O cone de luz vira um ponto

No espaço-tempo normal, cada evento carrega um cone de luz: a fronteira entre o que ele pode influenciar e o que ele não pode. Dentro do cone há um antes e um depois; fora dele, nada acontece — nenhum sinal chega.

No espaço euclidiano esse cone encolhe até virar um único ponto. Some a distinção entre antes e depois; sobra só "distância". Parece um desastre — e seria, se não houvesse um substituto: a influência não é cortada abruptamente, ela decai exponencialmente. E a distância em que ela cai a quase nada é o "raio" que faz o papel do cone.

Escreva o intervalo com a rotação a meio caminho, t→e−iθτ. A parte real dele é

As superfícies de s2 constante são hipérboles enquanto cos⁡2θ>0, viram retas verticais em 45∘, e a partir daí são elipses, que fecham em círculos perfeitos aos 90∘. Acompanhe em particular a superfície s2=0, que é o cone de luz.

A equação do cone é ∣x∣=±τcos⁡2θ, uma reta cujo ângulo com o eixo do tempo é arctan⁡cos⁡2θ. Em θ=0 ela vale 45∘ — a velocidade da luz. Conforme θ sobe o cone se fecha, encostando no eixo do tempo em θ=45∘. Passando disso, cos⁡2θ<0 e a equação não tem solução real nenhuma a não ser a origem.

É esse o sentido exato de "perder a causalidade": no euclidiano, sE2=τ2+∣x∣2 só se anula quando todas as coordenadas se anulam. Não há direções privilegiadas, não há passado nem futuro, e a simetria SO(4) trata o eixo τ exatamente como trata x, y e z (A métrica euclidiana e o grupo SO(4)). Nenhum dos quatro eixos é "o tempo".

À esquerda, as superfícies de s2 constante no plano (τ,x), com o cone de luz s2=0 em destaque. À direita, o que substitui o cone: o correlador GE∼e−m∣x∣, com o raio em que ele cai a 1/e — o comprimento de Compton 1/m.

Repare no que acontece com as três regiões. Em θ=0 o plano está partido em três: dentro do cone (tipo tempo, onde há causa e efeito), fora (tipo espaço, onde não há), e a fronteira. Conforme θ sobe, a região tipo tempo encolhe até sumir aos 45∘, e depois de lá o plano inteiro é de um tipo só. O painel da direita mostra o preço e a compensação: a separação nítida do cone é trocada por um corte suave de escala 1/m. Aumente m e veja o alcance encolher — uma força mediada por partícula pesada é de curto alcance, e isso vale nas duas assinaturas.

O que se perde

Ordenamento temporal. Sem cone, não há "antes" invariante, e portanto não há comutadores que se anulem fora do cone — o critério usual de causalidade em TQC, [ϕ^(x),ϕ^(y)]=0 para x−y tipo espaço, simplesmente não se enuncia.

Some junto a distinção entre emitir e absorver: uma linha de partícula euclidiana não tem seta.

O que sobra no lugar

Decaimento exponencial das correlações, com alcance ξ=1/m. Nada é proibido em sentido estrito, mas tudo além de algumas unidades de ξ é exponencialmente irrelevante. Numa rede de espaçamento a, isso é literalmente o quanto um sítio "sente" os outros.

E, no nível rigoroso, a positividade de reflexão (Osterwalder-Schrader: o que legitima a volta) devolve a causalidade — não como fórmula, mas como teorema.

Há um detalhe que faz a rotação de Wick parecer menos violenta do que soa. Para separações tipo espaço, o propagador de Feynman de Minkowski e o propagador euclidiano são a mesma função dos mesmos argumentos reais:

sem nenhuma continuação envolvida. A rotação não é necessária nessa região — ela já concorda. O que a continuação analítica faz é estender essa função à região tipo tempo, e é lá, e só lá, que aparecem as oscilações, os polos e o iϵ.

Isso reorganiza o quadro. As funções de Schwinger euclidianas são definidas para pontos não coincidentes em R4; a região física tipo espaço está inteiramente contida aí. Recuperar Minkowski é continuar em direção ao cone e atravessá-lo, e é exatamente nesse atravessar que os axiomas de Osterwalder-Schrader precisam ser invocados — em particular a temperança (OS0), que controla o crescimento e garante que a continuação existe.

Uma consequência prática vale o registro: como a rede só enxerga a região euclidiana, ela calcula com facilidade tudo que é estático — massas, constantes de decaimento, elementos de matriz a momento fixo. Já qualquer quantidade genuinamente dinâmica — taxas de espalhamento, funções espectrais, transporte a temperatura finita — exige a continuação de volta a partir de um número finito de pontos euclidianos ruidosos. Esse é um problema inverso mal-posto, e é a razão de fundo por que a QCD na rede prevê a massa do próton com um por cento de erro e ainda briga para calcular uma viscosidade.

Duas afirmações do texto: (i) o cone de luz fecha em θ=45∘ quando o tempo gira, t→e−iθτ; (ii) para separação tipo-espaço o propagador de Feynman coincide com o euclidiano, sem continuação alguma. Escalar livre de massa m, ℏ=c=1, η=diag(+,−,−,−).

O intervalo girado Com t=e−iθτ, t2=e−2iθτ2 e a parte real de s2=∣x∣2−t2 é Re s2=∣x∣2−τ2cos⁡2θ. Em θ=0: Minkowski; em θ=90∘: ∣x∣2+τ2, euclidiano.

O ângulo do cone Re s2=0 dá ∣x∣=τcos⁡2θ: o ângulo φ do cone com o eixo do tempo cumpre tan⁡φ=cos⁡2θ. Em θ=0: φ=45∘ (velocidade da luz). Em θ=30∘: tan⁡φ=1/2, φ=35,26∘. Em θ=45∘: φ=0, o cone encosta no eixo; além disso cos⁡2θ<0 e não há solução real.

Propagador de Feynman em tempo igual Em x0=0 o propagador é DF(0,x)=∫d4k(2π)4i eik⋅xk2−m2+iϵ. Faça a rotação do contorno k0=ik4: dk0=i dk4 e k2−m2=−(kE2+m2), logo DF(0,x)=∫d4kE(2π)4 i⋅i−(kE2+m2) eik⋅x=∫d4kE(2π)4eikE⋅xEkE2+m2=GE(∣x∣). O fator i⋅i/(−1)=+1 é o que faz as duas funções coincidirem, sem fase residual.

De tempo igual a qualquer separação tipo-espaço DF é invariante de Lorentz e depende só de x2. Todo par de pontos com x2<0 (tipo-espaço, na convenção η acima) pode ser levado por um boost a tempo igual, com ∣x∣=−x2. Portanto DF(x)=GE(−x2)=m4π2rK1(mr),r=−x2>0. (A forma com K1 está calculada na derivação do propagador.) É real, positiva e sem oscilação.

Tipo-tempo e o que sobra no lugar do cone Para x2>0 o argumento r vira imaginário, r=±ix2, e K1 passa a uma função de Hankel: aparecem as oscilações e∓imx2, e o iϵ escolhe o sinal. Só aí há continuação. Do lado euclidiano, a influência decai e o raio que faz as vezes do cone é ξ=1/m. Com m=1: GE(5)/GE(1)=K1(5)/(5K1(1))=0,00404/(5×0,6019)=1,34×10−3.

Resultado. O cone fecha quando tan⁡φ=cos⁡2θ→0 em θ=45∘. Para x2<0, DF(x)=GE(−x2) exatamente: a região fisicamente tipo-espaço já era euclidiana. Em r=5/m a correlação já caiu a 0,13% do valor em r=1/m.