Calculando observáveis físicas
De 𝓜 às grandezas medidas: taxas de decaimento e seções de choque.
Com ∣M∣2 em mãos (somado/promediado sobre spins), integramos sobre o espaço de fase invariante de Lorentz (LIPS).
Taxa de decaimento Γ
O texto dá Γ1→2=∣p∣ ∣M∣2‾/(8πM2) e, para W−→e−νˉe, ∣M∣2‾=g2mW2/3 e Γ=g2mW/48π. Derivamos as três coisas. Decaimento de uma partícula de massa M em duas, no seu repouso, ℏ=c=1.
O espaço de fase de dois corpos De dΠ2=(2π)4δ(4)(P−p1−p2)d3p1(2π)32E1d3p2(2π)32E2, a integral em p2 elimina δ3 e deixa, com d3p1=p2dp dΩ e p=∣p1∣: dΠ2=116π2 p2 dp dΩE1E2 δ(M−E1−E2).
A delta de energia Com Ei=p2+mi2, d(E1+E2)dp=pE1+pE2=pME1E2 (usando E1+E2=M). Logo ∫dp δ(⋯ )=E1E2/(pM) e dΠ2=p16π2M dΩ,Π2=∫dΠ2=p4πM(amplitude isotroˊpica).
A largura dΓ=12M∣M∣2‾ dΠ2 dá Γ1→2=12M ∣M∣2‾ p4πM=p8πM2 ∣M∣2‾,p=λ(M2,m12,m22)2M. A última expressão segue de E1=(M2+m12−m22)/2M e p2=E12−m12=λ/4M2. Sem massas, p=M/2 e Γ=∣M∣2‾/(16πM).
A amplitude W→eνˉ Com o vértice −ig22γμ(1−γ5): M=g22 ϵμ uˉeγμ(1−γ5)vν. Somando spins (traço, massa zero), o termo com γ5 é antissimétrico em μν e some contra ∑ϵμϵν∗, que é simétrico: Lμν=Tr[p̸eγμ(1−γ5)p̸νγν(1−γ5)] → 8[peμpνν+peνpνμ−gμνpe ⋅ pν]. Contraindo com ∑λϵμϵν∗=−gμν+qμqν/mW2, q=pe+pν: −gμνLμν=8(4−2) pe ⋅ pν=16 pe ⋅ pν, e qμqνLμν=8[2(q ⋅ pe)(q ⋅ pν)−q2pe ⋅ pν]=0 (pois q ⋅ pe=q ⋅ pν=pe ⋅ pν e q2=2pe ⋅ pν). Com mW2=2pe ⋅ pν: ∑spins, pol∣M∣2=g28⋅16 pe ⋅ pν=g2mW2,∣M∣2‾=g2mW23 (média sobre as 3 polarizações do W).
A largura Com p=mW/2: Γ(W→eν)=∣M∣2‾16πmW=g2mW48π=GFmW36π2, onde usamos g2=8GFmW2/2 (limite de Fermi).
Resultado. Π2=p/4πM, Γ1→2=p ∣M∣2‾/8πM2, Γ(W→eν)=g2mW/48π=GFmW3/(6π2). Números: com GF=1,16638×10−5 GeV−2 e mW=80,377 GeV, Γ=0,2272 GeV; com g2=0,4248 (de α(mZ) e sin2θW), Γ=0,2264 GeV. Ordem de árvore, um canal leptônico. Nove canais iguais (3 leptônicos e 2 famílias de quarks com 3 cores, ∣V∣≈1) dariam 9×0,2272=2,05 GeV, sem correções de QCD.
Seção de choque σ
Cada evento é uma colisão e+e− no centro de massa: os dois múons saem em direções opostas (conservação de momento), num ângulo θ sorteado. Sem dinâmica, todas as direções seriam igualmente prováveis (espaço de fase puro). A QED diz que a probabilidade vai como 1+cos2θ (do ∣M∣2 somado sobre spins), e o histograma converge para essa curva. A mesma amostragem estima a integral ∫−11(1+c2) dc=8/3, que dá σ=4πα2/3s: o erro cai como 1/N. É assim que geradores de eventos calculam seções de choque de processos complicados.
Laboratório: do 𝓜 ao número de eventos
Aqui a receita inteira roda de uma vez para um processo real, e+e−→μ+μ−, com os dois diagramas (fóton e Z). Mude a energia e veja a seção de choque subir mais de cem vezes no pico do Z, a assimetria frente-trás trocar de sinal ao atravessá-lo, e os eventos simulados preencherem a distribuição angular. A luminosidade transforma a seção de choque no que um experimento conta.
A conta inteira do módulo Regras de Feynman num só lugar. A amplitude soma dois diagramas, a troca de um fóton e a de um Z; elevada ao quadrado e somada sobre spins, dá dσdcosθ=πα22s[A0(1+cos2θ)+A1cosθ]. Esquerda: a seção de choque total σ(s); a linha tracejada é só o fóton (σ=4πα2/3s, cai como 1/s), a cheia inclui o Z, com a ressonância de Breit–Wigner em 91,19 GeV, mais de 100 vezes acima. Direita: cada ponto é um par de múons simulado, sorteado da distribuição angular; o histograma converge para a curva. Abaixo do Z a interferência fóton–Z empurra os múons para trás (AFB<0), acima para frente; no pico ela se anula. A luminosidade converte probabilidade em número de eventos: N=σ L. Fórmulas de ordem árvore com α(mZ)=1/128,9, sem radiação inicial.
Exemplos
Alta energia (s≫mμ2); dσdΩ=α24s(1+cos2θ).
Nc=3 (quarks), 1 (léptons); supressão no limiar.
Uma das previsões mais testadas do MP (LEP).
A regra de ouro de Fermi, de onde vem a estrutura taxa = ∣M∣2× espaço de fase, está derivada na mecânica quântica em perturbação dependente do tempo.