O momento magnético anômalo do múon

Partículas com spin e carga se comportam como pequenos ímãs. A equação de Dirac prevê a intensidade exata desse ímã: o fator g=2. Os loops quânticos mudam isso por cerca de 0,1%, e medir essa diferença com precisão de partes por bilhão testa todas as partículas do Modelo Padrão de uma vez.

Um múon girando num campo magnético faz seu ímã interno precessar, como um pião que bambeia. A rapidez dessa precessão depende do fator g. Se g fosse exatamente 2, o spin do múon acompanharia perfeitamente o seu movimento num anel magnético. Como g é um pouco maior que 2, o spin se adianta e dá uma volta a mais a cada ~30 voltas no anel.

A diferença vem de partículas virtuais que aparecem e somem em volta do múon: fótons, pares elétron-pósitron, bósons W e Z e, a parte mais difícil de calcular, quarks e glúons. Como qualquer partícula desconhecida também contribuiria, comparar a medida com o cálculo é uma busca por física nova.

De onde vem o desvio de 2

O vértice completo é uˉ(p′)Γμu(p) com Γμ=F1γμ+F2 iσμνqν2m, q=p′−p, σμν=i2[γμ,γν]. Como g=2(1+F2(0)), basta calcular o coeficiente de iσμνqν/2m na correção δΓμ em que um fóton liga as pernas do elétron (diagrama de vértice). Elétron com p2=p′2=m2, k o momento do elétron antes do vértice externo, k′=k+q. Gauge de Feynman, d=4 (o F2 é finito).

A amplitude e a álgebra de Dirac Com o vértice −ieΓμ: uˉ′ δΓμu=−ie2 ⁣∫ ⁣d4k(2π)4uˉ′ γν(k̸′+m)γμ(k̸+m)γν u(k2−m2)(k′2−m2)(k−p)2. Em 4D, γνa̸γμb̸γν=−2b̸γμa̸, γνa̸γμγν=4aμ, γνγμb̸γν=4bμ e γνγμγν=−2γμ, de modo que o numerador é −2[k̸γμk̸′−2m(k+k′)μ+m2γμ] e uˉ′ δΓμu=2ie2 ⁣∫ ⁣d4k(2π)4uˉ′[k̸γμk̸′+m2γμ−2m(k+k′)μ]u(k2−m2)(k′2−m2)(k−p)2.

Três parâmetros de Feynman 1ABC=2∫dx dy dz δ(x+y+z−1)/(xA+yB+zC)3. Com p⋅q=−q2/2 (de p′2=m2), completar o quadrado dá xA+yB+zC=ℓ2−Δ com ℓ=k+yq−zp,Δ=m2(1−z)2−xy q2. Então k=ℓ−yq+zp e k′=ℓ+(1−y)q+zp. Termos com ℓ ímpar somem; os com ℓαℓβ são ∝γμ (contribuem a F1). Para F2 basta o numerador com ℓ=0.

Reduzir o numerador sobre os espinores Escreva k→zp−yq=(y+z)p−yp′ e k′→zp+(1−y)q=(1−y)p′−xp (com x+y+z=1). Usando uˉ′p̸′=muˉ′ e p̸ u=m u e as trocas p̸γμ=2pμ−γμp̸, γμp̸′=2p′μ−p̸′γμ, os quatro termos de uˉ′k̸γμk̸′u dão, no coeficiente de Pμ≡(p+p′)μ (os termos ∝qμ se anulam ao integrar, por simetria x↔y do denominador, ou pela identidade de Ward): (y+z)(1−y)⋅2m − (y+z)x m − y(1−y) m. (O primeiro vem de uˉ′p̸γμp̸′u=2mPμuˉ′u−(… )uˉ′γμu; o segundo e o terceiro de pμ→Pμ/2, p′μ→Pμ/2.) O termo −2m(k+k′)μ→−2mzPμ. Somando, com y+z=1−x e z=1−x−y: b Pμ com b=m[2(1−x)(1−y)−x(1−x)−y(1−y)−2z]=m[(x+y)2−(x+y)]=−m z(1−z).

Identidade de Gordon uˉ′γμu=uˉ′[Pμ2m+iσμνqν2m]u, isto é, uˉ′Pμu=uˉ′[2mγμ−iσμνqν]u. Assim b Pμ→−b iσμνqν+(∝γμ)=iσμνqν2m 2m2z(1−z)+(∝γμ). O coeficiente de iσμνqν/2m no numerador é 2m2z(1−z).

A integral em ℓ Pela fórmula mestra com n=3, d=4: ∫d4ℓ(2π)4(ℓ2−Δ)−3=−i32π2Δ (verificada à parte). Com o fator 2 do Feynman e 2ie2: F2(q2)=2ie2⋅2⋅(−i32π2) ⁣∫ ⁣dx dy dz δ(x+y+z−1)2m2z(1−z)Δ=α2π ⁣∫ ⁣dx dy dz δ(⋅)2m2z(1−z)m2(1−z)2−xy q2, pois 4e2/32π2=e2/8π2=α/2π.

O limite q2→0 Em q2=0 o integrando só depende de z, e ∫dx dy δ(x+y+z−1)=1−z: F2(0)=α2π∫01 ⁣dz (1−z) 2z(1−z)(1−z)2=α2π∫01 ⁣2z dz=α2π.

Resultado. F2(0)=α/2π, logo a=(g−2)/2=α/2π=0,00116141 (para α−1=137,036), o resultado de Schwinger de 1948. Verificação com a tabela: somando os termos de ordem superior da QED do múon (coeficientes da literatura, citados e não recalculados: 0,765857 (α/π)2+24,0505 (α/π)3+130,88 (α/π)4), obtém-se aμQED≈1,1658471×10−3=116 584 714×10−11, contra 116 584 719×10−11 da linha QED da tabela acima (a diferença de 5×10−11 vem dos termos de 5 loops, que não incluímos).

Múons circulam num anel magnético. O momento gira com a frequência de cíclotron; o spin gira com a mesma frequência vezes (1+aμγ), onde aμ=(g−2)/2 é a anomalia magnética, nascida dos loops quânticos (módulo Renormalização). Se g fosse exatamente 2, spin e momento girariam juntos. Como não é, o spin se adianta à taxa ωa=aμeB/m. Os pósitrons do decaimento saem preferencialmente na direção do spin, então a contagem de pósitrons energéticos oscila: o "gráfico de wiggle". Medindo ωa, o Fermilab mediu aμ com 0,13 ppm. Em 2025 a previsão do Modelo Padrão, atualizada com a contribuição hadrônica calculada na QCD na rede, passou a concordar com a medida; a tensão de ~4σ anunciada em 2021 vinha de uma estimativa anterior dessa contribuição.