Integral de caminho

Feynman propôs uma forma completamente diferente de calcular a mesma coisa: em vez de perguntar como o estado gira, imagine que a partícula percorre todos os caminhos possíveis ao mesmo tempo — inclusive os absurdos, que vão a Marte e voltam.

Cada caminho contribui com uma seta, e as setas em geral se cancelam. Sobram apenas os caminhos vizinhos ao que a física clássica escolheria, porque só ali elas apontam para o mesmo lado. A trajetória clássica não é imposta: ela é o que sobra do cancelamento.

Feynman fez a pergunta certa: em vez de perguntar "como o estado muda agora" (Schrödinger, visão local no tempo), por que não perguntar "qual é a amplitude total de ir de A até B" (visão global)? A resposta é uma das ideias mais bonitas da física.

O objeto que a integral de caminho calcula não é novo. É um elemento de matriz do operador de evolução que você já conhece — o propagador:

À esquerda, o formalismo de operadores e kets. À direita, a soma sobre histórias. São o mesmo número. A integral de caminho é uma técnica de cálculo alternativa, não uma física diferente.

E o propagador é o que resolve o problema todo: se você o conhece, conhece a evolução de qualquer estado inicial,

Propagadores exatos e a verificação numérica

Para ações quadráticas a integral de caminho é gaussiana e sai em forma fechada. Dois resultados que vale memorizar:

Partícula livre

A fase é exatamente Scl/ℏ. O pré-fator vem da flutuação gaussiana em torno do caminho clássico.

Oscilador harmônico (Mehler)

Divergente em ωT=nπ: são os focos, onde todos os caminhos clássicos reconvergem.

Podemos testar numericamente que a soma sobre caminhos e a soma sobre estados dão o mesmo número. Fazendo a rotação de Wick t→−iβ (tempo imaginário), tudo fica real e absolutamente convergente:

A tabela abaixo é calculada ao vivo: a coluna "Σ estados" soma ψn(x)ψn(y)e−βEn termo a termo (usando a recursão de Hermite); a coluna "caminho" avalia a fórmula fechada de Mehler, que vem da integral de caminho gaussiana. As duas foram obtidas por rotas completamente distintas.

Deslize N de 1 até 60 e veja o erro despencar. Com β grande poucos termos bastam (o fator e−βEn mata os estados altos); com β pequeno é preciso muito mais — que é a versão numérica do fato de que tempos curtos exigem todos os caminhos. Bônus verificável: a função de partição Z=∫KE(x,x)dx=∑ne−βEn=12sinh⁡(β/2) — a mesma rotação de Wick que conecta mecânica quântica e mecânica estatística.

Quando usar cada formalismo

O texto escreve K=⟨xf|e−iH^T/ℏ|xi⟩ como limite de uma integral sobre N−1 posições intermediárias e diz que cada fatia “é calculável exatamente”. Fazemos a conta para a partícula livre, H^=p^2/2m: uma fatia, a composição de duas fatias e o resultado final, que é exato para qualquer N. Usamos a base de momento ⟨x|p⟩=eipx/ℏ/2πℏ (função de onda).

Uma fatia de duração ϵ Inserindo ∫dp∣p⟩ ⁣⟨p∣=1, com p^2∣p⟩=p2∣p⟩: Kϵ(x′;x)=∫dp2πℏ eip(x′−x)/ℏ e−ip2ϵ/2mℏ. É uma gaussiana ∫dp e−ap2+ibp=π/a e−b2/4a com a=iϵ2mℏ (convergente com ϵ→ϵ−i0) e b=(x′−x)/ℏ: Kϵ(x′;x)=12πℏ2πmℏiϵ e im(x′−x)2/2ℏϵ=m2πiℏϵ exp⁡ ⁣[iℏ m(x′−x)22ϵ]. O expoente é iℏ ϵ m2(x′−xϵ)2: a ação discretizada da fatia, a V=0, como no texto.

A composição de duas fatias Integrando sobre a posição intermediária x′ (completeza): ∫dx′ Kt2(x′′;x′)Kt1(x′;x)=m2πiℏt1t2∫dx′exp⁡{im2ℏ[(x′′−x′)2t2+(x′−x)2t1]}. O colchete é quadrático em x′ com coeficiente de x′2 igual a t1+t2t1t2. Completando o quadrado, a parte que sobra depois de integrar x′ é x′′2t2+x2t1−t1t2t1+t2(x′′t2+xt1) ⁣2=(x′′−x)2t1+t2, (conferência: o coeficiente de x′′2 é 1t2−t1t2(t1+t2)=1t1+t2, idem para x2, e o termo cruzado é −2x′′xt1+t2). A integral gaussiana ∫dy eiαy2=iπ/α, com α=m(t1+t2)2ℏt1t2, contribui 2πiℏ t1t2/m(t1+t2), e o prefactor total fica m2πiℏt1t22πiℏ t1t2m(t1+t2)=m2πiℏ(t1+t2). Logo Kt2⋆Kt1=Kt1+t2: a forma é preservada, só o tempo soma.

N fatias: o resultado é exato Por indução, compor N fatias de duração ϵ=T/N dá a mesma expressão com T=Nϵ, para qualquer N (não é preciso tomar o limite): K(xf,T;xi,0)=m2πiℏT exp⁡ ⁣[iℏ m(xf−xi)22T]=m2πiℏT eiScl/ℏ,Scl=m(xf−xi)22T. A fase é exatamente Scl/ℏ, com Scl a ação da trajetória reta de velocidade (xf−xi)/T.

Duas conferências (i) K resolve a equação de Schrödinger livre. De ln⁡K=const−12ln⁡t+imx22ℏt saem ∂tln⁡K=−12t−imx22ℏt2, ∂xln⁡K=imxℏt e ∂x2K/K=−m2x2ℏ2t2+imℏt. Então iℏ ∂tKK=−iℏ2t+mx22t2=−ℏ22m∂x2KK. (ii) K→δ(xf−xi) quando T→0+: a integral ∫dx K vale m/2πiℏT2πiℏT/m=1 para todo T, e a fase oscila cada vez mais rápido fora de xf=xi.

Leitura física e número ∣K∣=m/2πℏT não depende de xf: todos os destinos são igualmente prováveis em módulo, e a informação está na fase Scl/ℏ, cujo gradiente ∂xfScl=m(xf−xi)/T é o momento clássico. O comprimento ℓ=2πℏT/m fixa a escala da janela quântica do laboratório (acoh=2πℏT/m). Para um elétron e T=1 fs, ℓ=0,853 nm e ∣K∣=1/ℓ=1,17×109 m−1.

Resultado. K(xf,T;xi,0)=m2πiℏTexp⁡ ⁣[im(xf−xi)22ℏT], exato para a partícula livre, com fase Scl/ℏ; satisfaz iℏ∂tK=−ℏ22m∂x2K e K→δ em T→0.