Superposição e interferência

Aqui está o coração de tudo. Um sistema quântico pode estar em uma combinação de situações que, no mundo grande, seriam mutuamente exclusivas — e o resultado não é "está numa ou noutra e não sabemos qual".

A diferença é medível, e o nome dela é interferência: as possibilidades se somam como ondas, podendo se reforçar ou se cancelar. Se fosse ignorância, isso nunca aconteceria. É por isso que a dupla fenda é o experimento que mais aparece em livro de divulgação: ele torna a diferença visível.

Superposição é consequência direta da linearidade: se ∣ψ1⟩ e ∣ψ2⟩ são estados possíveis, c1∣ψ1⟩+c2∣ψ2⟩ também é. Parece banal. O que não é banal é o que acontece quando você aplica Born:

Aquele terceiro termo é a mecânica quântica inteira. Ele pode ser positivo ou negativo, criando franjas onde a soma de duas possibilidades dá menos que cada uma sozinha. Ele depende da fase relativa entre c1 e c2. E ele desaparece assim que a informação de "qual caminho" vaza para o ambiente — o que é a definição operacional de decoerência.

Caso prático 1 · Superposição de dois níveis: batimentos quânticos

Volte ao poço infinito e prepare ∣ψ⟩=c1∣1⟩+c2∣2⟩. A densidade de probabilidade fica:

Ou seja: a densidade oscila com a diferença de energias. Isso não é uma partícula viajando — é uma onda estacionária pulsando entre dois lados do poço. E o valor médio da posição faz um movimento senoidal exato:

Experimento 1: deslize o peso para 100/0. A densidade congela — estado estacionário puro, sem movimento. Experimento 2: volte para 50/50, onde o termo de interferência é máximo e ⟨x⟩ oscila com a maior amplitude possível. Experimento 3: mexa em δ: você não muda nenhuma probabilidade de energia (|c₁|², |c₂|² ficam iguais), mas desloca a fase de toda a dança. A fase relativa é fisicamente real.

Caso prático 2 · Dupla fenda e complementaridade

O experimento paradigmático. Duas fendas separadas por d, tela a distância L. Cada fenda oferece uma amplitude; elas se somam antes do módulo quadrado:

Se você conseguir saber por qual fenda a partícula passou, o padrão some. E não é tudo-ou-nada: existe um trade-off contínuo entre distinguibilidade D e visibilidade das franjas V, com V2+D2≤1.

Cada ponto do histograma é uma partícula individual, detectada como partícula, em posição sorteada por I(y). O padrão de onda emerge só na estatística — nenhuma partícula "interfere com outra"; cada uma interfere consigo mesma. Suba D até 1 e observe as franjas se dissolverem exatamente no envelope clássico: com informação de caminho completa, a soma passa a ser de probabilidades, não de amplitudes. Esse é o mecanismo pelo qual o mundo macroscópico parece clássico.

O texto afirma que, no estado c1∣1⟩+c2∣2⟩ do poço infinito, ⟨x⟩ oscila senoidalmente com amplitude dada por ⟨1|x^|2⟩=−16L/9π2≈−0,1801 L. Derivamos a densidade com o termo de interferência, o valor médio da posição e a integral que dá o elemento de matriz. Autoestados ψn=2/Lsin⁡(nπx/L), En=n2π2ℏ2/2mL2 (Schrödinger).

A densidade e o termo cruzado Com c1,c2≥0, c12+c22=1 e fase relativa δ, os autoestados reais evoluem por fases e−iEnt/ℏ: ψ(x,t)=c1ψ1e−iE1t/ℏ+c2eiδψ2e−iE2t/ℏ. Como ψ1,2 são reais, o módulo quadrado é c12ψ12+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2 Re ei(δ−ω21t): ∣ψ∣2=c12ψ12+c22ψ22+2c1c2 ψ1ψ2cos⁡(ω21t−δ),ω21=E2−E1ℏ.

O valor médio da posição Integrando x∣ψ∣2 sobre [0,L], os termos diagonais dão a posição média de cada autoestado, ∫xψn2dx=L/2 por simetria em torno do centro. Com c12+c22=1: ⟨x⟩(t)=L2+2c1c2 x12cos⁡(ω21t−δ),x12≡∫0Lψ1 x ψ2 dx.

O elemento de matriz x12 Pelo produto de senos, sin⁡πxLsin⁡2πxL=12[cos⁡πxL−cos⁡3πxL], então x12=1L∫0Lx[cos⁡q1x−cos⁡q3x]dx com qk=kπ/L. Por partes, ∫0Lxcos⁡qx dx=[xsin⁡qxq+cos⁡qxq2]0L=cos⁡kπ−1qk2, que vale −2L2k2π2 para k ímpar: x12=1L[−2L2π2+2L29π2]=−169π2 L=−0,18013 L. (Conferência numérica da integral original: −0,180127 L.)

A regra de seleção por paridade Em torno do centro do poço, ψn tem paridade (−1)n+1 e x−L/2 é ímpar, então xmn=0 quando m−n é par (por exemplo x13=0, confirmado numericamente em 10−17). Para m+n ímpar vale xmn=−8L mn/[π2(m2−n2)2]: x12=−0,1801L, x14=−0,0144L, x23=−0,1945L. A luz (acoplamento ∝x^) só liga níveis de paridade oposta.

Amplitude, frequência e período Com c1=c2=1/2 (batimento máximo, 2c1c2=1) e δ=0: ⟨x⟩(t)=L2−0,1801 Lcos⁡ω21t,ω21=3π2ℏ2mL2,T=2πω21=4mL23πℏ. A oscilação tem amplitude de 18,0% de L. Em unidades ℏ=m=L=1, ω21=14,804 e T=0,4244. Para um elétron com L=1 nm, E1=0,3760 eV e T=h/3E1=3,67 fs.

Resultado. ⟨x⟩(t)=L2+2c1c2 x12cos⁡(ω21t−δ) com x12=−16L/9π2, ω21=3π2ℏ/2mL2. Para c1=c2 a amplitude é 0,180 L e o período, para um elétron em 1 nm, 3,67 fs.