Tunelamento e aproximação WKB

Quando o potencial varia devagar frente ao comprimento de onda, a equação de Schrödinger pode ser resolvida como uma série em ℏ cuja ordem zero é a mecânica clássica. É a aproximação WKB. Ela explica o tunelamento (amplitudes que decaem exponencialmente dentro de uma região classicamente proibida), a regra de quantização de Bohr–Sommerfeld e o decaimento α. E é o elo entre a mecânica ondulatória de A equação de Schrödinger e os instantons.

Uma bola que rola contra um morro sem energia suficiente volta. Uma onda não: ela vaza para dentro do morro, com amplitude que cai exponencialmente, e, se o morro é fino, sai do outro lado com um pouco do que tinha. Quão pouco depende de quanto a onda “custa” atravessar: de quanto vale o morro acima da energia, e da largura. Esse custo é a integral de 2m(V−E)/ℏ ao longo do morro. A transmissão é e−2×custo. Por isso um núcleo de urânio, com meia-vida de bilhões de anos, está pronto para emitir uma α a cada 10−21 s e só consegue uma vez em 1038 tentativas.

A ideia: fase = ação

Escreva ψ=eiS/ℏ na equação de Schrödinger estacionária e expanda S em potências de ℏ. A ordem zero é a equação de Hamilton–Jacobi; a ordem um fixa a amplitude como 1/p.

Em uma dimensão, −ℏ22mψ′′+Vψ=Eψ. Define-se p(x)=2m(E−V(x)) (real onde classicamente permitido). Se V fosse constante, ψ=e±ipx/ℏ. O método WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin, 1926; antes Jeffreys, Liouville, Green) é uma série em ℏ em torno dessa forma.

A equação para a fase Escreva ψ=eiS(x)/ℏ com S complexa em geral. Então ψ′′=(iS′′/ℏ−S′2/ℏ2)ψ e a equação de Schrödinger, exata, vira S′2−iℏ S′′=p(x)2. Para ℏ→0 o termo com S′′ some e recupera-se a equação de Hamilton–Jacobi S′2=2m(E−V) (o limite ℏ→0 da integral de caminho).

Série em ℏ Proponha S=S0+ℏiS1+(ℏi)2S2+… e iguale potências de ℏ. Ordem ℏ0: (S0′)2=p2⟹S0(x)=±∫xp(x′) dx′. Ordem ℏ1: de S′2 vem 2S0′ S1′/i e de −iℏS′′ vem −iS0′′ (já em ℏ1). Multiplicando por i: 2S0′S1′+S0′′=0⟹S1′=−S0′′2S0′⟹S1=−12ln⁡S0′=−12ln⁡p.

A função de onda iS/ℏ=iS0/ℏ+S1+O(ℏ), portanto eS1=p−1/2 e, com as duas ramificações do sinal, ψWKB(x)=1p(x)[C+ e+iℏ∫xp dx′+C− e−iℏ∫xp dx′]. Interpretação: ∣ψ∣2∝1/p∝1/v, a probabilidade clássica de encontrar a partícula em dx é o tempo que ela passa ali, dx/v. A fase ∫p dx/ℏ é a ação reduzida. O fluxo j∝∣ψ∣2 p/m é constante em x: p−1/2 é exatamente o fator que o conserva.

Região proibida Onde E<V, p=iℏκ com κ(x)=2m(V−E)/ℏ. A mesma conta dá ψWKB(x)=1κ(x)[F e−∫xκ dx′+G e+∫xκ dx′].

Quando a série é boa O termo desprezado em S′2−iℏS′′ é pequeno se ∣ℏS0′′∣≪(S0′)2. Com S0′=p: ∣ℏ p′p2∣≪1 ⟺ ∣dλˉdx∣≪1,λˉ=ℏp⟺mℏ ∣V′∣p3≪1. O comprimento de onda de de Broglie reduzido varia pouco ao longo de um λˉ. A condição falha onde p→0: nos pontos de retorno, p→0 com V′≠0 e a razão diverge. Lá é preciso resolver a equação exata numa vizinhança e costurar (próximo bloco).

Resultado. ψ≈p−1/2 e±i∫p dx/ℏ, com erro relativo O(ℏ ∣p′∣/p2). É a ponte quantitativa com a mecânica clássica: fase = ação, amplitude = densidade clássica. Para a região proibida, κ−1/2e±∫κ; entre as duas, os pontos de retorno exigem as fórmulas de conexão.

Os pontos de retorno e a regra de Bohr–Sommerfeld

Num ponto de retorno o WKB falha, mas o potencial é aproximadamente linear ali e a equação exata é a de Airy, ψ′′=z ψ. Costurar a solução de Airy às duas WKB vizinhas dá as fórmulas de conexão, que levam a oscilação do lado permitido (com a fase −π/4) à exponencial do lado proibido. Aplicadas aos dois pontos de retorno de um poço, quantizam a energia.

Perto de um ponto de retorno b o potencial é aproximadamente linear, e a equação de Schrödinger tem solução exata em funções de Airy. Costurando essa solução às duas WKB dos lados, obtém-se a regra que liga a oscilação na região permitida ao decaimento na proibida, incluindo o deslocamento de fase −π/4. Convenção: permitido em x<b, proibido em x>b, V′(b)>0.

Linearizar e reduzir a Airy p2=2m(E−V)≈−2mV′(b)(x−b). Com z=(x−b)/ℓ, ℓ=(ℏ2/2mV′(b))1/3: d2ψdz2=z ψ. Soluções: Ai(z) e Bi(z). A escala ℓ é a largura da vizinhança em que o WKB falha; o WKB reaparece para ∣z∣≫1, o que é consistente se ℓ for pequena frente à escala de variação de V.

Assintóticas Com ζ=23∣z∣3/2: Ai(z)∼e−ζ2π z1/4,Bi(z)∼e+ζπ z1/4 (z→+∞);Ai(−∣z∣)∼sin⁡(ζ+π/4)π ∣z∣1/4,Bi(−∣z∣)∼cos⁡(ζ+π/4)π ∣z∣1/4.

Identificar ζ com a ação Em x<b: ∫xbp dx′/ℏ=23∣z∣3/2=ζ (integre p=ℏ∣z∣/ℓ). Em x>b: ∫bxκ dx′=23z3/2. Além disso p−1/2∝∣z∣−1/4 e κ−1/2∝z−1/4: o prefator z−1/4 é exatamente o 1/p do WKB, o que prova que a mesma função cobre as três regiões.

As duas regras Use sin⁡(ζ+π/4)=cos⁡(ζ−π/4) para a primeira e cos⁡(ζ+π/4)=−sin⁡(ζ−π/4) para a segunda: 1κ e−∫bxκ dx′ ⟷ 2pcos⁡ ⁣(1ℏ ⁣∫xbp dx′−π4),1κ e+∫bxκ dx′ ⟷ −1psin⁡ ⁣(1ℏ ⁣∫xbp dx′−π4). (Advertência clássica: a regra do exponencial decrescente vale nos dois sentidos; a do crescente, com um termo desprezível acompanhante, vale só no sentido proibido→permitido. Para a regra de quantização usa-se a primeira, que é segura.)

Bohr–Sommerfeld Poço com pontos de retorno a<b e E ligado: na região permitida, saindo do ponto b a solução que decai na parede direita é ∝p−1/2cos⁡(∫xbp/ℏ−π/4). Saindo de a, a que decai à esquerda é ∝p−1/2cos⁡(∫axp/ℏ−π/4). Elas devem ser a mesma função, a menos de sinal. Seja Φ(x)=∫axp/ℏ e Θ=∫abp/ℏ: cos⁡(Θ−Φ−π4)=cos⁡(Φ−π4+(π2−Θ))=±cos⁡(Φ−π4) ∀x ⟺ π2−Θ=−nπ. Isto é, Θ=(n+12)π, e como 2Θ=∮p dx/ℏ: ∮p dx=2πℏ (n+12),n=0,1,2,…

Teste: o oscilador Em E=p2/2m+12mω2x2, a órbita é uma elipse de semieixos xm=2E/mω2 e pm=2mE, com área ∮p dx=πxmpm=2πE/ω. Logo En=ℏω(n+12), exato (acidente do oscilador). O 12 vem do π/4 em cada ponto de retorno: sem ele sairia E=nℏω, o resultado da “velha teoria quântica”, errado por 12ℏω. Com parede rígida em vez de ponto de retorno suave a fase por parede é π/2 em vez de π/4 (ψ=0 ali), e para o poço infinito sai ∮p dx=2pL=2πℏ(n+1), En∝(n+1)2, também exato.

Resultado. Decaimento κ−1/2e−∫κ ↔ 2p−1/2cos⁡(∫p/ℏ−π/4), e a quantização ∮p dx=2πℏ(n+12). Em n≫1 o erro cai como 1/n; mesmo para n=0 o erro típico é de poucos por cento para potenciais suaves.

Tunelamento: transmissão por uma barreira

Com os dois pontos de retorno a<b de uma barreira, a onda transmitida à direita fica ligada ao interior da barreira pela fórmula de conexão em b, e ao lado incidente pela fórmula em a. Em resultado, a transmissão é e−2S, com S a integral de κ entre a e b. O widget calcula T(E) exatamente, integrando a equação de Schrödinger para trás a partir de uma onda puramente transmitida, e compara com o WKB.

Barreira suave com pontos de retorno a<b: permitido em x<a e x>b, proibido entre eles. À direita só há onda transmitida; à esquerda, incidente mais refletida. Usam-se as duas fórmulas de conexão do bloco anterior (uma em cada ponto de retorno). Defina φ(x)=∫axκ dx′ e S=φ(b)=∫abκ dx, κ=2m(V−E)/ℏ.

A onda transmitida costurada em b À direita, ψ=tpei(θ−π/4) com θ=∫bxp dx′/ℏ. Separe em cosseno e seno de θ−π/4; as regras (espelhadas, com o permitido à direita de b) dão cos⁡→12κ−1/2e−∫xbκ e sin⁡→−κ−1/2e+∫xbκ. Dentro da barreira, com ∫xbκ=S−φ(x): ψbarreira=tκ[12e−S e+φ−i eS e−φ] ⟹ F=−i t eS,G=12 t e−S, onde ψ=κ−1/2(Fe−φ+Ge+φ). A componente que cresce para a esquerda domina por e2S sobre a outra.

Costura em a À esquerda, com u=∫xap dx′/ℏ−π/4, as mesmas regras dão ψ=p−1/2 [ 2Fcos⁡u−Gsin⁡u ]. Em exponenciais (θa diminui com x, então e−iu viaja para +x e e+iu para −x): ψesq=1p[(F−i2G)⏟incidentee−iu+(F+i2G)⏟refletidae+iu].

Substituir F e G e tomar fluxos F∓i2G=−it (eS±14e−S) (a refletida com o sinal −). O fator p−1/2 é o mesmo nos dois lados e os p coincidem à esquerda e à direita (mesmo V assintótico), então fluxo ∝∣amplitude∣2: T=∣t∣2∣F−i2G∣2=1(eS+14e−S)2=e−2S(1+14e−2S)2,R=(eS−14e−S)2(eS+14e−S)2. Verificação: T+R=[1+(eS−14e−S)2]/(eS+14e−S)2=1, pois (eS+14e−S)2=e2S+12+116e−2S. O fluxo é conservado, e a conta fecha.

O resultado usual e o seu limite de validade Para S≫1: T≃e−2S, isto é T≃exp⁡ ⁣[−2ℏ∫ab2m (V(x)−E) dx]. O fator 14e−2S é uma correção de ordem e−2S, menor que o erro das próprias fórmulas de conexão quando S≲1: perto do topo da barreira, onde a→b, S→0 e o WKB nu dá T→1 (o laranja do widget), a resposta correta vem do tratamento parabólico uniforme, T=1/(1+e2S), que vale 12 exatamente no topo e usa S continuado analiticamente acima dele (a curva amarela). Para a barreira V0 sech2 a fórmula exata de Pöschl–Teller concorda com 1/(1+e2S) a menos de 5% no topo (Λ=8) e com e−2S a cerca de 5% em Λ=16, E=0,2V0 (ver widget).