O dicionário de Feynman
As regras práticas: linhas externas, propagadores e vértices que montam a amplitude 𝓜.
Para extrair a amplitude M, traduzimos cada peça da Lagrangiana em uma regra gráfica e matemática. Linhas externas, propagadores e vértices.
Um diagrama de Feynman é um desenho que vira uma conta. Cada elemento do desenho tem uma tradução fixa:
Linhas que entram e saem (partículas reais): um vetor que descreve o spin ou a polarização.
Linhas internas (partículas virtuais): um propagador, a amplitude de a partícula ir de um ponto ao outro, grande quando ela está quase “real”.
Vértices (onde as linhas se encontram): uma constante de acoplamento, lida diretamente na Lagrangiana.
Multiplicando tudo ao longo do diagrama obtém-se a amplitude M.
Seis processos, das três forças: QED (aniquilação, espalhamento, Compton), o Z, o W (decaimento beta) e o Higgs. Cada peça do desenho tem uma tradução fixa (o dicionário acima). Passo a passo, a linha de férmion é lida contra o sentido das setas, de onde ela termina para onde começa, multiplicando espinores e vértices; os propagadores ligam as linhas. O resultado é a amplitude iM; a probabilidade do processo vem de ∣M∣2.
Receita geral
Só um diagrama: o par e+e− se aniquila num fóton virtual de momento q=p1+p2, que cria o par μ+μ−. Seguindo os passos: linhas externas vˉ(p2), u(p1), uˉ(p3), v(p4); dois vértices −ieγμ e −ieγν; um propagador −igμν/q2. Andando contra as setas:
A receita acima dá iM; o texto afirma que a soma sobre spins (traços) e a integral angular levam a ∣M∣2‾=e4(1+cos2θ) e a σ=4πα2/3s. Mostramos o cálculo. Processo e−(p1)e+(p2)→μ−(p3)μ+(p4), todas as massas desprezadas (s≫mμ2), q=p1+p2, s=q2, e2=4πα.
A amplitude Dois vértices −ieγμ e o propagador −igμν/q2, com os fatores (−ie)2(−i)=ie2: iM=ie2s [vˉ(p2)γμu(p1)][uˉ(p3)γμv(p4)] ⇒ M=e2s [vˉ2γμu1][uˉ3γμv4].
Quadrado e soma sobre spins Usando [vˉ2γμu1]∗=uˉ1γμv2 e as relações de completeza ∑uuˉ=p̸, ∑vvˉ=p̸ (massa zero), cada corrente vira um traço: ∑spins∣M∣2=e4s2 LμνHμν,Lμν=Tr[p̸2γμp̸1γν],Hμν=Tr[p̸3γμp̸4γν].
Os traços Com Tr[a̸γμb̸γν]=4(aμbν+aνbμ−gμν a⋅b): Lμν=4[p2μp1ν+p2νp1μ−gμνp1 ⋅ p2],Hμν=4[p3μp4ν+p3νp4μ−gμν p3 ⋅ p4].
Contração Os termos pμpν×pμpν dão 2(p1 ⋅ p3)(p2 ⋅ p4)+2(p1 ⋅ p4)(p2 ⋅ p3); os termos cruzados com g dão −2(p1 ⋅ p2)(p3 ⋅ p4) duas vezes e o termo gg dá +4(p1 ⋅ p2)(p3 ⋅ p4) (gμμ=4); eles se cancelam. Fica LμνHμν=32[(p1 ⋅ p3)(p2 ⋅ p4)+(p1 ⋅ p4)(p2 ⋅ p3)].
Cinemática no centro de massa Com E=s/2 e θ o ângulo entre p1 e p3: p1 ⋅ p3=p2 ⋅ p4=E2(1−cosθ)=s4(1−cosθ) e p1 ⋅ p4=p2 ⋅ p3=s4(1+cosθ). Então ∑spins∣M∣2=e4s2⋅32⋅s216[(1−cosθ)2+(1+cosθ)2]=4e4 (1+cos2θ). Média sobre os 2×2=4 spins iniciais: ∣M∣2‾=e4(1+cos2θ).
Seção de choque Para 2→2 sem massas, dσdΩ=∣M∣2‾64π2s (ver observáveis). Com e4=16π2α2 e ∫−11(1+c2)dc=83: dσdΩ=α24s (1+cos2θ),σ=2π⋅α24s⋅83=4πα23s.
Resultado. ∣M∣2‾=e4(1+cos2θ), dσdΩ=α24s(1+cos2θ), σ=4πα23s. Número (α=1/137,036, 1 GeV−2=0,3894 mb): σ s=4πα2/3=86,86 nb⋅GeV2, e em s=10 GeV, σ=0,869 nb. A distribuição 1+cos2θ vem das helicidades: só eL−eR+ (ou RL) se aniquilam em um fóton, e o par de múons herda Jz=±1 ao longo do eixo do feixe.
O dicionário, peça por peça
Escolha uma família (linhas externas, propagadores ou vértices) e clique em cada peça: o desenho mostra a linha como ela aparece nos diagramas, com o momento andando (pontos brancos) e a seta de fluxo de férmion; ao lado aparecem a regra matemática, o que ela significa e o termo da Lagrangiana de onde ela sai.
Cada peça do diagrama tem uma tradução fixa. Linhas externas são as partículas reais que entram e saem; propagadores são as virtuais, por dentro; vértices são os pontos onde a Lagrangiana de interação liga as linhas. Os pontinhos brancos andam no sentido do momento; a seta desenhada na linha de férmion é o fluxo de férmion, que para antipartículas aponta ao contrário. Clique numa peça para ver a regra, o termo da Lagrangiana de onde ela sai e o desenho ampliado.