Cinemática e amplitudes de espalhamento

A amplitude M é o produto dos fatores de vértices, propagadores e linhas externas, lida contra o fluxo da linha fermiônica.

Variáveis de Mandelstam

Para 1+2→3+4 com p1+p2=p3+p4, pi2=mi2, s=(p1+p2)2, t=(p1−p3)2, u=(p1−p4)2. Provamos a soma de invariantes e escrevemos t e u no referencial do centro de massa, usando e+e−→μ+μ− (me→0, mμ≠0) como exemplo. Métrica (+,−,−,−).

Cada invariante em termos de produtos escalares s=m12+m22+2p1 ⁣⋅ ⁣p2,t=m12+m32−2p1 ⁣⋅ ⁣p3,u=m12+m42−2p1 ⁣⋅ ⁣p4.

A soma Somando: s+t+u=3m12+m22+m32+m42+2p1 ⁣⋅ ⁣(p2−p3−p4). Pela conservação, p3+p4=p1+p2, então p2−p3−p4=−p1 e 2p1 ⁣⋅ ⁣(−p1)=−2m12: s+t+u=m12+m22+m32+m42. Só duas variáveis são independentes (além das massas): s e o ângulo de espalhamento. Para partículas sem massa, s+t+u=0, como no Bhabha e Møller.

Referencial do centro de massa Com me→0: p1=(E,0,0,E), p2=(E,0,0,−E), E=s/2. Os múons têm p3=(E, p′sin⁡θ,0, p′cos⁡θ), p4=(E,−p′sin⁡θ,0,−p′cos⁡θ), com p′=βE e β=1−4mμ2/s. Então p1 ⁣⋅ ⁣p3=E(E−p′cos⁡θ) e t=mμ2−s2(1−βcos⁡θ),u=mμ2−s2(1+βcos⁡θ).

Conferir a soma e o domínio s+t+u=s+2mμ2−s=2mμ2=∑mi2 (com me=0), como deve. Para cos⁡θ∈[−1,1], t∈[mμ2−s2(1+β), mμ2−s2(1−β)]; no limite sem massa, β=1 e t=−s2(1−cos⁡θ)∈[−s,0]: t é sempre negativa (tipo-espaço), e t→0 é o espalhamento para frente, onde propagadores 1/t crescem.

Resultado. s+t+u=∑mi2, e no CM sem massas t=−s2(1−cos⁡θ), u=−s2(1+cos⁡θ). Conferência numérica com 4-vetores (s=10 GeV, mμ=0,105658 GeV, me=0,000511 GeV, θ=90∘): s=100,000, t=u=−49,9888 GeV2, s+t+u=0,022328=2mμ2+2me2, exatamente a soma das massas ao quadrado.

Decaimento W⁻ → e⁻ ν̄ₑ

Um único vértice de corrente carregada. Clique no bóson W, no vértice ou nas linhas finais.

Espalhamento Compton e⁻γ → e⁻γ

Dois vértices QED ligados por um propagador de elétron (canal s mostrado; a amplitude total soma s e u).

Espalhamento quark–glúon q g → q g

Análogo ao Compton, mas com troca de cor (matrizes de Gell-Mann) e vértices da QCD.

e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ (canal s · fóton)

Aniquilação em fóton virtual e recriação de um par de múons — a 'vela-padrão' da QED em colisores e+e−.

Decaimento do múon · μ−→e− νˉe νμ

Mediado pelo W; no limite de baixa energia reduz-se à interação de Fermi GF. É a base da medida da vida do múon.

O texto diz que o decaimento μ−→e−νˉeνμ, mediado pelo W, reduz-se no limite de baixa energia à interação de Fermi. Montamos a amplitude com o dicionário de Feynman e tomamos q2≪mW2. Convenção: vértice W de corrente carregada (ver a força fraca), gauge unitário, ℏ=c=1.

O vértice, da Lagrangiana O termo de corrente carregada LCC=−g22 Wμ+ νˉγμ(1−γ5)ℓ+h.c. tem três campos (W, ν, ℓ). A regra de Feynman é i vezes o coeficiente: − i g22 γμ(1−γ5).

O propagador do W Em gauge unitário, com momento q transferido (q=pμ−pνμ): −i(gμν−qμqν/mW2)q2−mW2+iϵ.

A amplitude do diagrama Dois vértices (um no múon, um no elétron) e um propagador: iM=(−ig22)2[uˉνμγμ(1−γ5)uμ]−i(gμν−qμqν/mW2)q2−mW2[uˉeγν(1−γ5)vνe].

Limite de baixa energia No decaimento, q2≤mμ2≃0,0112 GeV2≪mW2≃6460 GeV2: q2/mW2∼1,7×10−6. O propagador vira −i gμν−mW2=i gμνmW2; o termo qμqν é suprimido por mℓ2/mW2 (pela equação de Dirac contra as correntes). Com (−ig/22)2=−g2/8: iM≃− i g28mW2 [uˉνμγμ(1−γ5)uμ][uˉeγμ(1−γ5)vνe].

Comparar com a teoria de Fermi A interação de contato LF=−GF2[νˉμγμ(1−γ5)μ][eˉγμ(1−γ5)νe] dá o vértice −iGF2[⋯ ][⋯ ]. Igualando: GF2=g28 mW2.

Número Com g2=4πα(mZ)/sin⁡2θW=4π/(127,95×0,2312)=0,4248 e mW=80,377 GeV: GF=2 g2/(8mW2)=1,1624×10−5 GeV−2 em ordem de árvore, 0,34% abaixo do medido 1,16638×10−5 (a diferença são correções de loop). Usando a fórmula padrão (não derivada aqui) Γμ=GF2mμ5/192π3, com o GF medido, obtém-se τμ=2,187 μs contra 2,197 μs observado (0,4%: correções radiativas e massa do elétron).

Resultado. Para ∣q2∣≪mW2, a troca de W equivale a um vértice de quatro férmions com GF/2=g2/8mW2. Valor de árvore GF=1,162×10−5 GeV−2, a 0,3% do valor medido; correção da aproximação de contato ∼q2/mW2≈1,7×10−6.

Decaimento do Higgs H → b b̄

Vértice de Yukawa: o Higgs acopla ∝mf, daí decair preferencialmente em bbˉ (canal dominante entre os acessíveis).

e⁺e⁻ → Z → μ⁺μ⁻ · o pico do Z

A mesma aniquilação de antes, mas com um Z virtual no lugar do fóton. O propagador ganha a largura ΓZ, que faz a seção de choque subir mais de cem vezes perto de s=mZ (veja o laboratório na seção de observáveis). Os vértices distinguem as duas mãos.

Drell–Yan · q q̄ → γ*/Z → ℓ⁺ℓ⁻ (misto)

No LHC, um quark de um próton aniquila um antiquark do outro. A entrada é QCD (as funções de distribuição dizem com que probabilidade cada parton aparece, e o fóton só aniquila pares de mesma cor); o miolo é eletrofraco. Foi assim que o W e o Z foram descobertos (1983) e é como se procuram novos bósons Z′.

q q̄ → g* → q′ q̄′ · QCD pura

Troque o fóton por um glúon: o vértice ganha uma matriz de cor ta, e o glúon virtual pode aniquilar quark e antiquark de cores diferentes. O resultado são dois jatos. O fator de cor 49 vem da soma sobre as cores.

g g → H · fusão de glúons por um loop de top (loop)

O Higgs não acopla aos glúons, que não têm massa. Ele é produzido por um loop: os glúons criam um par de quarks top virtuais, que se aniquilam no Higgs. O loop custa um fator αs/π, mas a enorme quantidade de glúons no próton e o acoplamento grande do top tornam este o principal modo de produção do Higgs no LHC.

e⁺e⁻ → W⁺W⁻ · o vértice triplo de bósons (misto, não-abeliano)

No LEP2 os pares W+W− foram produzidos por três diagramas: troca de neutrino (canal t), fóton e Z no canal s com o vértice triplo γWW e ZWW. Cada um sozinho cresce sem limite com a energia; a soma não, porque os acoplamentos são exatamente os que a simetria de gauge prevê. A medida confirmou esse cancelamento: foi o primeiro teste direto da estrutura não-abeliana da força fraca.

Mistura B̄⁰ → B⁰ · o diagrama de caixa (dois loops de W)

Um méson pode virar sua própria antipartícula trocando dois W, num diagrama em forma de caixa. É um processo de segunda ordem na força fraca, dominado pelo quark top virtual, e mede ∣Vtd∣. A mesma caixa explica a oscilação dos káons e é uma das sondas mais sensíveis a partículas pesadas desconhecidas circulando no loop.