A métrica euclidiana e o grupo SO(4)

No espaço-tempo normal, tempo e espaço entram com sinais opostos na distância — é isso que cria o cone de luz e separa passado de futuro. Depois da rotação de Wick, os quatro eixos passam a entrar com o mesmo sinal, e o espaço-tempo vira um espaço comum de quatro dimensões.

A perda é séria: não há mais causalidade, nada distingue "antes" de "depois". O ganho é igualmente sério: a simetria fica compacta, e simetria compacta é infinitamente mais dócil.

Com t=−iτ temos dt=−i dτ, logo dt2=−dτ2, e o intervalo de Minkowski vira

Definindo xE4=τ, a métrica euclidiana é δμν=diag(+,+,+,+) e o grupo de simetria muda de família:

Em quatro dimensões acontece um acidente de baixa dimensão: os seis geradores de SO(4) se separam em duas cópias independentes de su(2), pelas partes auto-dual e anti-auto-dual,

Cada rep é rotulada por um par (j1,j2) de spins de SU(2), com dimensão (2j1+1)(2j2+1). Um espinor de Weyl é (12,0); um vetor é (12,12); o tensor de Weyl é (1,0)⊕(0,1).

A diferença prática com Minkowski: lá o análogo sl(2,C) tem as duas cópias ligadas por conjugação complexa, e reps unitárias precisam ser infinito-dimensionais. Aqui elas são genuinamente independentes e finitas. É por isso que a quiralidade fica mais transparente no euclidiano — e por isso que, ao voltar para Minkowski, os dois SU(2) têm de ser recombinados com cuidado.

Rotações no espaço comum formam um conjunto fechado e limitado: gire o quanto quiser, você nunca sai de uma bola de raio finito de configurações — depois de 2π volta ao começo. Boosts de Lorentz não: acelere mais e mais e você corre para o infinito sem nunca chegar à velocidade da luz. O grupo é uma superfície ilimitada.

Compacidade é o que garante que integrais sobre o grupo convirjam, que representações unitárias sejam finitas, e que somas sobre configurações se comportem. A rotação de Wick troca um hiperboloide por uma esfera — e quase todo teorema de convergência da TQC euclidiana é uma consequência disso.

Em SO(4) não existe cone de luz, não existe intervalo tipo-tempo nem tipo-espaço, não existe ordenação causal. As funções de correlação euclidianas — as funções de Schwinger — são simétricas na troca de qualquer par de pontos, enquanto as de Minkowski precisam de ordenamento temporal.

Isso levanta a pergunta óbvia: como recuperar a causalidade depois? A resposta não é automática, e é o assunto da seção Osterwalder-Schrader: o que legitima a volta. O critério que a garante chama-se positividade de reflexão, e é uma condição sobre as funções de Schwinger que não tem nenhum análogo óbvio — foi preciso Osterwalder e Schrader descobrirem qual era.

Separe os geradores em rotações Ji=12εijkMjk e boosts Ki=M0i. Em Minkowski a álgebra é

Repare no sinal destacado: dois boosts comutam num giro, com sinal trocado. É esse menos que torna SO(1,3) não compacto. A rotação de Wick manda Ki→−iKi, o menos vira mais, e as três relações ficam idênticas em forma. Aí as combinações

fecham duas cópias de su(2) que não se falam. Em Minkowski a mesma decomposição existe, mas só sobre os complexos — lá é J±=12(J±iK) e (J+)†=J−, de modo que conjugação hermitiana troca as duas cópias. No euclidiano os coeficientes são reais e as cópias são subálgebras reais independentes de verdade.

A consequência prática é o rótulo das representações: (j1,j2) com dimensão (2j1+1)(2j2+1).

Duas armadilhas euclidianas que valem lembrar. Primeiro: as matrizes gama passam a obedecer {γμE,γνE}=2δμν, todas hermitianas — não há mais a assimetria entre γ0 e γi. Segundo, e mais grave: como (12,0) e (0,12) deixaram de estar ligados por conjugação, ψ e ψˉ viram campos independentes. Isso não é um truque de notação — é o que permite a rotação quiral de Fujikawa (Anomalias: quando a medida quebra a simetria) ser tratada como mudança de variável honesta na medida.

Três eixos: x e y espaciais, e ct temporal. Gire a fase e acompanhe o que acontece com cada um. A partícula viaja ao longo de ct: em fase zero ela sobe para sempre; conforme a fase avança, o eixo dela vai enrolando, até fechar num círculo e ela reencontrar o próprio começo.

Leia o quadro da direita enquanto arrasta a fase. Em θ=0 a assinatura é (−,+,+): há um eixo temporal e dois espaciais, e o intervalo ao longo de ct é negativo — separação tipo tempo. Em θ=45∘ o coeficiente de ct passa por zero: aquela direção momentaneamente não conta para distância nenhuma. E em θ=90∘ a assinatura é (+,+,+): o eixo do tempo virou um terceiro eixo espacial, indistinguível de x e y — só que circular.

Uma honestidade sobre o botão: girar a fase e compactificar são, de verdade, dois passos independentes. A fase produz o espaço euclidiano; quem fixa a circunferência é a temperatura, e ela tem um controle próprio aqui. Amarrei os dois no mesmo botão para você ver a continuidade — mas repare no readout que o arco percorrido vale β o tempo todo, e o que muda é só o quanto dele já se fechou.

Partimos da álgebra de Lorentz com rotações Ji e boosts Ki, aplicamos a rotação de Wick ao boost e verificamos que as combinações J±=12(J±KE) fecham duas álgebras de spin independentes. Convenção: ϵijk com soma implícita sobre k.

A álgebra de Minkowski Com Ji=12ϵijkMjk e Ki=M0i: [Ji,Jj]=iϵijkJk,[Ji,Kj]=iϵijkKk,[Ki,Kj]=− iϵijkJk. O sinal negativo do último comutador é o que torna o grupo não compacto. Exemplo: no espinor de Weyl (12,0), Ji=σi/2 e Ki=iσi/2 cumprem as três relações (para K: [Ki,Kj]=−14[σi,σj]=−i2ϵijkσk=−iϵijkJk).

O boost vira rotação Um boost é uma rotação no plano (t,x) por um ângulo imaginário. Com t=−iτ, ele passa a ser uma rotação genuína no plano (τ,x), com gerador KE=−iK. Então K=iKE e [KE,i,KE,j]=(−i)2[Ki,Kj]=−(−iϵijkJk)=+ iϵijkJk,[Ji,KE,j]=−i [Ji,Kj]=iϵijkKE,k. O sinal trocou: as seis relações têm agora a mesma forma, as de so(4) com os seis geradores no mesmo pé.

As combinações J± Defina Ji±=12(Ji±KE,i). Calculamos, usando [KE,i,Jj]=−[Jj,KE,i]=iϵijkKE,k: [Ji±,Jj±]=14(iϵijkJk±iϵijkKE,k±iϵijkKE,k+iϵijkJk)=iϵijk 12(Jk±KE,k)=iϵijkJk±. Cada J+ e cada J− satisfaz sozinho a álgebra de su(2).

As duas cópias não se falam [Ji+,Jj−]=14([Ji,Jj]−[Ji,KE,j]+[KE,i,Jj]−[KE,i,KE,j])=i4ϵijk(Jk−KE,k+KE,k−Jk)=0. Portanto so(4)≅su(2)+⊕su(2)−: 6=3+3. As representações são pares (j+,j−) de spins, de dimensão (2j++1)(2j−+1).

Leitura das representações No espinor (12,0) do passo 1: KE=−iK=−i⋅iσ/2=σ/2, logo J+=σ/2 e J−=0: só a primeira cópia age, dimensão 2. O vetor Aμ é (12,12) (dimensão 4), e o tensor Fμν (6 componentes) divide-se em (1,0)⊕(0,1) (3+3): partes autodual e anti-autodual, a base dos instantons.

Resultado. Com KE=−iK, so(4)=su(2)⊕su(2) via J±=12(J±KE), [J+,J−]=0. Conferência: a representação (12,0) tem J+=σ/2, J−=0; as dimensões somam 6=3+3 e 4=2×2 para o vetor. Em Minkowski a mesma decomposição só existe sobre os complexos, com J±=12(J±iK) trocadas pela conjugação hermitiana.