Anomalias quirais e seu cancelamento no MP

Quando a corrente de Noether de uma simetria não pode ser definida preservando simultaneamente a simetria e a invariância de gauge, surge uma anomalia quântica. Se a simetria anômala for de gauge, a anomalia tem de se anular.

Anomalia ABJ (Adler-Bell-Jackiw)

A origem física: num campo magnético, férmions sem massa ocupam níveis de Landau; ligar um campo elétrico paralelo empurra os de mão direita para cima e os de mão esquerda para baixo no mar de Dirac, criando quiralidade do nada. Nenhuma regularização consegue preservar ao mesmo tempo a corrente axial e a vetorial; escolhe-se preservar a vetorial (carga elétrica), e a axial ganha a anomalia.

Fenomenologicamente, a anomalia ABJ explica π0→γγ com precisão percentual — com Nc=3 essencial, uma validação elegante da QCD a baixa energia.

Condição de cancelamento de gauge

Em vez de apenas conferir que as somas dão zero, vamos resolver as condições de anomalia para uma geração com Nc cores e hipercargas desconhecidas, e ver o que elas determinam. Convenção Q=T3+Y. Os campos de mão direita uR,dR,eR entram com hipercarga yu,yd,ye, e os de mão esquerda QL (dubleto de SU(2) e Nc cores) e LL com yQ,yL. Uma anomalia de triângulo é proporcional a uma soma sobre os férmions de mão esquerda menos a mesma soma sobre os de mão direita (os de mão direita contam com sinal oposto).

As quatro condições Cada QL conta 2Nc componentes, cada LL conta 2, e os singletos contam Nc,Nc,1: [SU(3)]2U(1)Y: 2yQ−yu−yd=0,[SU(2)]2U(1)Y: Nc yQ+yL=0,[grav]2U(1)Y: Nc(2yQ−yu−yd)+2yL−ye=0,[U(1)Y]3: Nc(2yQ3−yu3−yd3)+2yL3−ye3=0.

As Yukawas relacionam as hipercargas Os termos de massa QˉLH~uR, QˉLHdR, LˉLHeR com YH=12 são invariantes se a hipercarga total é zero: yu=yQ+12,yd=yQ−12,ye=yL−12. (Aqui yu−yd=1 vem de Qu−Qd=1 com o mesmo T3 de QL.)

As condições lineares Com o passo 2, 2yQ−yu−yd=0: a primeira condição é automática. A gravitacional se reduz a 2yL−ye=2yL−yL+12=yL+12=0, isto é, yL=−12,ye=−1. A segunda dá NcyQ=12: yQ=12Nc.

A condição cúbica é então um teste, não um ajuste 2yQ3−(yQ+12)3−(yQ−12)3=−32yQ. Logo o lado esquerdo vale −32NcyQ+2yL3−ye3=−34−14+1=0: Nc(−32⋅12Nc)+2(−18)+1=−34−14+1=0para todo Nc. A condição que não foi usada para determinar nada é satisfeita sozinha: o cancelamento é consistente, não um golpe de sorte.

As cargas elétricas Com Q=T3±12 e yQ=1/(2Nc): Qu=12+12Nc=Nc+12Nc,Qd=−12+12Nc=1−Nc2Nc,Qe=ye=−1. Para Nc=3: Qu=23, Qd=−13, e 2Qu+Qd=1=−Qe: a carga do próton (uud) cancela a do elétron, consequência das anomalias e não um acidente.

Conferência com o conteúdo do Modelo Padrão Com as hipercargas de mão esquerda QL:16 (6 componentes), uc:−23 (3), dc:13 (3), L:−12 (2), ec:+1 (1): ∑Y=1−2+1−1+1=0,∑Y3=136−89+19−14+1=0.

Resultado. As condições de anomalia e as Yukawas determinam yL=−12, ye=−1, yQ=12Nc; com Nc=3, as cargas 23,−13,−1, e as quatro somas do texto se anulam. Uma ressalva ao texto: o cancelamento vale para qualquer Nc se as hipercargas são reajustadas (Qu=(Nc+1)/2Nc); o que Nc=3 garante é o conjunto observado 23,−13, isto é, só com cargas fixadas nos valores observados a teoria com Nc≠3 seria inconsistente (veja o widget de anomalias, que varia Nc com as cargas fixas).

Escolha cada anomalia e veja as hipercargas de uma geração somarem exatamente zero — uma cascata que sempre retorna ao zero.

Uma teoria de gauge quiral só é consistente se os diagramas triangulares (um férmion circulando com três bósons de gauge nas pontas) somarem zero; senão a simetria de gauge quebra no nível quântico e a teoria perde a unitariedade. Cada barra é a contribuição de um campo de uma geração (esquerdos somam, direitos subtraem; já incluídas as multiplicidades). Mude o número de cores: [SU(3)]2U(1) e grav2U(1) cancelam para qualquer Nc, mas [SU(2)]2U(1), que vale Nc/6−1/2, e [U(1)]3, que vale (3−Nc)/4, só se anulam com Nc=3. As cargas dos quarks e do elétron e o número de cores estão amarrados: os léptons sozinhos não seriam consistentes.