Funções de Green, LSZ e a matriz S

As funções de Green codificam toda a dinâmica; a redução LSZ as conecta à matriz S — a ponte final entre o formalismo e os processos medidos.

Funções de Green e funcionais geradores

Três funcionais, três tipos de diagrama. Z[J] gera todos os diagramas, inclusive os desconectados. Tirar o logaritmo, W=−iln⁡Z, deixa só os conexos (exponencial de conexos = todos). A transformada de Legendre Γ[φ], a ação efetiva, gera os 1PI: os que não se separam cortando uma única linha. É a peça que corrige a ação clássica pelos efeitos quânticos: Γ=S+ℏ (1 loop)+… Seu mínimo dá o vácuo verdadeiro.

Fórmula de redução LSZ

Mostramos, para uma perna externa, que o operador de criação (ou aniquilação) assintótico é uma integral de (□+m2)ϕ; daí sai o fator iZϕ−1/2(□+m2) da fórmula LSZ. Escalar real, [ap,aq†]=(2π)32Ep δ3(p−q), p⋅x=Et−p⋅x, Ep=p2+m2. Usamos a hipótese assintótica ϕ→Zϕ ϕin/out do texto.

Extrair ap do campo livre Com ϕ=∫d3q(2π)32Eq(aqe−iq⋅x+aq†eiq⋅x) e f∂0↔g=f ∂0g−(∂0f) g: ap=i∫d3x eip⋅x∂0↔ ϕ(x). Conferência: o termo aq dá i⋅(−i)(Eq+Ep)ei(Ep−Eq)t∫d3x e−i(p−q)⋅x=(Eq+Ep)(2π)3δ3(p−q) e o resultado é ap; o termo aq† tem fator (Eq−Ep) com q=−p, isto é, zero. A expressão não depende de t para campo livre.

Diferença entre t=+∞ e t=−∞ Para o campo interagente, defina ap(t)=iZϕ∫d3x eip⋅x∂0↔ϕ, que tende a ain em t→−∞ e a aout em t→+∞. Então apout−apin=∫dt ∂tap(t)=iZϕ∫d4x ∂0(eip⋅x∂0ϕ−iEp eip⋅xϕ)=iZϕ∫d4x eip⋅x(∂02+Ep2)ϕ, pois os termos iEp eipx∂0ϕ se cancelam e (iEp)(−iEp)=Ep2.

Integrar por partes no espaço Ep2=p2+m2 e p2eip⋅x=−∇2eip⋅x. Passando ∇2 para ϕ (os termos de superfície se anulam em pacotes de onda localizados): apout−apin=iZϕ∫d4x eip⋅x(∂02−∇2+m2)ϕ=iZϕ∫d4x eip⋅x (□+m2)ϕ.

A partícula que entra Para uma partícula entrando, ∣α,p in⟩=apin†∣α in⟩. Somando e subtraindo apout†, a parte conexa (o termo com aout† só reproduz p no estado final e é desconexo) fica ⟨β out∣α,p in⟩c=−⟨β∣(apout†−apin†)∣α⟩=iZϕ∫d4x e−ip⋅x ⟨β out∣(□+m2)ϕ(x)∣α in⟩, pois (aout−ain)†=−iZϕ∫e−ip⋅x(□+m2)ϕ. É o fator iZϕ−1/2e−ip⋅x(□+m2) da fórmula, e o procedimento se repete por perna (com e+ik⋅y nas que saem).

Por que "amputa": o campo livre e o polo No campo livre, (□x+m2)DF(x−y)=−iδ4(x−y) (em momento, −(p2−m2)⋅i/(p2−m2)). Então a LSZ da função de dois pontos livre dá i∫d4x e−ip⋅x(−i)δ4(x−y)=e−ip⋅y=⟨0∣ϕ(y)∣p⟩: a função de onda da partícula. No caso interagente, perto de p2=m2 o propagador completo é iZϕ/(p2−m2) e o operador −(p2−m2) cancela o polo: iZϕ⋅[−(p2−m2)]⋅iZϕp2−m2=Zϕ. Cada perna externa deixa um fator Zϕ multiplicando a função de Green amputada: M=(Zϕ)n+m× (amputada).

Resultado. apout−apin=iZϕ∫d4x eip⋅x(□+m2)ϕ, logo cada perna externa traz iZϕ−1/2∫d4x e∓ip⋅x(□+m2), e a amplitude é (Zϕ)n+m vezes a função de Green amputada. Teste: com Zϕ=1 e ϕ livre, a regra devolve e−ip⋅y, a onda plana de uma partícula. A origem de Zϕ como resíduo do polo está na representação de Källén–Lehmann, mais abaixo nesta seção.

Para férmions usa-se (i∂̸−m) e espinores u,v; para bósons vetoriais, contrai-se com ϵμ(k,λ). Cada perna externa contribui um fator Z−1/2.

À esquerda, a função de 4 pontos: um miolo de interação (o círculo) e quatro pernas externas, cada uma um propagador completo iZ/(p2−m2)+… (com a nuvem de correções). A LSZ multiplica cada perna por (p2−m2), que cancela o propagador: a perna é amputada e sobra o miolo, a amplitude M. À direita, o propagador de uma perna em função de p2: ele explode no polo p2=m2, que é onde a partícula é real. O resíduo Z é a probabilidade de o campo criar exatamente uma partícula; cada perna contribui com Z.

A matriz S e a amplitude 𝓜

Síntese: o papel dual da integral de caminho

Derivação: campos assintóticos e o resíduo Z

A fórmula de Lehmann-Symanzik-Zimmermann é a ponte rigorosa entre as funções de correlação que sabemos calcular e as amplitudes físicas que medimos.

Campos in/out e a hipótese assintótica

A hipótese assintótica. Longe da colisão, no passado e no futuro remotos, as partículas estão separadas e se comportam como livres. O campo que interage, ϕ, se aproxima então de campos livres ϕin e ϕout, que sabemos expandir em a e a†. O fator Zϕ aparece porque o campo interagente, agindo no vácuo, não cria só uma partícula: com probabilidade 1−Zϕ cria estados de várias partículas (a nuvem de partículas virtuais). O limite é fraco (vale para elementos de matriz, não para os operadores).

O texto afirma que ∫d4x eip⋅x⟨0∣Tϕ(x)ϕ(0)∣0⟩ tem, perto de p2=m2, um polo simples iZϕ/(p2−m2) mais uma parte regular. Derivamos isso, e que 0<Zϕ≤1, de duas hipóteses apenas: invariância de Poincaré e positividade da energia. Escalar real ϕ, com estados ∣n⟩ completos e normalizados por ⟨p∣q⟩=(2π)32E δ3(p−q).

Inserir um conjunto completo Por translação, ⟨0∣ϕ(x)∣n⟩=e−ipn⋅x⟨0∣ϕ(0)∣n⟩. Para x0>0: ⟨0∣ϕ(x)ϕ(0)∣0⟩=∑n∣⟨0∣ϕ(0)∣n⟩∣2 e−ipn⋅x=∫d4q(2π)3 ρ(q) e−iq⋅x, com ρ(q)=(2π)3∑nδ4(q−pn) ∣⟨0∣ϕ(0)∣n⟩∣2≥0.

ρ só depende de q2 ϕ é escalar e o vácuo é invariante, então ρ é invariante de Lorentz. Como pn está no cone futuro (energia positiva), ρ(q)=θ(q0) ρ(q2). Escrevendo ρ(q2)=∫dμ2 δ(q2−μ2)ρ(μ2) e ∫d4q θ(q0)δ(q2−μ2)=∫d3q2Eq: ⟨0∣ϕ(x)ϕ(0)∣0⟩=∫0∞dμ2 ρ(μ2)∫d3q(2π)32Eq e−iq⋅x∣q2=μ2=∫0∞dμ2 ρ(μ2) D+(x;μ2), onde D+(x;μ2) é a função de Wightman do campo livre de massa μ.

Ordenamento temporal O mesmo vale para x0<0 com x→−x. Para cada massa μ, θ(x0)D+(x)+θ(−x0)D+(−x) é o propagador de Feynman livre, ∫d4p(2π)4i e−ip⋅xp2−μ2+iϵ. Logo ∫d4x eip⋅x⟨0∣Tϕ(x)ϕ(0)∣0⟩=∫0∞dμ2 i ρ(μ2)p2−μ2+iϵ.

Separar o estado de uma partícula O estado ∣p⟩ de uma partícula de massa física m contribui a ρ com um delta: ρ(μ2)⊃Zϕ δ(μ2−m2), onde Zϕ=∣⟨0∣ϕ(0)∣p⟩∣2. Os estados de duas ou mais partículas começam em μ2≥M2>m2 (limiar do contínuo): ∫d4x eip⋅x⟨Tϕϕ⟩=iZϕp2−m2+iϵ+∫M2∞dμ2 i ρcont(μ2)p2−μ2+iϵ. O segundo termo é regular em p2=m2: é a "parte regular" do texto, e Zϕ é o resíduo do polo.

A regra de soma e Zϕ≤1 Pelo passo 2, em tempos iguais ⟨0∣[ϕ(x),ϕ˙(0)]∣0⟩=∫dμ2 ρ(μ2) ⟨[ϕ,ϕ˙]⟩μ, e cada campo livre de massa μ tem o mesmo comutador [ϕ(x),ϕ˙(0)]=iδ3(x), independente de μ. Por outro lado, o comutador canônico da teoria completa (π=ϕ˙) é também iδ3(x). Igualando os dois: ∫0∞dμ2 ρ(μ2)=1 ⇒ Zϕ=1−∫M2∞dμ2 ρcont(μ2)≤1. Zϕ=1 só se não há contínuo, isto é, se a teoria é livre.

Resultado. ∫d4x eipx⟨Tϕϕ⟩=∫dμ2iρ(μ2)p2−μ2+iϵ, ρ≥0, com ρ=Zϕδ(μ2−m2)+ρcont e ∫ρ=1. Daí o polo de resíduo Zϕ=∣⟨0∣ϕ∣p⟩∣2∈(0,1] e o corte de ramificação a partir do limiar multipartícula. Teoria livre: ρ=δ(μ2−m2), Zϕ=1.

Generalização: férmions e bósons vetoriais

A teoria de espalhamento da mecânica quântica (seção de choque, aproximação de Born, ondas parciais e o teorema óptico) está em espalhamento.