As funções 1PI: auto-energia, vácuo e vértice

As funções uma-partícula-irredutíveis (1PI) — que não se partem cortando uma única linha interna — são os tijolos da teoria. A um laço, três delas dominam a QED.

1 · Auto-energia Σ(p)

Correção ao propagador do férmion. Desloca o polo, definindo a massa física e a renormalização de campo Z2. Clique no propagador interno, no fóton ou nos vértices.

Calculamos Σ(p) a um laço, no gauge de Feynman, com o regulador de Pauli–Villars (um fóton fictício de massa Λ que subtrai o ultravioleta) e mostramos que o deslocamento de massa é proporcional a m: a proteção quiral do texto. Ferramentas: parâmetros de Feynman e integral mestra.

A amplitude Um elétron de momento p emite um fóton de momento p−k e propaga com k: −iΣ(p)=(−ie)2 ⁣∫ ⁣d4k(2π)4 γμi(k̸+m)k2−m2γμ−i(p−k)2=−e2 ⁣∫ ⁣d4k(2π)4γμ(k̸+m)γμ(k2−m2)(p−k)2. Em 4 dimensões, γμk̸γμ=−2k̸ e γμγμ=4, logo o numerador é −2k̸+4m e Σ=−ie2∫d4k(2π)44m−2k̸(k2−m2)(p−k)2.

Feynman e deslocamento Com x no denominador do fóton: (1−x)(k2−m2)+x(k−p)2=(k−xp)2−Δ, Δ=(1−x)m2−x(1−x)p2. Com ℓ=k−xp, o numerador vira 4m−2xp̸ (o termo linear em ℓ some): Σ=−ie2 ⁣∫01 ⁣dx (4m−2xp̸) ⁣∫ ⁣d4ℓ(2π)41(ℓ2−Δ)2.

Regular com Pauli–Villars Troque 1(p−k)2→1(p−k)2−1(p−k)2−Λ2. O segundo termo tem o mesmo numerador e ΔΛ=Δ+xΛ2. Pela fórmula mestra em d=4−2ϵ a diferença é finita (os polos 1/ϵ se cancelam): ∫ ⁣d4ℓ(2π)4[1(ℓ2−Δ)2−1(ℓ2−ΔΛ)2]=i16π2ln⁡ΔΛΔ → Λ→∞ i16π2ln⁡xΛ2Δ.

Σ(p̸) Com e2/16π2=α/4π: Σ(p̸)=α2π∫01 ⁣dx (2m−xp̸)ln⁡xΛ2(1−x)m2−x(1−x)p2. É a estrutura Σ=ΣVp̸+Σmm do texto, com divergência logarítmica (ω=1 reduzido a ln⁡Λ pela falta de termos lineares em ℓ).

Na camada de massa A massa física é o polo: mfıˊs=m0+Σ(p̸=m). Com p̸→m, p2=m2 e Δ=(1−x)2m2: δm=α2π m ⁣∫01 ⁣dx (2−x)[ln⁡Λ2m2+ln⁡x(1−x)2]. Integrais: ∫01(2−x)dx=32 e ∫01(2−x)ln⁡x(1−x)2dx=−74+52=34 (de ∫(2−x)ln⁡x=−74 e ∫(2−x)ln⁡(1−x)=−54). Logo δm=α2π m[32ln⁡Λ2m2+34]=3α4π m[ln⁡Λ2m2+12].

Proteção quiral e naturalidade Todo o resultado é ∝m: se m=0, o numerador 4m−2xp̸ só deixa o termo ∝p̸, que na camada de massa p̸=0 não desloca o polo. Logo δm=0 para m=0, como exige a simetria quiral. A correção é multiplicativa e só logarítmica. Compare com um escalar, cuja correção δmh2∝Λ2 não é protegida (problema da hierarquia, módulo Além do Modelo Padrão).

Resultado. δm/m=3α4π[ln⁡(Λ2/m2)+12] (aproximação: um laço, Pauli–Villars, Λ≫m). Números: para Λ=1 TeV, δm/m=0,051; para Λ=2×1016 GeV, 0,158; até Λ=mPlanck=1,22×1019 GeV, 0,180. Mesmo com um corte absurdo a correção fica em 18% da própria massa: a divergência é suave, e por isso a massa do elétron é tecnicamente natural.

2 · Polarização do vácuo Π(q²)

Correção ao propagador do fóton: um loop de par ffˉ. Blinda a carga elétrica e gera o running de α. A identidade de Ward força a estrutura transversa.

Calculamos o loop de um férmion de massa m e carga e no propagador do fóton, em d=4−2ϵ (ferramentas da seção de divergências), e dele tiramos a fórmula do texto, a transversalidade e o coeficiente β=2α2/3π. Métrica (+,−,−,−); e2=4πα.

A amplitude do loop Dois vértices −ieγμ, dois propagadores, um sinal −1 de loop fechado de férmion: iΠμν(q)=−(−ie)2 ⁣∫ ⁣ddk(2π)dtr[γμ i(k̸+m) γν i(k̸+q̸+m)](k2−m2)((k+q)2−m2)=−e2 ⁣∫ ⁣ddk(2π)dNμν(k2−m2)((k+q)2−m2), com Nμν=tr[γμ(k̸+m)γν(k̸+q̸+m)]=4[kμ(k+q)ν+kν(k+q)μ−gμν(k⋅(k+q)−m2)].

Parâmetro de Feynman e deslocamento Pelo passo 2 da integral mestra, com ℓ=k+xq e Δ=m2−x(1−x)q2, o denominador é (ℓ2−Δ)2. Como k=ℓ−xq e k+q=ℓ+(1−x)q, descartando termos lineares em ℓ: 14Nμν→2ℓμℓν−gμνℓ2−2x(1−x) qμqν+gμν[m2+x(1−x)q2].

Integrar em ℓ Pela simetria, ℓμℓν→gμνℓ2/d, então 2ℓμℓν−gμνℓ2→(2d−1)gμνℓ2. Escrevendo ℓ2=(ℓ2−Δ)+Δ e usando a fórmula mestra com n=1 e n=2: ∫ ⁣ddℓ(2π)dℓ2(ℓ2−Δ)2=i Δd/2−1(4π)d/2[Γ(2−d2)−Γ(1−d2)]=−i d2 Γ(1−d2)(4π)d/2Δd/2−1, pois Γ(2−d2)=(1−d2)Γ(1−d2). Multiplicando por (2d−1) e usando de novo a recursão da gama: ∫ ⁣ddℓ(2π)d2ℓμℓν−gμνℓ2(ℓ2−Δ)2=− gμν i Γ(2−d2)(4π)d/2 Δd/2−1. Os demais termos usam ∫(ℓ2−Δ)−2=i Γ(2−d2)Δd/2−2/(4π)d/2.

A transversalidade sai sozinha Somando, o fator comum é iΓ(2−d2)Δd/2−2/(4π)d/2 e entre chaves fica −gμνΔ+gμν[m2+x(1−x)q2]−2x(1−x)qμqν. Como −Δ+m2+x(1−x)q2=2x(1−x)q2, {… }=2x(1−x)(q2gμν−qμqν). Logo Πμν=(q2gμν−qμqν)Π(q2), com qμΠμν=0: a identidade de Ward (veja BRST e Ward) não foi imposta, e sim obtida (o fato de d≠4 não a estraga, esta é a virtude da regularização dimensional). Com iΠμν=−e2⋅4⋅∫dx (… ): Π(q2)=−8e2(4π)d/2∫01 ⁣dx x(1−x) Γ(2−d2) Δd/2−2.

Expansão em ϵ Com d=4−2ϵ, 8e2/16π2=2α/π e Γ(ϵ)(4π)ϵΔ−ϵ=1ϵ−γE+ln⁡4π−ln⁡Δμ2; como ∫01x(1−x)dx=16: Π(q2)=−α3π[1ϵ−γE+ln⁡4π−6 ⁣∫01 ⁣ ⁣dx x(1−x)ln⁡m2−x(1−x)q2μ2], exatamente a fórmula do texto. A divergência é só logarítmica (ω=2 caiu para 0 pela transversalidade).

Renormalizar e ler o running A constante Z3 subtrai o valor em q2=0: Π^(q2)=Π(q2)−Π(0)=2απ∫01dx x(1−x)ln⁡m2−x(1−x)q2m2. A carga efetiva é αef(q2)=α/[1−Π^(q2)]. Para Q2=−q2≫m2, Δ≃x(1−x)Q2 e ∫01x(1−x)ln⁡[x(1−x)]dx=−518: Π^=α3π[ln⁡Q2m2−53],αef(Q2)=α1−α3π[ln⁡(Q2/m2)−53]. A carga cresce com Q: o vácuo polarizado blinda a carga nua (grupo de renormalização).

O coeficiente da função beta A um laço, dαdln⁡Q2=α23π, isto é, β(α)≡dαdln⁡μ=2α23π por férmion de Dirac com carga ±1 (carga Qf e Nc cores multiplicam por NcQf2). Integrando: α−1(Q)=α−1−13π∑fNcQf2[ln⁡(Q2/mf2)−53].

Resultado. Π(q2) do passo 5 e β=2α2/3π. Número: só com o elétron, α−1(MZ)=137,036−13π[ln⁡(MZ2/me2)−53]=134,65; somando μ e τ, 132,73 (aproximação de log dominante, Q≫mf). Os loops de quarks levam o valor a cerca de 128–129 (valor da literatura, não calculado aqui), como mostra o widget de running.

3 · Correção de vértice Γ^μ

Correção ao acoplamento ψˉA̸ψ. Sua parte finita é o momento magnético anômalo g−2; a divergente renormaliza a carga. Clique no fóton interno.