Simulando em tempo imaginário

Feita a rotação, o peso e−SE/ℏ é positivo e normalizável: uma distribuição de probabilidade sobre histórias. Dá para sorteá-las e medir médias, e para ℏ pequeno a mesma integral é dominada pelos pontos de sela.

Em vez de somar todas as histórias possíveis (impossível), sorteamos histórias com a probabilidade certa e tiramos a média. É o que a física estatística faz com moléculas de um gás, e é o que a QCD na rede faz com campos de glúons em supercomputadores. Abaixo, o caso em que dá para conferir tudo: um oscilador.

Do tempo imaginário a uma simulação de verdade

Com peso positivo, a integral de caminho vira um problema de mecânica estatística: sorteamos histórias com probabilidade ∝e−SE/ℏ e medimos médias. O widget abaixo faz isso ao vivo para o oscilador harmônico, onde a resposta exata é conhecida: o histograma das posições reconstrói ∣ψ0(x)∣2 e ⟨x2⟩ confere com o valor exato na rede. A QCD na rede é este mesmo algoritmo, com campos SU(3) em quatro dimensões e supercomputadores.

Depois da rotação de Wick, cada história x(τ) tem peso positivo e−SE/ℏ, com SE=∑k[(xk+1−xk)22a+a2ω2xk2] numa rede de N=48 instantes e passo a=0,5. O algoritmo de Metropolis propõe mudar um xk e aceita com probabilidade min⁡(1,e−ΔSE). Em cima, a história atual (branca) e as anteriores. Embaixo, o histograma de todas as posições visitadas converge para ∣ψ0(x)∣2, o estado fundamental, comparado com o resultado exato na rede. A energia vem do teorema do virial, E0=ω2⟨x2⟩. É o mesmo algoritmo da QCD na rede, só que com uma partícula em vez de campos em 4D.

O widget mede ⟨x2⟩ por Monte Carlo e o texto diz que ⟨x2⟩→ℏ/2mω quando o tempo euclidiano é longo. Derivamos o valor exato na rede de N pontos e espaçamento a (β=Na, contorno periódico), que é a referência do histograma, e tomamos o limite contínuo. Unidades ℏ=1.

A ação na rede Com τj=ja e xj=x(τj): SE=∑j=1N[m2a(xj+1−xj)2+ma ω22 xj2],xN+1≡x1. É quadrática: o peso e−SE é uma gaussiana multivariada.

Modos de Fourier Com xj=N−1/2∑kx~k eikj, k=2πn/N, x~−k=x~k∗, a soma de diferenças vira ∑j(xj+1−xj)2=∑k∣x~k∣2 2(1−cos⁡k) e SE=m2a∑kDk ∣x~k∣2,Dk=2(1−cos⁡k)+a2ω2. Os modos desacoplam. O termo cinético 2(1−cos⁡k) é a versão de rede de a2k2.

Variância de cada modo Cada modo tem peso exp⁡[−(m/2a)Dk∣x~k∣2] (por componente real), de variância ⟨∣x~k∣2⟩=am Dk (equipartição: ∫y2e−αy2/2/∫e−αy2/2=1/α). Por invariância de translação, ⟨xj2⟩=1N∑k⟨∣x~k∣2⟩: ⟨x2⟩rede=1N∑kam[2(1−cos⁡k)+a2ω2].

N→∞ (tempo euclidiano longo) A soma vira ∫−ππdk2π. Com c=2+a2ω2 e ∫dk2π1c−2cos⁡k=1c2−4, onde c2−4=a2ω2(4+a2ω2): ⟨x2⟩=am⋅1aω4+a2ω2=1mω4+a2ω2.

Limite contínuo Para aω→0, 4+a2ω2→2: ⟨x2⟩ → a→0 12mω=ℏ2mω=⟨0∣x^2∣0⟩. O mesmo resultado do operador x^=ℏ/2mω (a+a†) no estado fundamental. Com β finito aparece o fator coth⁡(βℏω/2), que aqui vale 1+2e−24 para β=24.

Resultado. Na rede, ⟨x2⟩=1N∑kam[2(1−cos⁡k)+a2ω2]→1mω4+a2ω2→ℏ2mω. Com m=ω=1, a=0,5, N=48 (os parâmetros do widget): a soma exata dá 0,485071 e a fórmula 1/4,25=0,485071; o limite contínuo é 0,5, e a diferença de 3% é o erro de rede O(a2), não ruído estatístico.

Ponto de sela e expansão semiclássica