Anomalias: quando a medida quebra a simetria

Uma simetria clássica pode não sobreviver à quantização. Não porque a ação mude — ela continua simétrica — mas porque a medida de integração não é invariante. É como uma regra que vale para todos os termos de uma soma e falha para a soma.

Isso não é patologia: a anomalia quiral prevê corretamente a taxa de decaimento do píon neutro em dois fótons, um número medido em laboratório. Simetria quebrada pela quantização é física observável.

A ação de Dirac sem massa é invariante sob a transformação quiral ψ→eiαγ5ψ, e classicamente a corrente correspondente se conserva: ∂μj5μ=0. Fujikawa perguntou o que acontece com a medida DψˉDψ e descobriu que ela produz um jacobiano não trivial:

O traço tr⁡γ5 é ingenuamente zero e formalmente ∞×0. Regularizando com heat kernel, tr⁡γ5e−D̸2/Λ2, sai finito e não nulo:

Integrando os dois lados sobre todo o espaço euclidiano, o lado direito vira um número topológico e o esquerdo, uma contagem de modos zero:

com n± o número de modos zero de quiralidade definida e ν o número de instantons (número de Pontryagin). Os dois lados são inteiros, e nenhuma correção perturbativa pode mudar um inteiro continuamente.

Essa rigidez combina com um fato provado à parte: a anomalia é exata a um laço (teorema de Adler-Bardeen, demonstrado por argumentos de renormalização, não pela integralidade), não recebe correções de ordem superior e serve de vínculo de consistência. O cancelamento das anomalias de gauge no Modelo Padrão é o que fixa as cargas elétricas dos quarks: exigir consistência quântica determina que o quark up tenha carga +2/3.

Reordenar uma soma finita nunca muda o resultado. Reordenar uma série condicionalmente convergente pode mudar — e o teorema de Riemann diz que pode dar qualquer valor. A propriedade que vale termo a termo simplesmente não sobrevive ao limite infinito.

A anomalia é isso, com "termos" sendo os modos do campo. Cada modo respeita a simetria quiral; a coleção infinita deles, não. E a razão é que regularizar — dar sentido ao infinito — exige uma escala, e a escala não é quiralmente invariante. A anomalia é o preço, cobrado exatamente uma vez, de tornar a soma finita.

Sob a rotação quiral ψ→eiαγ5ψ, ψˉ→ψˉeiαγ5, a ação de um férmion sem massa é invariante mas a medida não é. O jacobiano é

que é 0×∞ e portanto não significa nada até ser regulado. Fujikawa regula com o próprio operador de Dirac, que é a única escolha que preserva a invariância de gauge:

Agora a conta se fecha sozinha por contagem de potências. O traço tr⁡γ5 só é não nulo com quatro matrizes gama, o que exige exatamente o termo de segunda ordem em σ ⁣⋅ ⁣F — nem menos (traço zero), nem mais (suprimido por 1/M2). Esse termo traz 1/M4, e a gaussiana ∫ ⁣d4k(2π)4e−k2/M2=M4/16π2 cancela o M na conta. O resultado é finito, independente do regulador e da escala:

O ponto mais bonito vem em seguida. Essa mesma quantidade, tr⁡γ5e−tD̸2, é independente de t: modos de energia não nula vêm em pares de quiralidade oposta e se cancelam, sobrando só os modos zero. Logo

Isto é o teorema do índice de Atiyah-Singer, e a anomalia é literalmente o mesmo traço: um lado é análise, o outro é topologia. Duas consequências concretas. A integralidade de ν é consistente com o teorema de Adler-Bardeen (a anomalia é exata a um laço), que tem demonstração própria. E ela é medida: o decaimento π0→γγ só bate com o experimento porque Nc=3. Anomalia global é física; o que precisa cancelar são as de gauge, e exigir esse cancelamento é o que fixa as hipercargas do Modelo Padrão.

Espaço euclidiano, γμ hermitianas com {γμ,γν}=2δμν, γ5=γ1γ2γ3γ4, Dμ=∂μ−iAμ (acoplamento absorvido em A) e Fμν=∂μAν−∂νAμ (caso abeliano; o não abeliano acrescenta um traço de cor). O objetivo é calcular o jacobiano da medida sob ψ→eiαγ5ψ, ψˉ→ψˉeiαγ5 e mostrar que ele vale exp⁡[i ⁣∫ ⁣α εFF/16π2].

O jacobiano é um traço formal Variáveis de Grassmann transformam com o inverso do determinante, e há duas medidas (ψ e ψˉ): J=[det⁡eiαγ5]−2=exp⁡[−2i ⁣∫ ⁣d4x α(x) A(x)],A(x)=∑nϕn†(x)γ5ϕn(x), onde {ϕn} é uma base completa. A soma é ∞×0 (o traço de γ5 é zero, mas há infinitos modos): precisa de regulador.

O regulador invariante de gauge Pesamos cada modo pelo operador de Dirac: A(x)=lim⁡M→∞∑nϕn†γ5eD̸2/M2ϕn, com D̸2 negativo (os modos de alta ∣λ∣ são suprimidos). Como o traço não depende da base, usamos ondas planas ϕk=eikx: A(x)=lim⁡M→∞∫ ⁣d4k(2π)4 tr[γ5 e−ikx eD̸2/M2 eikx].

O quadrado do operador de Dirac D̸2=γμγνDμDν=D2+14[γμ,γν][Dμ,Dν] e [Dμ,Dν]=−iFμν: D̸2=D2+Ξ,Ξ=−i2 γμγνFμν. Mover e−ikx através do operador troca Dμ→Dμ+ikμ, e D2→D2+2ik ⁣⋅ ⁣D−k2. Com k=Mκ (então d4k=M4d4κ): A=M4 ⁣∫ ⁣d4κ(2π)4 e−κ2 tr γ5exp⁡[2iκ⋅DM+D2+ΞM2].

Só um termo sobrevive tr γ5 com menos de quatro matrizes γ é zero. Ξ carrega duas, então o primeiro termo que dá traço não nulo é o quadrático em Ξ (os demais têm potências maiores de 1/M, e os que têm κ⋅D ou D2 sem γ não ajudam). A ordem é M−4, que cancela o M4 do jacobiano da mudança k→Mκ: A=∫ ⁣d4κ(2π)4e−κ2 12 tr γ5Ξ2,∫ ⁣d4κ(2π)4e−κ2=π2(2π)4=116π2. O limite M→∞ é finito e independente de M: o regulador não deixa vestígio, só a anomalia.

O traço de quatro matrizes Ξ2=−14γμγνγργσFμνFρσ, e tr(γ5γμγνγργσ)=4εμνρσ (verifique: tr(γ5γ1γ2γ3γ4)=tr γ52=4). Então tr γ5Ξ2=−εμνρσFμνFρσ,A(x)=−132π2 εμνρσFμνFρσ.

O jacobiano e a anomalia Do passo 1, J=exp⁡[+i16π2 ⁣∫ ⁣α εFF]. Como a ação sem massa é invariante e a integral não depende do nome das variáveis, Z é invariante sob a mudança local α(x): isto força ⟨∂μj5μ⟩ a compensar o jacobiano, ∂μj5μ=±116π2 εμνρσFμνFρσ, onde o sinal depende da orientação de ε e da definição de j5 (convenções). O módulo é o do texto; com o acoplamento restaurado, A→eA, vira e2/16π2 (a forma de Minkowski da seção anterior).

Teste de integralidade (o coeficiente está certo) Integrando o passo 6 sobre um toro T2×T2 com campos constantes F12=B1, F34=B2: εFF=8F12F34, logo 132π2 ⁣∫εFF=B1B2V4π2=n1n2, onde n1=B1L1L2/2π e n2=B2L3L4/2π são os quanta de fluxo em cada toro 2D. É um inteiro, o índice de Atiyah–Singer: n+−n−=n1n2, o produto das degenerescências de Landau (ni modos zero em cada T2). Se o coeficiente fosse outro, o resultado não seria inteiro.

Resultado. tr γ5eD̸2/M2→−132π2εFF, jacobiano J=exp⁡[i16π2 ⁣∫α εFF] e ∣∂μj5μ∣=116π2εFF, o coeficiente da seção. O índice n+−n−=132π2 ⁣∫εFF vale n1n2∈Z. Consequência medida (a conta do amplitude π0→γγ não é feita aqui): Γ=α2mπ3Nc2/(576π3fπ2) dá 7,76 eV para Nc=3, mπ=134,98 MeV e fπ=92,2 MeV, contra o valor medido de cerca de 7,8 eV (literatura); Nc=1 daria 0,86 eV.