O grupo de renormalização

Nenhum observável pode depender da escala arbitrária μ. Essa exigência gera a equação de Callan-Symanzik e o fluxo dos acoplamentos com a energia.

Somar as inserções de polarização do vácuo faz o acoplamento correr com a energia. Compare QED e QCD abaixo.

À esquerda, pares elétron–pósitron virtuais se orientam e escondem parte da carga elétrica: a sonda vê mais carga quando chega perto, e o acoplamento da QED cresce com a energia. À direita, os glúons, que têm cor, espalham a carga de cor para longe: a sonda vê menos cor quando chega perto. É a antiblindagem por trás da liberdade assintótica e do running do capítulo. Animação ilustrativa.

Curvas de um loop calculadas de verdade. QED: cada férmion carregado de massa mf passa a blindar a carga quando Q>mf, 1α(Q)=1α(0)−23π∑fNcQf2ln⁡Qmf: de 137 no limite clássico para cerca de 128 na massa do Z, como medido no LEP (os degraus são os limiares). QCD: 1αs(Q)=1αs(μ)+b02πln⁡Qμ, com b0=11−23nf positivo: o acoplamento cai no ultravioleta (liberdade assintótica, Nobel 2004) e explode perto de ΛQCD≈0,2 GeV, onde a teoria de perturbações acaba e começa o confinamento. Pontos: medidas (decaimento do τ, Υ, LEP no Z, jatos no LHC). Um loop subestima um pouco αs em baixa energia. A escala de distância sondada é ℏc/Q.

QED: o polo de Landau

QCD: liberdade assintótica

A um laço, 1/α é uma reta em ln⁡μ. Na eletrodinâmica (azul) a reta desce com a energia e atinge zero num valor finito, o polo de Landau: ali o acoplamento seria infinito, e manter a teoria até energias arbitrárias exige acoplamento renormalizado nulo (trivialidade). Em Yang–Mills (rosa) a reta sobe: o acoplamento enfraquece no ultravioleta, o que torna o limite do contínuo possível, e o ponto onde 1/α=0 fica no infravermelho, em μ=Λ. Escalas ilustrativas; a QED real tem o polo perto de 10280 MeV.

De onde vem o 11/3, e a massa que nasce do nada

A derivação abaixo calcula b0=113CA com o campo de fundo e o núcleo do calor, separando o +4 paramagnético (spin) do −13 diamagnético. A seguinte mostra que Λ=μ e−8π2/(b0g2) é invariante de RG, que toda massa física é um múltiplo de Λ, e que essa dependência em g tem todas as derivadas nulas em g=0. Aumente a ordem da série de Taylor: nenhuma ordem de teoria de perturbações enxerga a massa.

A curva rosa é a escala Λ/μ=e−8π2/(b0g2) com b0=113N. A amarela é o polinômio de Taylor dessa função em torno de g2=0, até a ordem escolhida: é identicamente zero, em qualquer ordem, porque todas as derivadas se anulam em g=0. A teoria de perturbações é exatamente essa série de Taylor: por isso ela não enxerga a massa. O painel menor mostra log⁡10(Λ/μ): para g2=1 e SU(3), Λ/μ≈10−3; para g2=0,5, 10−6.

Cálculo completo de b0=113CA com o método do campo de fundo e o núcleo do calor (heat kernel). Formulação euclidiana, campo reescalado (gA→A), de modo que S=14g2∫FaFa, D=∂−iA, e g aparece só como prefator global. As ferramentas (determinantes gaussianos, integrais de Grassmann, ação efetiva) estão em Integral de caminho e Funções de Green.

Estratégia: o acoplamento é o coeficiente de F2 na ação efetiva Separe A=Aˉ+g a, com Aˉ um fundo clássico arbitrário e a a flutuação (normalizada canonicamente). A ação efetiva Γ[Aˉ]=−ln⁡∫Da e−S[Aˉ+ga] (só diagramas 1PI) é invariante de gauge em Aˉ se a fixação de gauge também for. Então, por invariância, a parte local de dimensão 4 só pode ser Γ[Aˉ]=14g2(μ)∫d4x FˉμνaFˉμνa+… Basta calcular o coeficiente de ∫Fˉ2 gerado pelo laço.

Fixação de gauge de fundo Escolha Ga=(Dˉμaμ)a com peso 12∫G2 (Feynman–'t Hooft, ξ=1). Sob Aˉ↦UAˉU−1−i(∂U)U−1, a↦UaU−1, G é covariante, logo Γ[Aˉ] é invariante. O operador de Faddeev–Popov é −DˉμDμ, que a um laço vira −Dˉ2.

Expansão quadrática F(Aˉ+ga)=Fˉ+g(Dˉμaν−Dˉνaμ)−ig2[aμ,aν]. O termo linear em a é proporcional à equação de movimento do fundo e não contribui para 1PI. Integrando por partes e usando DˉμDˉν−DˉνDˉμ=Ωμν, o termo −12(Dˉμaμ)2 de DˉμaνDˉνaμ é cancelado pela fixação de gauge, e sobra: S(2)=12∫aμa (Δ1)μνab aνb+∫cˉa(Δ0)abcb,Δ1=−Dˉ2 δμν−2 Ωμν,Δ0=−Dˉ2, com Ωμν=[Dˉμ,Dˉν]=−iFˉμνcTAc na adjunta. O −2Ω é o acoplamento do spin do glúon ao campo de fundo: um momento magnético.

Ação efetiva a um laço Integrais gaussianas: bósons reais dão det⁡−1/2, fantasmas (Grassmann complexos) dão det⁡+1. Logo Γ[Aˉ]=S[Aˉ]+12ln⁡det⁡Δ1−ln⁡det⁡Δ0+O(g2).

Núcleo do calor e o logaritmo Para Δ=−D2+E em R4: ln⁡det⁡Δ=−∫1/Λ2∞dssTr⁡e−sΔ e, para s→0, Tr⁡e−sΔ=1(4πs)2∫d4x tr⁡[1−sE+s2(12E2+112ΩμνΩμν)+O(s3)]. O termo s2 cancela o (4πs)−2 e deixa ∫ds/s: um logaritmo. Cortando no infravermelho em s∼1/μ2: ln⁡det⁡Δ∣log⁡=−116π2ln⁡Λ2μ2∫d4x tr⁡(12E2+112ΩμνΩμν).

O traço na adjunta Com tr⁡A(TAaTAb)=facdfbcd=CAδab (derivado em Yang–Mills): tr⁡A(ΩμνΩμν)=−FˉμνaFˉμνbtr⁡A(TAaTAb)=−CA FˉμνaFˉμνa.

Fantasmas e vetor, separadamente Fantasma (E=0, escalar na adjunta): tr⁡(112Ω2)=−112CAFˉ2. Vetor: espaço interno ⊗ 4 componentes de Lorentz. O termo orbital dá 4×(−112)CAFˉ2=−13CAFˉ2. O termo de spin, Eμν=−2Ωμν: 12tr⁡E2=12⋅4∑μνtr⁡A(ΩμνΩνμ)=−2tr⁡A(ΩμνΩμν)=+2 CAFˉ2.

Soma: diamagnetismo contra paramagnetismo Γ∣log⁡=−CA16π2ln⁡Λ2μ2∫Fˉ2[12⋅2⏟spin −12⋅13+112⏟orbital + fantasma]=−1112 CA16π2ln⁡Λ2μ2∫Fˉ2. Em unidades de 14: spin =+4, orbital =−13. Os fantasmas cancelam as duas polarizações não físicas no termo orbital; o termo de spin, que não existe para escalares, domina. É a leitura de Nielsen e Hughes: o vácuo de Yang–Mills é um meio paramagnético (μmag>1), e por relatividade ϵμ=1 implica ϵ<1: antiblindagem.

Renormalização 14g2(μ)=14g02(Λ)−11CA12⋅16π2ln⁡Λ2μ2 ⟹ 1g2(μ)=1g02(Λ)−b08π2ln⁡Λμ,b0=113CA. Mantendo g(μ) fixo e Λ→∞, 1/g02 cresce: g0(Λ)→0. É a liberdade assintótica, agora como afirmação sobre o acoplamento nu.

A equação de fluxo μddμ(1g2)=b08π2 ⟹ −2g3 β(g)=b08π2 ⟹ β(g)=−b0 g316π2.

Matéria e o caso abeliano A mesma conta, com Ω na representação R e E o acoplamento de spin (12σμνFμν para Dirac), dá a regra geral por multipleto: contribuição η T(R)((2s)2−13) com η=+1 para bósons e −1 para férmions, por campo com dois estados físicos (helicidades ±s, ou partícula e antipartícula): vetor (adj.):113CA,Weyl:−23T(R),Dirac:−43T(R),escalar complexo:−13T(R). Logo b0=113N−23nf para QCD. Em QED não há vetor carregado, só o termo fermiônico: β>0, blindagem, polo de Landau (acima).

Resultado. β(g)=−g316π2(113CA−43TFnf), com o 11/3 decomposto em +4 (spin, paramagnético) e −13 (orbital, diamagnético). O sinal é um fato perturbativo, controlado; o que acontece quando g cresce no infravermelho não é.

Parte de β(g)=−b0g3/16π2−b1g5/(16π2)2+… e chega a três afirmações: existe uma escala Λ invariante de RG; toda massa física é múltiplo de Λ; e Λ é não analítica em g, com todas as derivadas nulas em g=0.

Integrar o fluxo a um laço d(1/g2)dln⁡μ=b08π2 ⟹ 1g2(μ)=1g2(μ0)+b08π2ln⁡μμ0. Uma constante de integração, 1/g2(μ0), foi trocada por outra. A escolha de μ0 é arbitrária: há uma família a um parâmetro de pares (μ0,g(μ0)) que descrevem a mesma teoria.

O invariante da família Defina Λ≡μ exp⁡(−8π2b0g2(μ)). Verificação de que não depende de μ: dln⁡Λdln⁡μ=1+8π2b0⋅2g3 β(g)=1+16π2b0g3(−b0g316π2)=0. Invertendo: αs(μ)=g24π=4πb0ln⁡(μ2/Λ2). O parâmetro adimensional g desapareceu e no lugar dele surgiu uma escala de massa.

Toda massa é um múltiplo de Λ Uma massa física M (do glueball, por exemplo) só pode depender de μ e g(μ). Análise dimensional: M=μ f(g(μ)). Independência de μ: μdMdμ=μ(f+β(g)f′(g))=0 ⟹ f(g)=Cexp⁡(− ⁣∫g ⁣dg′β(g′))=C e−8π2/(b0g2). Portanto M=C Λ, com C um número puro. Razões M1/M2 são números puros calculáveis em princípio: a teoria não tem nenhum parâmetro livre (para SU(N) dado).

Não analiticidade A função h(x)=e−c/x, x=g2>0, tem h(n)(x)→0 quando x→0+ para todo n. A série de Taylor de Λ/μ em g2 é identicamente zero: Mμ=C e−8π2/(b0g2)=0+0⋅g2+0⋅g4+… Nenhuma ordem finita de diagramas, nem a soma de qualquer subsérie, produz o gap. Ele é estritamente não perturbativo. O mesmo fator e−8π2/g2 reaparece na ação de um instanton (instantons).

Dois laços e independência de esquema Com b1=343CA2 (=102 para SU(3) puro) e 1β=−16π2b0g3(1−b1g216π2b0+O(g4)): Λ=μ (b0g216π2)−b1/(2b02)e−8π2/(b0g2)(1+O(g2)). Sob g→g′=g+cg3+… (mudança de esquema), b0 e b1 não mudam; Λ muda por um fator constante Λ′=Λe16π2c/b0 (pois 1/g′2=1/g2−2c+O(g2)). Exemplo: ΛMS‾/Λrede≈28,8 para SU(3) com ação de Wilson.