Instantons e o bounce de Coleman

Tunelamento é um processo proibido classicamente: a partícula não tem energia para passar a barreira, então não existe trajetória. Isso torna o cálculo desagradável — não há nada em torno de que expandir.

Em tempo imaginário o potencial vira de cabeça para baixo, a barreira vira um vale, e a travessia proibida vira uma trajetória clássica perfeitamente comum. A probabilidade de tunelamento passa a ser e−B, com B a ação dessa trajetória. É um dos truques mais rentáveis da física teórica.

Com t→−iτ, a equação de movimento x¨=−V′(x) vira

que é a equação de uma partícula no potencial invertido −V. Uma barreira em V é um vale em −V, e atravessá-la deixa de ser proibido. A solução que faz isso — sai do falso vácuo, atravessa e volta — chama-se bounce.

Para o decaimento do falso vácuo em teoria de campos, Coleman mostrou que a configuração dominante tem simetria O(4), dependendo só de r=τ2+x2, e obedece

O termo 3/r é literalmente um atrito que decai com o tempo — e o problema vira mecânico: soltar uma bola em repouso na encosta de −V, de tal altura que ela chegue ao outro topo com velocidade exatamente zero. Solte alto demais e ela passa direto (overshoot); baixo demais e ela volta (undershoot). Existe uma e só uma altura certa — e essa existência é o teorema de Coleman.

Quando a diferença de energia ϵ=V(ϕ+)−V(ϕ−) entre os dois vácuos é pequena, o bounce é uma bolha de raio R grande com parede fina. A ação separa em superfície menos volume:

Extremizando em R:

Repare no que a competição significa fisicamente: bolhas pequenas não compensam — a parede custa mais do que o interior ganha. Só acima do raio crítico R a bolha cresce. É exatamente a nucleação de uma gota numa transição de fase de primeira ordem, e a fórmula é a mesma.

O laboratório integra a equação do bounce por Runge-Kutta e bissecta o valor inicial ϕ(0) até separar overshoot de undershoot. Os extremos do potencial são localizados numericamente — a inclinação desloca os mínimos, e usar ±a daria a resposta errada.

Diminua a inclinação e acompanhe as duas últimas linhas do readout: o raio numérico converge para 3σ/ϵ (chega a 99,4%) e a ação para 27π2σ4/2ϵ3 (chega a 97,7%). Parede fina é um limite, não uma identidade — ela vale quando o raio fica muito maior que a espessura da parede, e o laboratório mostra a aproximação melhorando monotonicamente. Suba a inclinação até 0,5 e algo mais acontece: os dois mínimos se fundem, o falso vácuo deixa de existir, e não há mais nada de que decair.

Vapor supersaturado "quer" virar líquido, mas não vira sozinho: uma gotícula minúscula tem muita superfície para pouco volume, e a tensão superficial a destrói antes que ela cresça. Só quando uma flutuação produz, por acaso, uma gota acima do raio crítico é que o volume passa a compensar e ela cresce sem parar.

O falso vácuo é o vapor supersaturado. Se o nosso vácuo eletrofraco for metaestável — e as medidas da massa do top e do Higgs deixam essa possibilidade aberta — então em algum lugar do universo uma bolha do vácuo verdadeiro pode nuclear e se expandir à velocidade da luz. A vida útil estimada é muito maior que a idade do universo, o que é reconfortante; mas repare que o cálculo dessa vida útil é exatamente este laboratório.

Três resultados sustentam a fórmula Γ/V∼Ae−B, e cada um responde a uma pergunta diferente.

1 · Por que só r. Coleman, Glaser e Martin provaram que a solução de menor ação é invariante por O(4) — depende apenas de r=τ2+∣x∣2. Isso não é uma hipótese de conveniência, é um teorema, e reduz uma EDP em quatro variáveis a uma EDO. O 3ϕ′/r que aparece é simplesmente o laplaciano radial em 4D: matematicamente é um atrito que decai com o tempo, e é essa analogia mecânica que torna o problema resolúvel.

2 · Por que existe e é única. Leia r como tempo e ϕ como posição de uma partícula no potencial invertido −V, com atrito 3/r. Solte-a em repouso de ϕ0. Se ϕ0 está perto demais do vácuo verdadeiro, o atrito já morreu quando ela chega — ela passa do outro lado (overshoot). Se está longe demais, o atrito a mata antes e ela nunca chega (undershoot). Como as duas condições são abertas e a reta é conexa, existe pelo menos um ϕ0 na fronteira — e ele pousa exatamente no vácuo falso em r→∞. O Lab 14 executa essa bisseção literalmente.

3 · Por que isso é uma taxa e não uma energia. Expandindo em torno do bounce, o operador de flutuação −□+V′′(ϕb) tem exatamente um autovalor negativo. Um modo negativo faz a gaussiana daquela direção divergir; a continuação analítica correta produz um fator i, e a energia do vácuo falso ganha uma parte imaginária. Decaimento é exatamente isso: Γ=−2 Im E. Há ainda quatro modos zero, as translações do centro da bolha — integrá-los produz o volume, e é por isso que a fórmula dá taxa por unidade de volume. O prefator completo é

com a linha em det⁡′ marcando a exclusão dos modos zero. Um modo negativo a mais e o objeto não é um bounce — é um ponto de sela sem interpretação de decaimento.

O prefator: modos zero, modo negativo e determinantes

A fórmula Γ/V∼Ae−B só é útil se A for calculável. O prefator tem três origens independentes, e vale a pena separá-las, porque cada uma responde a uma pergunta diferente. Notação: ℏ=1, B=SE[ϕb], e K=−□+V′′(ϕb) o operador de flutuação em torno do bounce.

O prefator de Γ/V tem três origens independentes: os modos zero (translações), o modo negativo e o determinante dos modos restantes. Aqui vem a primeira, em d dimensões, porque o mesmo cálculo serve ao instanton da mecânica quântica (d=1), ao bounce de Coleman (d=4) e ao bounce térmico (d=3). Unidades ℏ=1; a ação é S[ϕ]=∫ddx [12(∂ϕ)2+V(ϕ)] e B=S[ϕb].

O problema: uma gaussiana que não converge Expanda em torno do bounce, ϕ=ϕb+∑ncnψn, com ψn as autofunções ortonormais do operador de flutuação K=−□+V′′(ϕb), Kψn=λnψn. A medida é Dϕ=∏ndcn/2π (o 2π é a convenção que faz ∫dc2πe−λc2/2=λ−1/2, de modo que cada autovalor contribui com λn−1/2, o determinante). Para um autovalor λn=0 a integral ∫dcn é divergente: o integrando é constante. O determinante ingênuo é zero, e a divergência é real, não um defeito de método.

Os modos zero existem porque a ação é invariante por translação A equação do bounce é −□ϕb+V′(ϕb)=0. Derive em relação a xμ: −□(∂μϕb)+V′′(ϕb) ∂μϕb=0⟺K ∂μϕb=0. Logo ∂μϕb, μ=1,…,d, são d autofunções com autovalor zero (normalizáveis, porque ϕb decai). Fisicamente, deslocar o centro do bounce por Xμ não muda a ação: S[ϕb(x−X)]=B para todo X.

A norma do modo zero: Derrick em d dimensões Precisamos de ∫ddx (∂μϕb)2 para cada μ. Por simetria O(d) o resultado é o mesmo para todos os μ, e a soma sobre μ é ∫(ϕb′)2ddx=2SK, com SK=∫12(∂ϕb)2 e SV=∫V. Aplique a escala ϕλ(x)=ϕb(x/λ): SK→λd−2SK, SV→λdSV. Como ϕb é ponto estacionário, ddλS[ϕλ]∣λ=1=0: (d−2)SK+d SV=0 ⟹ SV=−d−2dSK,B=SK+SV=2dSK. Portanto SK=dB/2 e ∫ddx (∂μϕb)2=1d⋅2SK=B(cada μ). O modo zero normalizado é ψμ=∂μϕb/B.

Trocar a integral sobre cμ por uma sobre a posição Uma translação Xμ muda o campo por δϕ=−Xμ∂μϕb=−XμB ψμ. O coeficiente do modo ψμ é, portanto, cμ=−B Xμ e dcμ=B dXμ (a ortogonalidade entre os modos zero e os demais vale a esta ordem; as correções são relativas O(ℏ)). Cada modo zero contribui com ∫dcμ2π=B2π∫dXμ. A divergência virou o volume do espaço onde o centro do bounce pode estar: é o fator extensivo que torna a taxa uma taxa por unidade de volume.

Conferência em d=1 e o caso d=4 Em d=1 (instanton do poço duplo, m=1) B=S0=∫xˉ˙2dτ e o fator é S0/2π ∫dτ0: é exatamente o fator usado na conta do poço duplo mais adiante. Em d=4, ∫d4X=V T (volume espacial vezes tempo euclidiano), e o produto dos quatro modos dá (B/2π)2 V T. A divisão por T na passagem E=−ln⁡Z/T deixa V.

Resultado. Os d modos zero translacionais contribuem com (B/2π)d/2 vezes o volume do espaço-tempo; em d=4, (B/2π)2 VT. O produto restante, det⁡′, exclui esses modos. Note que B é grande (B≫1 é a condição de validade semiclássica), então esse fator é grande: a medida das posições possíveis pesa muito.

O bounce é um ponto de sela, não um mínimo. Esta derivação mostra por que há ao menos um modo negativo, como ele transforma a energia do falso vácuo em um número complexo, e de onde sai o ½. Notação: λ0<0 é o autovalor negativo, c0 o coeficiente da autofunção correspondente.