Solitons: partículas topológicas

Diferente do instanton (um evento no tempo euclidiano), o soliton é um objeto espacial extenso: estático, de energia finita e estável por uma carga topológica. Não se dispersa.

Em geral um pacote de onda se espalha: suas componentes andam em velocidades diferentes. Um sóliton é uma onda que não se espalha, porque a não-linearidade da teoria compensa exatamente a dispersão. Os sólitons topológicos são ainda mais especiais: são “nós” no campo que não podem ser desfeitos sem gastar energia infinita.

O exemplo mais simples é o kink: com dois vácuos possíveis, +v e −v, um campo que vale −v à esquerda e +v à direita precisa passar por zero em algum lugar. Essa região de transição carrega energia, é localizada e se move como uma partícula. Para destruí-la seria preciso virar o campo de um dos lados até o infinito.

Simulação de ϕ4 em 1D, ϕ¨=ϕ′′−2ϕ(ϕ2−1), com 600 pontos. O kink ϕ=tanh⁡x liga os dois vácuos ±1 e não pode desaparecer: a carga topológica Q=12[ϕ(+∞)−ϕ(−∞)] é inteira e conservada. Embaixo, a densidade de energia: o kink é um caroço de energia localizado, com massa 4/3, que anda como uma partícula e sofre contração de Lorentz. Em colisões kink–antikink (Q=+1 e −1), acima de vc≈0,26 eles se refletem; abaixo, em geral se capturam num estado oscilante (bion) que irradia, com janelas de ressonância onde quicam duas vezes e escapam. No modo comparação, um pacote de onda comum (linear, sem topologia) se espalha e some.

Kink em 1+1 D

Em 1+1 dimensões, V(ϕ)=λ4(ϕ2−v2)2 tem dois mínimos, ±v. Procuramos a configuração estática de menor energia entre ϕ(−∞)=−v e ϕ(+∞)=+v e calculamos sua energia, que é a massa do kink. Unidades ℏ=c=1; o campo é clássico (ordem de árvore).

Energia estática Para ϕ=ϕ(x) a energia é E[ϕ]=∫dx [12ϕ′2+V(ϕ)]. Finita exige V→0 nos extremos, daí a condição de contorno nos dois vácuos. Pela rigidez da topologia, a carga Q=[ϕ(∞)−ϕ(−∞)]/2v=1 não muda por evolução contínua.

Equipartição (Derrick) Reescale ϕμ(x)=ϕ(μx). Em uma dimensão, ∫12(ϕμ′)2dx=μ Egrad e ∫V(ϕμ)dx=Epot/μ, de modo que E(μ)=μEgrad+Epot/μ. Estacionário em μ=1: Egrad=Epot. Ponto a ponto, a primeira integral de ϕ′′=V′(ϕ) com ϕ′→0 nos extremos dá 12ϕ′2=V.

Completar o quadrado Defina W(ϕ)=2V=λ/2 (v2−ϕ2) (positivo entre −v e v). Então 12ϕ′2+V=12(ϕ′−W)2+ϕ′ W. Logo E=12∫(ϕ′−W)2dx+∫ϕ′W dx≥∫−vvW(ϕ) dϕ: a cota de Bogomolny depende só dos extremos. A igualdade vale quando ϕ′=W.

Resolver a equação de primeira ordem ϕ′=λ/2 (v2−ϕ2) tem solução ϕ=vtanh⁡(κx), pois ϕ′=vκ sech2κx e v2−ϕ2=v2sech2κx, logo κ=λ2 v,ϕkink(x)=vtanh⁡ ⁣(λ2 v x). Ela satisfaz também a equação de movimento ϕ′′=V′(ϕ), porque minimiza E.

A massa M=∫−vvλ2 (v2−ϕ2) dϕ=λ2(2v3−23v3)=223λ v3. A massa das pequenas oscilações em torno de +v é m2=V′′(v)=2λv2. Eliminando v: M=m33λ, logo M/m=m2/3λ≫1 para λ≪1: o kink é pesado na teoria fraca, e M∝1/λ não vem de nenhuma série em λ. Em movimento com velocidade u, ϕ=vtanh⁡[γκ(x−ut)] e energia γM.

Resultado. ϕkink=vtanh⁡(λ/2 v x), M=223λ v3=m3/3λ, com a densidade 12ϕ′2=V em cada ponto. Conferência numérica (λ=v=1): integrando a densidade de energia do perfil em [−20,20] obtém-se M=0,942809, igual a 22/3=0,942809; aqui m=2 e m3/3λ=0,942809. Mesma cota de Bogomolny que no instanton, com o papel da carga topológica.

Três propriedades tornam o kink uma partícula legítima: tem massa (a energia total da região de transição, Mkink, finita), tem carga conservada (Q=±1, que nenhuma evolução contínua muda) e pode se mover, com contração de Lorentz da largura, ϕ=vtanh⁡[γ(x−ut)λ/2 v]. Repare que M∝v3λ=m3/λ cresce quando o acoplamento diminui: o sóliton é pesado na teoria fracamente acoplada, e nenhuma soma de diagramas de Feynman o produz.

Higgs abeliano: fluxo magnético quantizado. É o vórtice de Abrikosov dos supercondutores tipo II.

Em SU(2)→U(1): monopolo magnético (carga de Dirac). Inevitável em GUTs — sua ausência motiva a inflação.

Equações de 1ª ordem; massa exata protegida por supersimetria. Base de dualidades (Montonen-Olive, Seiberg-Witten).