O dicionário: TQC euclidiana = mecânica estatística

Depois da rotação, a fórmula da teoria quântica de campos e a fórmula da física estatística ficam idênticas — mesma estrutura, mesmos símbolos, nomes diferentes. Não é uma semelhança poética: é a mesma equação.

Por isso ideias de um lado migram para o outro sem tradução. O grupo de renormalização nasceu em transições de fase e foi para partículas; o modelo de Ising e a teoria ϕ4 são, no ponto crítico, a mesma coisa.

Compare as duas expressões centrais lado a lado:

Massa ↔ inverso do comprimento de correlação. A função de dois pontos euclidiana de uma teoria massiva cai como

Ou seja: o alcance da correlação é ξ=1/m. Uma teoria com gap de massa é um sistema estatístico desordenado, onde a influência de um ponto morre exponencialmente. Uma teoria sem massa é um sistema no ponto crítico, onde a correlação alcança o sistema inteiro e aparecem as leis de potência.

Daí o fato que dá arrepio na primeira vez: medir o expoente crítico da água no ponto crítico é medir a dimensão anômala de um operador numa teoria de campos — a mesma CFT de Ising 3D cujos números o bootstrap conforme calcula.

Português e espanhol compartilham estrutura o bastante para que um falante de um leia o outro com pouco esforço — mas ainda são línguas distintas, com falsos amigos. TQC euclidiana e mecânica estatística não são assim: é a mesma língua com dois dicionários. Toda frase de uma tem tradução exata, palavra por palavra, na outra.

O resultado prático é que descobertas atravessam de graça. Wilson ganhou o Nobel por levar o grupo de renormalização das transições de fase para a física de partículas. Os expoentes críticos que engenheiros medem em fluidos são as dimensões conformes que teóricos de cordas calculam. E a QCD na rede — o método mais confiável de calcular hádrons — é, literalmente, um modelo de spins num cristal de quatro dimensões.

Duas armadilhas. (1) Dimensões. Uma TQC em d dimensões de espaço-tempo vira mecânica estatística em d dimensões espaciais. A QCD em 3+1 é um sistema estatístico em 4 dimensões espaciais — não em 3.

(2) Temperatura. Há duas temperaturas na conversa e elas não são a mesma. A da tabela acima (ℏ↔kBT) é a que mede flutuações quânticas. A temperatura física do sistema quântico é outra coisa: aparece quando o tempo euclidiano é compactificado, e é o assunto da próxima seção. Confundir as duas é o erro mais comum da área.

A correspondência não é uma analogia frouxa; ela se demonstra discretizando τ em passos a. A integral de caminho euclidiana num intervalo a define um operador — a matriz de transferência:

Em mecânica estatística T^ é a mesma matriz de transferência de Ising: um objeto que leva uma fatia da rede na seguinte. Aqui ela é a evolução em tempo imaginário. As duas coisas são o mesmo operador, e isso é o teorema.

Insira agora uma base de autoestados de H^ no correlador de dois pontos:

O decaimento a longa distância é governado só pelo primeiro estado excitado. Ou seja

Daí sai a afirmação que reorganiza a área inteira. Para ter um limite contínuo é preciso ξ/a→∞, isto é, comprimento de correlação infinito em unidades de rede — que é exatamente a definição de um ponto crítico de segunda ordem. Renormalização em TQC e fenômenos críticos em matéria condensada não são parecidos: são a mesma matemática lida em duas direções. Um limite contínuo de uma teoria de campos na rede é uma transição de fase contínua, e os expoentes críticos de um ímã são as dimensões anômalas de uma TQC.

O peso euclidiano é uma medida de probabilidade — e ela tem nome

Vale insistir num ponto que é fácil ler rápido demais. Dizer que e−SE é positivo não é dizer só que a integral converge: é dizer que ele define uma distribuição de probabilidade sobre caminhos. E essa distribuição já era conhecida dos matemáticos muito antes de Feynman, com outro nome — a medida de Wiener, que descreve o movimento browniano. Separe a ação em duas partes:

A fórmula de Feynman-Kac diz exatamente isso: a integral de caminho euclidiana é uma média sobre trajetórias brownianas, reponderadas por e−∫V. Não é uma analogia com difusão — é difusão, em tempo imaginário.

Um bêbado sai do poste e dá passos aleatórios. Depois de τ segundos ele está tipicamente a τ do poste — não a τ, como estaria se andasse em linha reta. É a assinatura de todo passeio aleatório, e é o motivo de o caminho dele ser um zigue-zague: entre dois instantes quaisquer, por mais próximos, ele mudou de direção.

Agora acenda um holofote no poste que penalize quem se afasta. O bêbado continua zigue-zagueando, mas passa a ficar por perto. O holofote é o potencial V; o zigue-zague é a medida de Wiener; e a distribuição resultante é a função de onda do estado fundamental ao quadrado. Um oscilador quântico em equilíbrio térmico é literalmente um bêbado num holofote — e o Monte Carlo euclidiano da seção seguinte simula um.

O mesmo ⟨x2⟩ de um oscilador a temperatura T sai por três métodos sem nada em comum: a forma fechada coth⁡(βω/2)/2mω (Lab 13), a soma sobre a torre de frequências de Matsubara (Lab 09) e uma média sobre caminhos aleatórios sorteados com peso e−SE (o Monte Carlo euclidiano). Com m=1, ω=1,4 e β=2,6 as duas primeiras dão 0,376400079; a média de Monte Carlo converge para o mesmo valor dentro do seu erro estatístico, que cai como 1/N.

A pergunta natural é por que não rodar o mesmo algoritmo com eiS e pular a rotação. A resposta é curta: eiS não é uma probabilidade, e não há de que amostrar. Mas mesmo a saída óbvia — amostrar de ∣eiS∣ e carregar a fase como observável — falha, e falha de um jeito quantificável.

Escreva o observável reponderado ⟨O⟩=⟨O eiθ⟩∣⋅∣/⟨eiθ⟩∣⋅∣. O denominador é uma média de números de módulo 1 que se cancelam:

com σ2 a variância da fase, que cresce proporcionalmente ao volume. O ruído estatístico, em compensação, cai apenas como 1/N. Para o sinal emergir do ruído é preciso

O custo é exponencial no volume. É esse o problema do sinal, e é ele que separa o que a rede sabe calcular do que ela não sabe: massas e matrizes de elementos estáticos, sim; QCD a densidade bariônica finita, um termo θ, ou qualquer coisa em tempo real, não. Repare que o problema não é de algoritmo nem de computador — é a mesma convergência condicional do Lab 01, reaparecendo trinta anos depois com roupa de estatística.

O dicionário diz que o comprimento de correlação é o inverso do gap, ξ=1/(E1−E0), e que Z=tr TN. Vemos isso no exemplo exato mais simples: a cadeia de Ising si=±1, com Z=∑{s}eK∑isisi+1, K=J/kBT. Ela é uma teoria quântica de um sistema de dois níveis em tempo euclidiano discreto.

Z como traço de potência Defina a matriz Tss′=eKss′ (peso de um elo). Então Z=∑s1⋯sNTs1s2Ts2s3⋯TsNs1=tr TN. Se T=e−aH, cada elo é um passo a de tempo euclidiano e N elos dão β=Na: Z=tr e−βH. T=(eKe−Ke−KeK).

Autovalores Os autovetores são (1,1)/2 (simétrico) e (1,−1)/2 (antissimétrico): λ0=eK+e−K=2cosh⁡K,λ1=eK−e−K=2sinh⁡K. Com λn=e−aEn, o gap é a(E1−E0)=ln⁡(λ0/λ1)=ln⁡coth⁡K.

A função de dois pontos Inserindo autovetores de T entre os fatores e tomando N→∞ (só λ0 domina), com σ a matriz diagonal diag(1,−1), que leva o autovetor simétrico no antissimétrico (∣⟨0∣σ∣1⟩∣=1) e tem ⟨0∣σ∣0⟩=0: ⟨s0sr⟩=∑n∣⟨0∣σ∣n⟩∣2(λnλ0)r=(λ1λ0)r=(tanh⁡K)r=e−r a(E1−E0). É o análogo discreto de ⟨ϕ(τ)ϕ(0)⟩=∑n∣⟨0∣ϕ∣n⟩∣2e−(En−E0)τ, com um só termo.

O comprimento de correlação ξ=1ln⁡coth⁡K(em unidades da rede),⟨s0sr⟩∝e−r/ξ. Para K→∞ (baixa temperatura), ln⁡coth⁡K≈2e−2K e ξ≈e2K/2→∞: o gap fecha em unidades da rede. Isso é o limite contínuo da teoria quântica, ξ/a→∞, a que o texto chama de ponto crítico (aqui em T=0).

Número Com K=1: coth⁡1=1,31304, ln⁡coth⁡1=0,27236, logo ξ=3,672 sítios (a aproximação e2K/2=3,695 já está a 0,6%). Uma cadeia fechada de N=14 spins, enumerada à força bruta, tem ⟨s0s1⟩=0,7735, igual a (t+tN−1)/(1+tN) com t=tanh⁡K, que tende a t=0,7616 quando N→∞.

Resultado. Para Ising 1D, Z=tr TN com λ0,1=2cosh⁡K, 2sinh⁡K; o gap da "hamiltoniana" é aΔ=ln⁡coth⁡K e ξ=1/Δ em unidades da rede, como no dicionário (massa ↔1/ξ). Em K=1, ξ=3,67.