras converge, com qualquer regulador suave, para −π2/720≈−0,013707 (em ℏc/a3); com corte abrupto não converge (a fórmula de Euler–Maclaurin exige f suave). Terceiro: ∣F/A∣=π2ℏc/240a4 em Pa, em escalas log-log; a 10 nm é cerca de 1 atm.