Por que a integral de Minkowski não converge

Somar infinitas coisas que giram é traiçoeiro: a soma pode nunca se decidir, dependendo de onde você parar de somar. Somar infinitas coisas que encolhem é seguro: mais cedo ou mais tarde os termos deixam de importar e o total assenta.

A integral de caminho de Feynman é do primeiro tipo, e a rotação de Wick a transforma no segundo. Este laboratório mostra as duas somas lado a lado.

A amplitude de transição em Minkowski é

O integrando tem módulo 1 em todo lugar. Não há amortecimento, não há região do espaço de campos que contribua menos que outra — só fases girando. Uma integral assim é, na melhor das hipóteses, condicionalmente convergente: o valor depende da ordem em que você soma, e nenhum teorema de convergência dominada se aplica.

Não é preciso teoria de campos para ver o problema. Compare

A segunda é a primeira com a→−ia: é a rotação de Wick da integral de Fresnel. E o comportamento numérico é radicalmente diferente. Cortando em ∣x∣<L, a gaussiana já vale 1,772454 em L=4 e não se move mais. A oscilatória ainda estava em 1,73 num corte e 1,91 noutro com L=64 — ela nunca "assenta", apenas oscila em torno do valor certo com amplitude que cai como 1/L.

O painel de cima mostra os dois integrandos; o de baixo, a integral parcial de −L a L em função de L. Nenhum valor é tabelado: as somas são calculadas a cada quadro.

Deixe o corte animar e olhe a curva verde do painel de baixo: ela é uma espiral achatada que nunca para de dar voltas em torno do valor exato. A curva teal chega e fica. É a diferença entre convergência condicional e absoluta, e é toda a motivação da formulação euclidiana. Repare também que as duas dão o mesmo módulo no limite — a rotação não muda a resposta, muda o caminho até ela.

Ou seja: a formulação euclidiana não é um atalho de cálculo. Em vários casos ela é a única definição existente da teoria, e a versão de Minkowski é que se obtém dela por continuação.

Comparamos F(L)=∫−LLeiax2dx (peso de Minkowski) com G(L)=∫−LLe−ax2dx (peso euclidiano), a>0. Calculamos os dois limites L→∞ e, sobretudo, quão longe cada integral parcial está do valor final.

Gauss: o truque do quadrado Seja I=∫−∞∞e−ax2dx. Então, em coordenadas polares, I2=∬e−a(x2+y2)dx dy=2π∫0∞r e−ar2dr=πa ⇒ I=πa.

Fresnel: girar o caminho de integração Em eiax2 faça x=eiπ/4u: iax2=ia eiπ/2u2=−au2 e dx=eiπ/4du. Fechando o contorno com o arco x=Reiφ, 0≤φ≤π/4, o módulo do integrando é e−aR2sin⁡2φ≤e−4aR2φ/π (pois sin⁡y≥2y/π), e ∣∫arco∣≤R∫0∞e−4aR2φ/πdφ=π4aR→R→∞0. Não há polos, logo a integral na reta real é igual à integral ao longo da diagonal: ∫−∞∞eiax2dx=eiπ/4πa. Equivale a a→−ia em π/a: (e−iπ/2)−1/2=eiπ/4.

O erro do corte em Fresnel Integrando por partes a cauda, ∫L∞eiax2dx=[eiax22iax]L∞+∫L∞eiax22iax2dx=i eiaL22aL+O ⁣(1aL3). Há duas caudas (±L), iguais por paridade, então F(L)−eiπ/4π/a ≈ −i eiaL2aL⇒∣F(L)−F(∞)∣≈1aL. O erro tem módulo que cai só como 1/L e fase aL2 que gira cada vez mais rápido: é a espiral que o laboratório mostra em torno do valor exato.

O erro do corte em Gauss O mesmo procedimento com e−ax2 dá, para cada cauda, ∫L∞e−ax2dx≈e−aL2/(2aL), de modo que G(L)−π/a≈−e−aL2aL. Decai como uma gaussiana: cada unidade a mais de L multiplica o erro por um fator enorme.

Comparação com a=1 Para um erro de 10−3: Fresnel pede 1/L≈10−3, ou seja L≈103; Gauss pede e−L2/L≈10−3, ou seja L≈2,5. Em L=8 o erro de Fresnel é 0,125 e o de Gauss 2×10−29.

Resultado. ∫e−ax2=π/a converge absolutamente (erro ∼e−aL2); ∫eiax2=eiπ/4π/a só converge condicionalmente (erro ∼1/(aL), com fase girando). Conferência numérica com a=1: ∣F(L)−F(∞)∣=0,486, 0,249, 0,12498, 0,06250 para L=2,4,8,16, contra 1/L=0,5, 0,25, 0,125, 0,0625. A rotação de Wick é essa mesma rotação x→eiπ/4u, feita no tempo; ver o contorno em k0.