Divergências, regularização e contratermos

Além da árvore, cada loop traz uma integral ∫d4k sobre o momento não fixado. No ultravioleta (k→∞) ela frequentemente diverge. A renormalização absorve esses infinitos em poucos parâmetros — e o que sobra é finito e previsível.

Num diagrama com um loop, uma partícula virtual circula com um momento que nada fixa: a conta soma sobre todos os valores possíveis, inclusive energias arbitrariamente altas. Essa soma muitas vezes dá infinito.

O infinito vem de perguntar sobre distâncias menores do que qualquer teoria conhece. A renormalização reconhece isso: os parâmetros que aparecem na Lagrangiana (“nus”) não são os que medimos. Ao reescrever a teoria em termos da carga e da massa medidas, os infinitos se cancelam entre si e sobram previsões finitas, que concordam com o experimento em até 12 algarismos.

De onde vêm os infinitos

Considere um diagrama conexo da QED com V vértices ψˉγμψAμ, Pe propagadores de elétron e Pγ de fóton internos, Ee linhas externas de elétron e Eγ de fóton, e L loops. Vamos contar potências de momento no ultravioleta e mostrar que o resultado depende só das linhas externas.

Potências de momento por peça Cada loop traz uma integral ∫d4k∼k4. O propagador do elétron, i(k̸+m)/(k2−m2), cai como k−1; o do fóton, −igμν/k2, como k−2. Os vértices da QED não carregam momento. Logo, para k→∞ em todas as linhas do loop, ω=4L−Pe−2Pγ. (Esta é a fórmula do texto, ω=4L−2PB−PF, com B=γ e F=e.) Se ω≥0 a integral diverge como Λω (ou ln⁡Λ quando ω=0); se ω<0 o diagrama é superficialmente convergente.

Topologia: loops em termos de linhas e vértices Cada linha interna carrega um momento livre e cada vértice impõe uma delta de conservação, exceto uma delta global (a conservação do momento externo). Então L=Pe+Pγ−V+1.

Contagem de pontas Cada vértice tem duas pontas de elétron (ψ e ψˉ) e uma de fóton. Cada propagador interno usa duas pontas e cada linha externa usa uma: 2V=2Pe+Ee,V=2Pγ+Eγ ⟹ Pe=V−12Ee,Pγ=12(V−Eγ).

Eliminando L, Pe e Pγ Substituindo L do passo 2 em ω: ω=4(Pe+Pγ−V+1)−Pe−2Pγ=3Pe+2Pγ−4V+4. Agora o passo 3: ω=3V−32Ee+V−Eγ−4V+4=4−Eγ−32Ee. O número de vértices V cancelou: acrescentar interações não piora a divergência. É a assinatura de um acoplamento adimensional (e tem dimensão de massa zero) e, portanto, de uma teoria renormalizável.

Leitura como dimensão de um operador A parte divergente de um diagrama com ω≥0 é um polinômio de grau ω nos momentos externos, isto é, um operador local ∂ ωAEγψEe no contratermo. Suas dimensões de massa somam ω+Eγ⋅1+Ee⋅32=4, exatamente a dimensão da densidade lagrangiana. Só há contratermos de dimensão 4, o que limita o catálogo (veja a anatomia da Lagrangiana).

Tabela das amplitudes com ω≥0 Variando (Eγ,Ee): (Eγ,Ee)(2,0)(0,2)(1,2)(3,0)(4,0)(2,2)(0,4)ω21010−1−2 Sobram cinco. A amplitude (3,0) é nula pelo teorema de Furry (conjugação de carga); a (4,0) (luz por luz) tem ω=0 mas a invariância de gauge a torna finita. Restam as três da seção: polarização do vácuo (ω=2, reduzida a logaritmo pela transversalidade q2gμν−qμqν), auto-energia (ω=1, reduzida a logaritmo pela simetria quiral) e vértice (ω=0).

Resultado. ω=4−Eγ−32Ee, independente da ordem na teoria de perturbações. Apenas as cinco amplitudes da tabela divergem superficialmente, e só três divergem de fato: por isso três constantes Z1,Z2,Z3 (mais Zm) absorvem todos os infinitos da QED a todas as ordens. Exemplo concreto: a auto-energia do elétron (Ee=2, Eγ=0) tem ω=4−3=1, linear, e o cálculo do próximo bloco mostra que só resta δm∝mln⁡Λ.

Arraste o cutoff Λ abaixo e veja a integral crescer sem limite — e por que o contratermo é necessário.

Um loop soma flutuações virtuais de todos os momentos k até o corte Λ. À esquerda, o vácuo: pares virtuais de tamanho ∼1/k e vida ∼1/k; subir Λ acrescenta pares cada vez menores e mais numerosos. No meio, o integrando k3/(k2+M2)2 em escala logarítmica: ele tende a uma constante, então cada década de k contribui o mesmo e a soma cresce como ln⁡Λ, sem limite. À direita, a quantidade crua I(Λ,p) diverge, mas a diferença I(Λ,p)−I(Λ,μ), que é o que um contratermo fixado na escala de referência μ deixa, converge para um número finito que não depende de Λ: 12ln⁡m2+μ2/4m2+p2/4. Aqui m=1, μ=2 e M2=m2+p2/4 (modelo de brinquedo de um loop).

Regularizar: tornar o infinito manipulável

Corta os modos acima de Λ. Intuitivo, mas quebra invariância de gauge/Lorentz.

Calcula em d dimensões; o polo aparece como 1/ϵ. Preserva gauge e Lorentz — o padrão moderno.

Subtrai campos massivos fictícios que cancelam o UV; recupera-se M→∞ no fim.

Todo loop a um laço se reduz a duas peças: combinar denominadores num só (parâmetros de Feynman) e integrar ∫ddℓ/(ℓ2−Δ)n. Vamos provar a identidade, deduzir a fórmula mestra de 't Hooft–Veltman usada no texto e expandi-la em d=4−2ϵ. Métrica (+,−,−,−).

Combinar dois denominadores Para A,B quaisquer (sem zeros no segmento), com D(x)=B+x(A−B): ∫01dxD(x)2=[−1(A−B) D(x)]01=1A−B(1B−1A)=1AB. Isto é a identidade do texto, 1AB=∫01 ⁣dx [xA+(1−x)B]−2.

Completar o quadrado Com A=(k+p)2−m2 e B=k2−m2: xA+(1−x)B=k2+2x k⋅p+xp2−m2=(k+xp)2−Δ,Δ=m2−x(1−x)p2. Com ℓ=k+xp (translação, permitida em regularização dimensional), a integral vira ∫ddℓ/(ℓ2−Δ)2, sem termo linear em ℓ.

Rotação de Wick Com ℓ0=iℓE0 (os polos de Feynman permitem, ver a rotação de Wick), ddℓ=i ddℓE e ℓ2=−ℓE2: ∫ ⁣ddℓ(2π)d1(ℓ2−Δ)n=(−1)n i∫ ⁣ddℓE(2π)d1(ℓE2+Δ)n.

A integral euclidiana por Schwinger Use 1Xn=1Γ(n)∫0∞ ⁣dt tn−1e−tX com X=ℓE2+Δ e a gaussiana ∫ddℓE e−tℓE2=(π/t)d/2: ∫ ⁣ddℓE(2π)d1(ℓE2+Δ)n=(4π)−d/2Γ(n)∫0∞ ⁣dt t n−1−d/2e−tΔ=Γ(n−d2)(4π)d/2Γ(n) Δd/2−n. Juntando com o passo 3 obtém-se a fórmula mestra do texto, ∫ ⁣ddℓ(2π)d1(ℓ2−Δ)n=(−1)n i(4π)d/2Γ(n−d/2)Γ(n)Δd/2−n.

Expandir em torno de d=4 Para n=2 e d=4−2ϵ, Γ(2−d/2)=Γ(ϵ)=1ϵ−γE+O(ϵ), (4π)ϵ=1+ϵln⁡4π+… e Δ−ϵ=1−ϵln⁡Δ+… (com um fator μ2ϵ para manter a dimensão): ∫ ⁣ddℓ(2π)d1(ℓ2−Δ)2=i(4π)2[1ϵ−γE+ln⁡4π−ln⁡Δμ2+O(ϵ)]. O polo 1/ϵ é a divergência logarítmica ∫d4ℓ/ℓ4; as constantes −γE+ln⁡4π definem o esquema MS‾.

Verificações independentes (i) Derivando em Δ: ∂Δ(passo 5) =−i16π2Δ, e ∂Δ∫(ℓ2−Δ)−2=2∫(ℓ2−Δ)−3, que é finita em d=4. A fórmula mestra com n=3 dá −i16π2Γ(1)Γ(3)Δ−1=−i32π2Δ, e 2×(−i32π2Δ)=−i16π2Δ: coerente. (ii) Direto, com ∫0∞ℓ3dℓ (ℓ2+Δ)−3=14Δ e a área de S3, 2π2: ∫d4ℓE(2π)4(ℓE2+Δ)−3=2π216π4⋅14Δ=132π2Δ, e com (−1)3i do passo 3 sai −i32π2Δ. (iii) Numérico: para ϵ=10−3 e Δ=2,3μ2, Γ(ϵ)(4π)ϵΔ−ϵ=1001,1224 e 1ϵ−γE+ln⁡4π−ln⁡Δ=1001,1209; a diferença é O(ϵ).

Resultado. ∫ ⁣ddℓ(2π)d(ℓ2−Δ)−n=(−1)ni(4π)d/2Γ(n−d/2)Γ(n)Δd/2−n, e para n=2 a expansão do passo 5. As duas ferramentas aparecem na polarização do vácuo e na auto-energia da próxima seção.

Contratermos e parâmetros nus

Esquemas de renormalização

mR= polo do propagador, αR=α(q2=0). Conveniente para a QED.

Subtrai os polos 1/ϵ mais (−γE+ln⁡4π). Padrão na QCD.

Condições em pontos de momento euclidiano. Usado no lattice.

Observáveis físicos são independentes do esquema; já os parâmetros 'fundamentais' (como αs e as massas de quarks) dependem dele — daí sempre citar o esquema ao reportá-los.