Instantons e tunelamento

Um instanton é uma solução das equações euclidianas localizada no espaço e no tempo euclidiano (4D), de ação finita, que conecta vácuos topologicamente distintos e descreve tunelamento.

Exemplo: poço duplo

No potencial V=λ(x2−a2)2, classicamente a partícula fica presa num poço. A equação euclidiana é a de Minkowski com potencial invertido −V: uma partícula pode rolar de −a a +a, e essa trajetória é o instanton. Solte-a no widget.

Poço duplo V=λ(x2−1)2, resolvido de verdade (ℏ=m=1): os dois níveis mais baixos E0 e E1 são quase iguais, e a diferença ΔE é minúscula. À esquerda, em tempo real, um pacote que começa no poço esquerdo atravessa a barreira e volta, com período 2π/ΔE (o tempo está acelerado). À direita, em tempo euclidiano τ=it, o potencial fica de cabeça para baixo e a partícula rola de um topo ao outro: cada salto é um instanton, x(τ)=tanh⁡[ω(τ−τ0)/2], com ação S0=432λ. Saltos aparecem com taxa ∝e−S0, e somar esse gás diluído de instantons dá ΔE∝e−S0/ℏ: um efeito invisível em qualquer ordem da teoria de perturbações. Aumente a barreira e veja ΔE despencar e os saltos ficarem raros.

Instantons de Yang–Mills

O poço duplo tem um análogo exato em teoria de gauge: conexões euclidianas autoduais, com ação mínima 8π2∣k∣/g2 em cada setor topológico k∈π3(SU(2))=Z. A derivação abaixo prova a cota de Bogomolny, mostra por que a carga é inteira, constrói a solução BPST e chega aos vácuos θ; o tunelamento entre vácuos é suprimido por e−8π2/g2, o mesmo tipo de efeito invisível em perturbação que a escala Λ (grupo de renormalização).

Euclidiano, SU(2), campo com g absorvido (D=∂−iA), F hermitiano, S=12g2∫tr⁡(FμνFμν). A cota inferior para a ação em cada setor topológico, e por que ela tem a mesma forma e−8π2/g2 da escala Λ.

Dualidade de Hodge F~μν=12ϵμνρσFρσ. Em 4D euclidiano, F~~=F, e tr⁡(F~μνF~μν)=tr⁡(FμνFμν). Decomposição F=F++F−, F±=12(F±F~).

Bogomolny 0≤∫tr⁡(Fμν∓F~μν)2=2∫tr⁡FμνFμν∓2∫tr⁡FμνF~μν ⟹ ∫tr⁡F2≥∣∫tr⁡FF~∣.

A integral é topológica tr⁡(FμνF~μν)=∂μKμ, com Kμ a corrente de Chern–Simons (em formas: tr⁡F∧F=d tr⁡(A∧dA+23A∧A∧A) para A anti-hermitiano). Logo só importa o comportamento em ∣x∣→∞, onde ação finita exige F→0, isto é, A→−i(∂U)U−1 (gauge puro) com U:S∞3→SU(2)≅S3.

Quantização da carga k=116π2∫d4x tr⁡(FμνF~μν)=124π2∫S3ϵijktr⁡(U−1∂iU U−1∂jU U−1∂kU)∈Z (a menos de orientação): o grau da aplicação U, π3(SU(2))=Z. É a segunda classe de Chern c2 do fibrado.

A cota S=12g2∫tr⁡F2 ≥ 12g2⋅16π2∣k∣=8π2∣k∣g2, com igualdade sse F=±F~ (autodual ou anti-autodual). Essas soluções resolvem automaticamente Yang–Mills: DμFμν=±DμF~μν=0 pela identidade de Bianchi. Equação de primeira ordem resolvendo uma de segunda.

BPST (k=1) Com U(x)=x4+i x⋅σ∣x∣ (grau 1): Aμ=x2x2+ρ2 (−i ∂μU)U−1,tr⁡FμνFμν∝ρ4(x2+ρ2)4. Localizado num raio ρ arbitrário: a invariância de escala clássica deixa o tamanho livre. Parâmetros: 4 de posição, 1 de escala, 3 de orientação global = 8 = 8k para k=1 em R4 (enquadrado); em S4, dim⁡Mk=8k−3.

Tunelamento e vácuos θ No gauge temporal, os vácuos clássicos A=−i(∂U)U−1 são rotulados por n∈π3. Um instanton interpola n→n+k, com amplitude ∝e−8π2∣k∣/g2. Os autoestados de energia são ∣θ⟩=∑neinθ∣n⟩,S→S−iθk, um parâmetro novo, invisível em perturbação. (Experimentalmente ∣θ∣≲10−10 em QCD: o problema de CP forte.)

Mesmo mecanismo não perturbativo, mas sem controle e−8π2/g2=e−2π/α tem todas as derivadas nulas em g=0, como Λ. Mas o gás diluído de instantons diverge no IR: a densidade por tamanho vai como dρρ5(ρΛ)b0 (com b0=113N), que cresce com ρ. Instantons grandes dominam exatamente onde a aproximação semiclássica falha; eles não dão, sozinhos, uma prova de confinamento ou de gap.

O caminho para a matemática pura Numa 4-variedade X, o espaço Mk de conexões anti-autoduais módulo gauge é uma variedade de dimensão 8k−3(1−b1+b+). Para X suave, fechada, simplesmente conexa, com forma de interseção definida negativa, M1 é 5-dimensional; seu fim é um colar ≅X×(0,ϵ) (instantons concentrados) e suas singularidades correspondem a conexões redutíveis, contadas por classes e com e⋅e=−1. Um argumento de cobordismo força a forma a ser diagonal (Donaldson, 1983). Com Freedman, existem 4-variedades topológicas sem estrutura suave, e R4 exóticos.

Resultado. S≥8π2∣k∣/g2, k∈Z, igualdade para (anti-)autodualidade; BPST com 8 parâmetros; vácuos θ. Um efeito e−8π2/g2 clássico, exato e topológico, mas cujo gás quântico não é controlado no IR: de novo, a dificuldade mora nas grandes distâncias.