A ação euclidiana e o funcional gerador

Fazendo a substituição na conta inteira, o expoente imaginário vira real e negativo. O peso de cada configuração de campo deixa de ser uma seta girando e passa a ser um número entre 0 e 1 — uma probabilidade.

Configurações de ação alta ficam raras; a de ação mínima domina. É exatamente como funciona a física estatística, e não por analogia.

Tome o escalar real. Em Minkowski a lagrangiana é L=12(∂μϕ)2−12m2ϕ2−V(ϕ), com o termo cinético trazendo ϕ˙2−(∇ϕ)2. Substituindo t=−iτ, temos ∂t=i∂τ e dt=−i dτ:

Compare os dois termos cinéticos:

Em Minkowski o tempo entra com sinal oposto ao espaço — é o que dá o cone de luz e é o que impede a ação de ter um mínimo. Em euclidiano tudo entra com o mesmo sinal, e para um potencial limitado por baixo a ação é positiva definida:

Essa desigualdade é o que autoriza tudo o que vem depois: peso positivo, medida de probabilidade, Monte Carlo, desigualdades de correlação, teoremas de existência.

O funcional gerador das funções de Schwinger é

e para uma ação quadrática a integral é literalmente uma gaussiana em dimensão infinita:

Aquele (det⁡K^)−1/2 não é um detalhe de normalização — é toda a física de um laço. Escrevendo det⁡K^=exp⁡tr⁡ln⁡K^, a energia de vácuo fica

uma soma sobre todos os autovalores do operador — divergente, e é aí que entram os métodos da seção Regularização: como extrair um número finito de uma soma infinita (zeta, heat kernel). O efeito Casimir, a energia de ponto zero, as correções de um laço e a entropia de buracos negros são todos avaliações desse mesmo determinante em geometrias diferentes.

Férmions: o sinal que não sobrevive

Para o campo de Dirac, a ação euclidiana é SE=∫d4x ψˉ(∂̸E+m)ψ, com gamas euclidianas satisfazendo {γμE,γνE}=2δμν. Integrando os campos de Grassmann sai um determinante no numerador:

Aqui mora uma dificuldade honesta: com potencial químico μ≠0, det⁡M^ deixa de ser real positivo, o peso deixa de ser probabilidade, e o Monte Carlo quebra. É o problema do sinal, e é a razão de o diagrama de fases da QCD a densidade finita continuar em aberto — não por falta de teoria, mas por falta de método numérico.

O texto diz que (det⁡K)−1/2 é a física de um laço e que E0=12trln⁡K=12∑nln⁡λn. Verificamos no caso mais simples, um oscilador (campo livre com um só modo), m=ℏ=1: SE=∫dτ 12(x′2+ω2x2), operador K=−∂τ2+ω2. Esperamos E0=ω/2.

Cada autovalor dá uma gaussiana Discretize τ e diagonalize K em autovalores λn>0. Então SE=12∑nλnyn2 e, como ∫dy e−λy2/2=2π/λ, Z=∫Dx e−SE ∝ ∏nλn−1/2=(det⁡K)−1/2=exp⁡[−12∑nln⁡λn]=e−12trln⁡K. (As constantes 2π são absorvidas na medida.)

Autovalores e o traço As autofunções de K são ondas planas eikτ, com autovalor λ(k)=k2+ω2. O traço sobre o tempo, num intervalo longo T, é ∑n→T∫dk2π: ln⁡Z=−T2∫−∞∞dk2π ln⁡(k2+ω2)+const.

Identificar E0 Pela dominância do fundamental, Z∼e−E0T para T longo. Logo E0=12∫−∞∞dk2π ln⁡(k2+ω2). A integral diverge, mas a divergência não depende de ω (comportamento ln⁡k2 em k→∞). A dependência em ω é finita: derive.

Derivar em ω2 dE0dω2=12∫−∞∞dk2π 1k2+ω2=12⋅12π⋅πω=14ω. Como ddω2ω2=12⋅12ω=14ω, integrando em ω2: E0(ω)=ω2+c, com c uma constante independente de ω (a divergência), que não é observável e é eliminada medindo-se energias a partir do mesmo cálculo em outro ω.

Campo livre: um modo por k Um campo escalar é um oscilador por momento, ωk=k2+m2, então E0=12∑kωk: a energia de ponto zero, divergente, tratada pelos métodos de regularização (zeta, núcleo de calor) e origem do efeito Casimir.

Resultado. E0=12 trln⁡K ⇒ E0(ω)−E0(ω′)=12(ω−ω′): a energia de ponto zero 12ℏω sai do determinante gaussiano. Conferência numérica, ω=2,5 e ω′=1: 12∫dk2πln⁡k2+6,25k2+1=0,75000, igual a (2,5−1)/2.