Rotação de Wick: o que uma substituição faz

Troque o tempo real por tempo imaginário, t→−iτ, e observe o que acontece: a integral de caminho passa a convergir, a métrica de Minkowski vira euclidiana, eiS vira e−SE — que é o peso de Boltzmann — e um tempo imaginário periódico passa a significar temperatura. Dessa última linha caem, sem nenhum esforço adicional, a temperatura de Hawking, o efeito Unruh e a termodinâmica de buracos negros. Esta página segue esse fio do começo ao fim, com cada afirmação conferida numericamente.

Existe um truque na física teórica que parece contabilidade e é muito mais que isso: fingir que o tempo é um número imaginário. Feito isso, contas impossíveis viram possíveis, e — sem que ninguém tenha pedido — aparecem temperatura e termodinâmica onde antes só havia mecânica quântica.

O resultado mais espetacular: buracos negros são quentes, e a temperatura deles sai de exigir que uma figura geométrica não tenha bico. Esta página persegue essa única substituição por todas as suas consequências.

A mecânica quântica de campos é escrita com um peso eiS/ℏ — um número de módulo 1, que só gira. Isso é ótimo para interferência e péssimo para convergência: a integral funcional de Feynman, tomada literalmente, não converge. A rotação de Wick conserta isso trocando a fase por um amortecimento, e no caminho reorganiza metade da física teórica.

Fotografe um ventilador girando com obturador rápido e você vê as pás paradas em posições aleatórias — cada foto é diferente, e somar mil fotos não converge para nada útil. Agora abra o obturador por dez segundos: as pás se borram num disco liso, sempre o mesmo disco, e a informação sobre a geometria do ventilador está toda lá.

A integral de Minkowski é o obturador rápido: cada caminho contribui com uma fase que gira, e a soma tremula. A euclidiana é a exposição longa: cada caminho contribui com um peso positivo que decai, e a soma assenta. E ninguém perdeu informação — dá para reconstruir a foto rápida a partir da longa, que é exatamente o que a continuação analítica de volta faz.

Uma partícula de massa m num potencial V(x), com ℏ=1. Mostramos que t=−iτ troca o peso de fase eiS por e−SE, que a amplitude euclidiana é uma soma de exponenciais reais em En e que, para τ longo, sobra o estado fundamental. O oscilador harmônico fornece um número para conferir.

A ação com t=−iτ Com t=−iτ temos dt=−i dτ e dxdt=i dxdτ, logo (dxdt)2=−(dxdτ)2. Na ação S=∫dt [12mx˙2−V]: iS=i∫(−i dτ)[−12m x′2−V]=−∫dτ[12m x′2+V(x)]≡−SE,x′=dxdτ. O sinal do termo cinético trocou e SE é a energia do caminho tratado como uma corda elástica: a mesma conta de ação euclidiana para campos.

O lado operatorial A evolução e−iHT com T=−iTE vira e−HTE. A integral de caminho dá ⟨xf∣e−HTE∣xi⟩=∫Dx e−SE[x],x(0)=xi, x(TE)=xf. Em Minkowski cada caminho entra com módulo 1; aqui entra com peso e−SE∈(0,1] (por que isso converge).

Expansão espectral Com Hψn=Enψn, ∑n∣ψn⟩⟨ψn∣=1: ⟨xf∣e−HTE∣xi⟩=∑nψn(xf)ψn∗(xi) e−EnTE. Em tempo real as parcelas são e−iEnT: fases que interferem. Em tempo imaginário são exponenciais reais, ordenadas por energia.

Dominância do fundamental Pondo e−E0TE em evidência e Δ=E1−E0 (o gap): ⟨xf∣e−HTE∣xi⟩=e−E0TE[ψ0(xf)ψ0∗(xi)+O(e−ΔTE)] → TE→∞ ψ0(xf)ψ0∗(xi) e−E0TE. O tempo euclidiano longo funciona como um filtro: cada estado excitado é suprimido por e−(En−E0)TE. É por isso que a rede mede propriedades do vácuo.

Oscilador: a soma exata em xi=xf=0 Para V=12mω2x2, En=(n+12)ω. Em x=0 só os estados pares n=2k têm ψn(0)≠0, e com H2k(0)=(−1)k (2k)!/k!: ψ2k(0)2ψ0(0)2=H2k(0)222k(2k)!=(2k)!4k(k!)2=(2kk)4−k. Com z=e−2ωTE, e usando ∑k(2kk)(z/4)k=(1−z)−1/2: ⟨0∣e−HTE∣0⟩ψ0(0)2e−ωTE/2=∑k(2kk)(e−2ωTE4)k=11−e−2ωTE.

Resultado. eiS→e−SE com SE=∫dτ [12mx′2+V], e ⟨xf∣e−HTE∣xi⟩→ψ0ψ0∗ e−E0TE com correção relativa ∼e−ΔTE. Conferência numérica (soma de Hermite até n=60 e fórmula fechada coincidem): em ωTE=2 a razão é 1/1−e−4=1,00929, isto é, só 0,93% acima do termo do fundamental; o primeiro estado par excitado (n=2) entra com peso 12e−2ωTE.