Oscilador harmônico

O oscilador harmônico é a massa presa a uma mola, e é de longe o sistema mais reutilizado da física: qualquer coisa perto de um mínimo de energia se comporta assim — moléculas vibrando, cristais, campos eletromagnéticos.

Na versão quântica ele vira uma escada de degraus rigorosamente iguais. Essa regularidade é o que permite parar de dizer "o sistema está no nível 5" e passar a dizer "há 5 quanta aqui" — a troca de vocabulário que gerou a teoria de campos.

Por que tanta atenção a uma mola? Porque todo mínimo de potencial é aproximadamente harmônico: expandindo V(x) em torno de um mínimo, o termo dominante é quadrático. Vibração molecular, fônons em sólidos, modos do campo eletromagnético (fótons!), qubits supercondutores — todos são osciladores harmônicos disfarçados.

O método elegante: operadores de escada

Em vez de resolver a equação diferencial, Dirac fatorou o hamiltoniano. Define-se (com ℏ=m=ω=1):

O operador n^=a^†a^ conta quanta. E as relações de escada fazem todo o trabalho:

No poço infinito (A equação de Schrödinger) os degraus vão ficando mais altos conforme você sobe (En∝n2) — como uma escada de degraus irregulares. No oscilador todos os degraus têm exatamente a mesma altura ℏω.

Essa regularidade é o que transforma "estar no nível 5" em "ter 5 quanta". Você deixa de contar andares e passa a contar objetos — e é exatamente essa troca de leitura que a teoria quântica de campos leva a sério.

Níveis igualmente espaçados por ℏω. Isso é especial — no poço infinito o espaçamento cresce como n2, no hidrogênio ele encolhe. A uniformidade é o que permite falar em "quanta" idênticos: n fótons de energia ħω cada.

E0=ℏω/2≠0. O oscilador não pode parar. Se pudesse, teria x e p simultaneamente definidos e nulos, violando ΔxΔp≥ℏ/2. É energia real: causa a força de Casimir e impede o hélio de solidificar à pressão ambiente.

Note os n nós (zeros) de ψn — mais nós, mais curvatura, mais energia cinética. E veja a densidade clássica em âmbar: para n grande, a envoltória quântica passa a acompanhá-la, com o máximo nos pontos de retorno (onde o oscilador clássico é mais lento). Esse é o princípio da correspondência visível a olho nu.

A matriz de x̂ na base de número

Um exemplo perfeito de "operador como matriz". De x^=(a^+a^†)/2 e das relações de escada, sai que x^ só conecta níveis vizinhos:

Estados coerentes: a ponte com a física clássica

Um autoestado ∣n⟩ não se move — é estacionário. Então como é que uma mola macroscópica oscila? A resposta é o estado coerente ∣α⟩, autoestado do operador de aniquilação: a^∣α⟩=α∣α⟩. Em número, é uma distribuição de Poisson:

Sua mágica: ele é o único estado que oscila sem se deformar. O pacote gaussiano vai e volta com a frequência clássica ω, mantendo largura mínima ΔxΔp=ℏ/2 o tempo todo. É a coisa mais próxima de uma "partícula clássica" que a mecânica quântica permite — e descreve exatamente a luz de um laser.

O pacote é reconstruído a cada quadro pela soma ∑ncne−i(n+1/2)tψn(x) com ~30 termos — não é uma gaussiana desenhada à mão. E mesmo assim ele não se espalha: as fases dos autoestados equidistantes conspiram para reconstituir a mesma forma, deslocada. O readout mostra que Δx fica travado em 1/2≈0.707 e o produto ΔxΔp em 0.500, a incerteza mínima, para todo t. Em α=0 você recupera o estado fundamental parado no fundo do poço.

Partimos só de H^=p^2/2m+12mω2x^2 e [x^,p^]=iℏ, com ℏ,m,ω explícitos (o texto os põe iguais a 1 na definição de a^). Mostramos que a álgebra de escada fixa o espectro, os coeficientes n, n+1, a função de onda do estado fundamental e a matriz de x^, sem resolver nenhuma equação diferencial além de a^∣0⟩=0.

Fatorização e [a^,a^†]=1 Defina a^=mω2ℏ(x^+ip^mω),a^†=mω2ℏ(x^−ip^mω). Então [a^,a^†]=mω2ℏ([x^,−ip^mω]+[ip^mω,x^])=mω2ℏ(ℏmω+ℏmω)=1.

O hamiltoniano em termos de a^ Multiplicando e usando [x^,p^]=iℏ: a^†a^=mω2ℏ(x^2+p^2m2ω2+imω[x^,p^])=H^ℏω−12 ⟹ H^=ℏω(a^†a^+12). Com n^=a^†a^ (hermitiano), as comutações [n^,a^]=−a^ e [n^,a^†]=a^† seguem de [a^,a^†]=1.

Os degraus: a^† sobe e a^ desce por ℏω Se n^∣ν⟩=ν∣ν⟩, então n^ a^∣ν⟩=(a^n^−a^)∣ν⟩=(ν−1) a^∣ν⟩ e n^ a^†∣ν⟩=(ν+1)a^†∣ν⟩. Os autovalores sobem e descem de 1 em 1, logo as energias de ∣ν⟩, ℏω(ν+12), são igualmente espaçadas por ℏω.

A escada tem de terminar em baixo: ν é inteiro ≥0 A norma ao quadrado de a^∣ν⟩ é ⟨ν|a^†a^|ν⟩=ν≥0. Se ν não fosse inteiro, descer sucessivamente daria um ν<0, com norma negativa: absurdo. A única saída é a descida parar em ν=0, com a^∣0⟩=0. Então ν=n=0,1,2,… e En=ℏω(n+12),E0=ℏω2≠0.

Os coeficientes n e n+1 ∥a^∣n⟩∥2=n fixa a^∣n⟩=n∣n−1⟩ (fase escolhida real positiva). E ∥a^†∣n⟩∥2=⟨n|a^a^†|n⟩=⟨n|a^†a^+1|n⟩=n+1 dá a^†∣n⟩=n+1∣n+1⟩. Portanto ∣n⟩=(a^†)n∣0⟩/n!.

O estado fundamental e a incerteza mínima a^∣0⟩=0 na representação de posição (p^=−iℏ∂x) é uma equação de primeira ordem: (x+ℏmω ∂x)ψ0=0 ⇒ ψ0(x)=(mωπℏ) ⁣1/4e−mωx2/2ℏ. De x^=ℏ/2mω (a^+a^†) e p^=−imℏω/2 (a^−a^†), com ⟨a^2⟩=⟨a^†2⟩=0 em ∣n⟩: ⟨x2⟩=ℏ2mω(2n+1),⟨p2⟩=mℏω2(2n+1) ⇒ Δx Δp=ℏ(n+12), mínimo ℏ/2 só em n=0, como no laboratório.

A matriz de x^ e a regra de seleção Pelo passo 5, ⟨m|x^|n⟩=ℏ2mω(n δm,n−1+n+1 δm,n+1): só níveis vizinhos se ligam, Δn=±1. Em unidades ℏ=m=ω=1, ⟨n+1|x^|n⟩=(n+1)/2=0,7071; 1,0000; 1,2247; 1,4142 para n=0,1,2,3, e a diagonal é nula.

Resultado. [a^,a^†]=1, H^=ℏω(a^†a^+12), En=ℏω(n+12), a^∣n⟩=n∣n−1⟩, a^†∣n⟩=n+1∣n+1⟩, ψ0∝e−mωx2/2ℏ, ΔxΔp=ℏ(n+12).