Osterwalder-Schrader: o que legitima a volta

A página inteira depende de uma promessa: que dá para calcular no mundo euclidiano e voltar para o mundo real sem perder nada. Essa promessa não é óbvia — no euclidiano não há causalidade nem cone de luz, e não é claro como eles reapareceriam.

Osterwalder e Schrader descobriram, em 1973, exatamente qual condição a teoria euclidiana precisa satisfazer para que a volta funcione. Ela tem um nome estranho — positividade de reflexão — e é o coração matemático do assunto.

As funções de Schwinger Sn(x1,…,xn) precisam satisfazer cinco axiomas para que exista uma teoria de Wightman correspondente em Minkowski:

Seja Θ a reflexão do tempo euclidiano, Θ:τ→−τ. Para qualquer funcional F que dependa só de campos com τ>0, exige-se

Ou seja: o produto interno de um funcional com sua própria reflexão temporal nunca é negativo. Parece uma condição técnica arbitrária; é o oposto disso. É exatamente ela que reconstrói o espaço de Hilbert. A norma dos estados de Minkowski é definida por esse produto interno, e sem OS2 apareceriam normas negativas — perda de unitariedade, probabilidades negativas.

Em resumo: positividade de reflexão no euclidiano ⟺ unitariedade em Minkowski. A reflexão Θ faz o papel da conjugação hermitiana, e a positividade faz o papel de ⟨ψ∣ψ⟩≥0.

A reconstrução, passo a passo

Os quatro estágios da reconstrução: o pulso percorre o caminho que transforma uma medida de probabilidade euclidiana numa teoria quântica relativística. Clique em um estágio para ver o que ele exige; a derivação completa vem a seguir.

Os quatro estágios da reconstrução. O pulso percorre o caminho que transforma uma medida de probabilidade euclidiana numa teoria quântica relativística. Clique em um estágio para ver o que ele exige.

“Existir”, no enunciado de Jaffe e Witten, quer dizer satisfazer axiomas como os de Osterwalder–Schrader (OS). Aqui está a reconstrução: como uma medida de probabilidade em campos euclidianos produz H, H≥0 e o vácuo Ω.

Os dados: funções de Schwinger Uma medida dμ em S′(R4) (distribuições) define momentos Sn(x1,…,xn)=∫ϕ(x1)⋯ϕ(xn) dμ. Em Yang–Mills, ϕ precisa ser invariante de gauge (tr⁡F2, laços de Wilson suavizados), porque só a classe [A]∈A/G tem significado.

Os axiomas (OS0) regularidade/temperança; (OS1) covariância euclidiana E(4); (OS2) positividade por reflexão; (OS3) simetria sob permutações; (OS4) agrupamento (cluster). O central é OS2: com θ(τ,x)=(−τ,x) e Θ a ação antilinear induzida em funcionais, ⟨ ΘF‾ F ⟩μ ≥ 0para todo F dependente soˊ de ϕ em τ>0.

O espaço de Hilbert Seja E+ o espaço desses funcionais. OS2 diz que ⟨F,G⟩≡⟨ΘF‾ G⟩μ é uma forma sesquilinear positiva semidefinida. Seja N={F:⟨F,F⟩=0} (subespaço, por Cauchy–Schwarz). Então H=E+/N‾,Ω=[ 1 ]. A reflexão faz o papel do “bra”: o que está em τ<0 é o conjugado do que está em τ>0.

O semigrupo de translação temporal T(t), translação por t≥0 em τ, leva E+ em E+. Propriedades: (i) simetria, ⟨F,T(t)G⟩=⟨T(t)F,G⟩, porque ΘT(t)=T(−t)Θ e a medida é invariante; (ii) preserva N (Cauchy–Schwarz); (iii) T(t)T(s)=T(t+s); (iv) contração: iterando Cauchy–Schwarz, ∥T(t)F∥2=⟨F,T(2t)F⟩≤∥F∥ ∥T(2t)F∥≤⋯≤∥F∥2−21−n ∥T(2nt)F∥21−n →n→∞ ∥F∥2, pois ∥T(s)F∥ fica limitado uniformemente em s (invariância da medida), e a potência 21−n→0.

O hamiltoniano Um semigrupo fortemente contínuo de contrações autoadjuntas tem a forma T(t)=e−tH,H=H†≥0,HΩ=0. A positividade da energia não foi postulada: ela sai de OS2. As translações espaciais e as rotações em SO(3) dão o momento e o momento angular; OS1 completo, após continuação analítica, dá Lorentz.

Na rede: a matriz de transferência Para a ação de Wilson, a positividade por reflexão vale para reflexões em planos de sítios e de elos (Osterwalder–Seiler, 1978). Isso dá um operador integral explícito entre fatias de tempo, T=e−aH, autoadjunto e positivo, e ⟨O(t)O(0)⟩=Tr⁡(TLt−t O Tt O)Tr⁡TLt. Na rede finita tudo isso é teorema. O problema é preservar OS1 (que a rede quebra) e não trivialidade no limite a→0, L→∞.

De volta a Minkowski O teorema de reconstrução de Osterwalder–Schrader (1973, 1975, com uma condição de crescimento) garante que as Sn são valores em tempos imaginários de funções de Wightman Wn que satisfazem os axiomas de Wightman: Wn é obtida por τj→itj. A teoria em tempo real é derivada, não postulada.

Resultado. Medida euclidiana + OS0–OS4 ⇒ (H,H≥0,Ω) e uma QFT de Wightman. Construir Yang–Mills quântica em R4 significa construir essa medida (ou suas funções de Schwinger invariantes de gauge) e verificar os axiomas.