Amplitudes de precisão: Bhabha, Møller e Drell-Yan

Além dos exemplos da seção anterior, três processos são pilares dos testes eletrofracos de precisão.

Espalhamento Bhabha · e⁺e⁻ → e⁺e⁻

Dois canais somam: s (aniquilação em fóton virtual) e t (troca direta de fóton). Clique no fóton trocado e nos vértices.

Espalhamento Møller · e⁻e⁻ → e⁻e⁻

Partimos da fórmula de Bhabha do texto, ∣M∣2‾=2e4[u2+t2s2+u2+s2t2+2u2st], e obtemos a de Møller trocando s↔u, a seção de choque diferencial e o limite t→0. Todas as massas desprezadas, centro de massa, e2=4πα.

Cruzamento Bhabha: e−(p1)e+(p2)→e−(p3)e+(p4). Mover o pósitron que entra para elétron que sai e o pósitron que sai para elétron que entra equivale a p2→−p4, p4→−p2. Então s=(p1+p2)2→(p1−p4)2=u,u=(p1−p4)2→(p1+p2)2=s,t=(p1−p3)2 fixo. Cruzar duas linhas fermiônicas dá (−1)2=+1 no ∣M∣2, então basta trocar s↔u na fórmula: ∣M∣2‾Mol=2e4[s2+t2u2+s2+u2t2+2s2ut], que é exatamente a fórmula do texto.

Variáveis no CM Com x=sin⁡2(θ/2)=(1−cos⁡θ)/2: t=−sx, u=−s(1−x) (como na cinemática), e dσdΩ=∣M∣2‾64π2s=α22s B, onde B=[⋯ ] é o colchete e usamos e4=16π2α2.

Møller em forma fechada Simplificando o colchete de Møller em termos de θ (por exemplo em cos⁡θ=0,3 valem ambas as formas, B=23,060): BM=2 (3+cos⁡2θ)2sin⁡4θ ⇒ dσdΩ∣Mol=α2 (3+cos⁡2θ)2s sin⁡4θ. Em θ=90∘: BM=18 e dσ/dΩ=9α2/s. Para Bhabha, no mesmo ângulo, t=u=−s/2 dá B=12+5−1=4,5 (o termo de interferência 2u2/st é negativo) e dσ/dΩ=94α2/s.

O limite t→0 é Rutherford Para θ→0: t→0, u→−s, e em ambos os processos domina o termo 1/t2: B→(u2+s2)/t2→2s2/t2=2/x2. Então dσdΩ→α22s⋅2sin⁡4(θ/2)=α2s sin⁡4(θ/2)=α24p2sin⁡4(θ/2),s=4p2, p=∣p∣. É a fórmula de Rutherford com β=1 e Z=1: o fóton trocado com 1/t2 é o potencial de Coulomb. O fator sin⁡−4(θ/2) vem do propagador 1/t2 com t=−ssin⁡2(θ/2).

Resultado. Møller = Bhabha com s↔u: dσdΩ=α2(3+cos⁡2θ)2ssin⁡4θ; ambos tendem a α2/(ssin⁡4(θ/2)) para frente. Números (α=1/137,036, s=10 GeV, 1 GeV−2=0,3894 mb): em 90∘, Møller =9α2/s=1,87 nb/sr e Bhabha =94α2/s=0,467 nb/sr. A identidade BBhabha(u,t,s)=BM(s,t,u) foi conferida numericamente. Em Møller o estado final tem elétrons idênticos, então a seção total integra só meia esfera.

O processo Drell–Yan está desenhado e montado passo a passo nas amplitudes, e sua fatorização em partons em QCD em colisores.