O propagador deixa de oscilar

Um propagador responde a pergunta: se eu cutucar o campo aqui, quanto isso é sentido ali? Em tempo real, a resposta é uma onda que oscila para sempre — ela nunca some, só muda de fase. Em tempo imaginário, a mesma resposta vira uma exponencial que decai.

Essa troca parece só técnica, mas é o que dá um número medível. A velocidade do decaimento é a massa da partícula. Toda simulação de QCD na rede mede a massa do próton exatamente assim: cutuca, mede o quanto caiu, tira o logaritmo.

Volte ao objeto mais simples possível: um oscilador de frequência ω, que é um campo livre com um só modo. O correlador de duas posições é conhecido exatamente nas duas assinaturas:

São a mesma função, avaliada em dois lugares do plano complexo. Mas o comportamento não podia ser mais diferente. À esquerda o módulo é constante: ∣⟨xx⟩∣=1/2mω para todo t, por maior que seja. À direita o módulo cai, e cai rápido.

Insira uma base completa de autoestados de energia no correlador euclidiano e o resultado é uma soma de exponenciais, uma por estado:

Para τ grande, só o termo mais lento sobrevive: o do primeiro estado excitado. Ou seja, ⟨ϕ(τ)ϕ(0)⟩→Ae−mτ com m=E1−E0. Medir a inclinação de um logaritmo devolve a massa. Em Minkowski a mesma soma é ∑∣⋯∣2e−i(En−E0)t: as parcelas interferem em vez de morrer, e nenhuma domina — não há inclinação para ler.

Em espaço de momento a diferença fica ainda mais nua. Compare os dois denominadores:

O primeiro zera em k0=±ω: dois polos em cima do caminho de integração, e é só o iϵ que impede a divergência. O segundo é uma soma de dois quadrados — nunca zera. Seu mínimo é ω2, então o propagador euclidiano tem máximo 1/ω2 e é limitado, positivo e liso em toda a reta. Não há polo, não há prescrição, não há escolha a fazer.

O mesmo correlador, girado por um ângulo θ: t→e−iθs. Em θ=0 é Minkowski; em θ=90∘ é euclidiano. Painel de cima: as partes real e imaginária, com o envelope ∣G∣. Painel de baixo: o propagador em espaço de momento ao longo do mesmo contorno.

Duas coisas para observar. Primeiro, o envelope: em θ=0 ele é uma reta horizontal — a correlação nunca morre, e a integral ∫∣G∣ cresce sem parar. Vá girando e ele despenca; em 90∘ a integral vale exatamente 1/2mω2. Segundo, a massa lida do decaimento: o ajuste do logaritmo devolve ω com precisão de máquina quando θ=90∘, e não devolve nada enquanto houver oscilação. É essa medida, e só ela, que a rede sabe fazer.

Em quatro dimensões a história é a mesma com um vestido mais elegante. O propagador euclidiano de um escalar de massa m é

com K1 a função de Bessel modificada. O comportamento a curta distância é o de Coulomb, 1/4π2∣x∣2; a longa distância, exponencial com alcance 1/m. Guarde esse 1/m: ele reaparece em O cone de luz vira um ponto como o raio euclidiano de causalidade e em O dicionário: TQC euclidiana = mecânica estatística como o comprimento de correlação de um sistema estatístico.

O denominador euclidiano ser estritamente positivo permite um truque que em Minkowski exigiria cuidado: escrevê-lo como uma integral gaussiana no tempo próprio.

Isso converge porque o expoente é negativo — sempre. Trocando a ordem das integrais, a de kE vira gaussiana e sai de graça, e sobra uma integral em s que é a soma sobre caminhos de uma partícula puntiforme de comprimento próprio s. É a representação de Schwinger, e é a origem tanto da regularização dimensional quanto da teoria de cordas: substitua a partícula por uma corda e o ds vira uma integral sobre superfícies.

Na rede, isso vira um procedimento. Meça C(τ)=⟨ϕ(τ)ϕ(0)⟩ numa simulação de Monte Carlo e construa a massa efetiva

Para τ pequeno os estados excitados ainda contribuem e mef está alto; conforme τ cresce eles morrem mais rápido que o fundamental e a curva assenta num platô. A altura do platô é a massa. É literalmente assim que se calcula a massa do próton a partir dos primeiros princípios da QCD — e note que o método exige a assinatura euclidiana em dois pontos independentes: para o peso e−SE ser uma probabilidade amostrável, e para o correlador decair em vez de oscilar.

O texto afirma GE(x)=∫d4k(2π)4eik⋅xk2+m2=m4π2rK1(mr), com r=∣x∣, e seus dois limites. Derivamos pela representação de Schwinger (tempo próprio), que só funciona porque o denominador é estritamente positivo. Tudo euclidiano, ℏ=1.

Denominador como integral Como k2+m2>0, 1k2+m2=∫0∞ds e−s(k2+m2). A integral converge sempre; em Minkowski o denominador zera e isto exigiria o iϵ.

A integral em k é gaussiana Em cada uma das 4 direções, completando o quadrado, ∫dk2πeikx−sk2=14πs e−x2/4s. Em 4 dimensões: ∫d4k(2π)4 eik⋅x−sk2=1(4πs)2 e−r2/4s.

Sobra uma integral em s GE(x)=∫0∞ds16π2s2 e−m2s−r2/(4s). É a soma sobre caminhos de uma partícula puntiforme com tempo próprio s: o fator e−r2/4s é a probabilidade (gaussiana) de ir da origem a x por difusão.

Reconhecer a função de Bessel A representação integral Kν(z)=12(z/2)ν∫0∞t−ν−1e−t−z2/4tdt, com ν=1, dá ∫0∞t−2e−t−z2/4tdt=4zK1(z). Com t=m2s e z=mr (então ds/s2=m2 dt/t2 e r2/4s=z2/4t): ∫0∞dss2e−m2s−r2/4s=m2⋅4mrK1(mr)=4mrK1(mr) ⇒ GE=m4π2r K1(mr).

Os dois limites Curta distância: K1(z)→1/z para z→0, logo GE→14π2r2, o campo de Coulomb de uma carga pontual em 4 dimensões. Longa distância: K1(z)≃π/2z e−z(1+38z), logo GE≃m4π2rπ2mr e−mr ∝ e−mrr3/2,ξ=1m.

Resultado. GE(r)=m K1(mr)4π2r→14π2r2 para mr≪1 e ∝e−mr/r3/2 para mr≫1. Conferência numérica com m=r=1: a integral de Schwinger do passo 3, calculada por quadratura, dá 0,0152465; a forma fechada K1(1)/4π2=0,60191/39,478=0,0152465. Em mr=10 a assintótica com o fator 1+3/8z erra 0,1% (1,8668×10−4 contra 1,8649×10−4 em zK1(z)).