Simetria BRST e identidades de Ward-Takahashi

A simetria BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) encapsula todo o conteúdo quântico da invariância de gauge num parâmetro de Grassmann global θ.

Transformações BRST

Nilpotência e cohomologia

Escreva a variação BRST como δB=θ s, com s um operador ímpar (Grassmann): s(XY)=(sX)Y+(−1)∣X∣X (sY). Em componentes, sAμa=(Dμc)a=∂μca+gfabcAμbcc, sca=−g2fabccbcc, sψ=ig caTaψ, com [Ta,Tb]=ifabcTc e fabc totalmente antissimétrica. Provamos s2=0 em cada campo, usando só a identidade de Jacobi fabxfxec+faexfxcb+facxfxbe=0.

Os fantasmas ca são ímpares cbcc=−cccb, então fabccbcc usa só a parte antissimétrica de f (que é tudo). Como cbcc é par, sca é par, e s passa por cbcc assim: s(cbcc)=(scb)cc−cb(scc).

s2ca s2ca=−g2fabc[(scb)cc−cb(scc)]. Como scc é par, cb scc=scc cb, e com a troca b↔c o segundo termo é igual ao primeiro: s2ca=−g fabc(scb)cc=g22 fabcfbde cdcecc. O produto cdcecc é totalmente antissimétrico em (d,e,c); então só entra a parte antissimétrica de fabcfbde nesses três índices, que é exatamente a combinação cíclica de Jacobi, nula. Portanto s2ca=0.

s2Aμa: os termos com derivada s2Aμa=s(∂μca)+gfabc[(sAμb)cc+Aμb(scc)] (A é par, então não há sinal). Como s comuta com ∂μ: s(∂μca)=−g2fabc∂μ(cbcc)=−g fabc(∂μcb)cc, usando a antissimetria. Em gfabc(sAb)cc, o pedaço gfabc(∂μcb)cc cancela exatamente este termo.

s2Aμa: os termos com A Restam, com sAb∋gfbdeAdce e scc=−g2fcdecdce, dois termos. Renomeando os índices mudos para que A sempre leve o índice b e os fantasmas ce,cc: T1=g2faxcfxbe Aμbcecc,T2=−g22fabxfxec Aμbcecc. Como cecc é antissimétrico em (e,c), T1=g22Aμbcecc[faxcfxbe−faxefxbc]. Pela identidade de Jacobi o colchete é igual a fabxfxec (confirmado numericamente em SU(3)). Então T1+T2=g22fabxfxecAμbcecc−g22fabxfxecAμbcecc=0.

s2ψ (matéria) s2ψ=ig[(sca)Taψ−caTa(sψ)]=ig(−g2)fabccbccTaψ+g2cacbTaTbψ. Como cacb é antissimétrico, cacbTaTb=12cacb[Ta,Tb]=i2fabccacbTc, e o primeiro termo, com (a,b,c)→(c,a,b), é −ig22fabccacbTcψ. A soma é zero: s2ψ=−ig22fabccacbTcψ+ig22fabccacbTcψ=0.

Consequências Para o antifantasma, scˉa=Ba, sBa=0, então s2cˉ=0 trivialmente. Em todos os campos, s2=0 e, para a carga, Q2=0 (ver acima). Dois corolários: (a) o termo de fixação de gauge sΨ com Ψ=cˉa(∂⋅Aa+ξ2Ba) é exato, e s(sΨ)=0: é invariante, o que permite escolher qualquer ξ sem mudar a física; (b) ⟨sO⟩=0 para todo O, as identidades de Slavnov–Taylor.

Resultado. s2A=s2c=s2ψ=0 para qualquer grupo de Lie: a nilpotência é equivalente à identidade de Jacobi das constantes de estrutura, ou seja, à própria álgebra de gauge. Verificação numérica (a nossa, em SU(3) com as matrizes de Gell-Mann): o tensor de Jacobi se anula até 3×10−16 e a parte antissimétrica de fabcfbde em (c,d,e) até 7×10−16.

Lendo. Q é a carga conservada da simetria BRST. Aplicar a transformação duas vezes dá zero, Q2=0 (nilpotência). Um estado físico precisa ser anulado por Q (está no núcleo, ker⁡Q), e dois estados que diferem por Q∣χ⟩ são o mesmo estado físico (divide-se pela imagem, Im Q). Os estados da forma Q∣χ⟩ têm norma zero e não contribuem para nenhuma probabilidade: é assim que as polarizações não físicas e os fantasmas saem da teoria.

Num loop de glúon calculado num gauge covariante, o campo Aμ entra com suas 4 componentes. Só 2 são físicas (as transversais); a temporal e a longitudinal são artefatos da descrição covariante. Os fantasmas de Faddeev–Popov, c e cˉ, são escalares que anticomutam: como todo loop de campos anticomutantes, cada um contribui com sinal −1. Os dois fantasmas cancelam exatamente as duas polarizações não físicas, e o que sobra conta 2 graus de liberdade, como deve. A simetria BRST garante que esse cancelamento acontece em qualquer processo e a qualquer ordem.

Lagrangiana BRST e Slavnov-Taylor

Ward-Takahashi (caso abeliano)

Lendo. Γμ(p,p′) é o vértice elétron–fóton completo (com todos os loops) e SF−1 o inverso do propagador completo do elétron. A identidade diz que contrair o vértice com o momento do fóton dá a diferença dos propagadores: é a conservação de carga em forma quântica. A consequência Z1=Z2 (renormalização do vértice igual à do campo) garante que a carga elétrica renormaliza do mesmo jeito para elétron, múon e quarks: por isso as cargas medidas são exatamente iguais.

Consequências físicas

A estrutura Q2=0 garante que só polarizações transversas contribuem; não-físicos cancelam.

Slavnov-Taylor restringe os contratermos; a renormalizabilidade do MP depende de preservá-las na regularização.

Observáveis (matriz S on-shell) não dependem de ξ, embora funções off-shell dependam.