A equação de Schrödinger

Se a evolução é uma rotação, alguém tem de dizer com que velocidade ela gira. É isso, e só isso, que a equação de Schrödinger faz — e quem determina a velocidade é a energia.

Vale desmontar um mito: a equação não é misteriosa, é a mesma ideia de "taxa de variação = causa" que aparece em toda a física, de circuitos elétricos a populações de bactérias. O que é incomum é o objeto que ela move — uma seta complexa, não um número.

Projetando iℏ ∂t∣ψ⟩=H^∣ψ⟩ na base de posição — isto é, aplicando ⟨x∣ dos dois lados e usando o dicionário da seção A função de onda é ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ — obtemos a forma que aparece nos livros:

É exatamente a mesma equação da seção anterior, escrita noutro idioma. Nada de novo foi postulado: só trocamos a base.

Dependente do tempo (TDSE)

Governa a dinâmica de qualquer estado. É de primeira ordem no tempo: dado ψ(x,0), todo o futuro está determinado. E o i explícito faz dela uma equação de difusão imaginária — daí soluções ondulatórias, não decaimentos.

Independente do tempo (TISE)

Não é uma equação de movimento — é um problema de autovalores. Você a resolve uma vez para achar o espectro {En} e a base {ψn}; depois a dinâmica sai de graça.

A receita universal de resolução

Praticamente todo problema de mecânica quântica não-relativística segue este roteiro de quatro passos:

Se ∣ψ(0)⟩=∣n⟩ (um único autoestado), então ∣ψ(t)⟩=e−iEnt/ℏ∣n⟩ — muda só por uma fase global. E fase global é fisicamente invisível: ∣ψn(x,t)∣2=∣ψn(x)∣2 para sempre. Nada se move, nenhuma probabilidade muda. Movimento exige superposição de energias diferentes. Sem ΔE, sem dinâmica — o que é, aliás, a relação de incerteza tempo-energia ΔE Δt≳ℏ/2 em forma qualitativa.

Laboratório: poço infinito, do estado inicial à animação

O poço quadrado infinito é o "átomo de hidrogênio" do estudante: solução exata, espectro simples, e ainda assim mostra toda a fenomenologia. Com V=0 dentro de [0,L] e paredes impenetráveis:

O painel da direita é a mesma informação do painel da esquerda, só que na base de energia. Repare que as barras nunca mudam de altura durante a animação — as populações ∣cn∣2 são constantes de movimento, porque H^ comuta consigo mesmo. O que muda são as fases e−iEnt/ℏ, invisíveis nesse gráfico mas responsáveis por todo o movimento do pacote à esquerda. Aumente p0 e veja o pacote quicar mais rápido nas paredes; diminua σ e veja a dispersão acelerar (menos σ ⇒ mais Δp ⇒ mais espalhamento).

O texto diz que “menos σ implica mais Δp implica mais espalhamento”. Resolvemos o caso exato: partícula livre, H^=p^2/2m, estado inicial gaussiano de momento médio nulo (um momento médio p0 só desloca o pacote por p0t/m). Usamos a base de momento (função de onda), onde H^ é diagonal, e voltamos a x por uma integral gaussiana.

Estado inicial e propagação em p Tome ψ(x,0)=(2πσ02)−1/4 e−x2/4σ02, de modo que ∣ψ∣2 tem desvio-padrão σ0. Na base de momento, H^∣p⟩=p22m∣p⟩, então cada componente só ganha uma fase (evolução unitária): ψ(x,t)=∫dp eipx/ℏ2πℏ e−ip2t/2mℏ ψ~(p).

A gaussiana em momento Com ∫dx e−ipx/ℏe−x2/4σ02=4πσ02 e−σ02p2/ℏ2: ψ~(p)=(2σ02πℏ2) ⁣1/4e−σ02p2/ℏ2,∣ψ~∣2∝e−2σ02p2/ℏ2 ⇒ Δp=ℏ2σ0. (Normalização: ∫∣ψ~∣2dp=2σ02/πℏ2πℏ2/2σ02=1.) ∣ψ~∣2 não depende de t: as probabilidades de momento são constantes de movimento.

A integral gaussiana complexa Juntando as exponenciais, o integrando é exp⁡[−Ap2+iBp] com A=σ02ℏ2+it2mℏ,B=xℏ. Como ∫dp e−Ap2+iBp=π/A e−B2/4A (vale para ReA>0): ψ(x,t)=N(t) exp⁡ ⁣[−x24(σ02+iℏt/2m)]=N(t)exp⁡ ⁣[−x24σ02(1+iτ)],τ≡ℏt2mσ02.

A densidade: largura que cresce Como Re 11+iτ=11+τ2, o módulo quadrado é ∣ψ(x,t)∣2∝exp⁡ ⁣[−x22σ02(1+τ2)] ⟹ σ(t)=σ01+(ℏt2mσ02) ⁣2. A normalização se conserva (a norma em p é constante). A fase Im[1/(1+iτ)]=−τ/(1+τ2) multiplica x2: é um “chirp”, isto é, o momento local cresce linearmente com x, porque as componentes rápidas chegam mais longe.

Leituras: tempo característico, limite balístico e incerteza A escala de tempo é t∗=2mσ02/ℏ: para t≪t∗, σ≈σ0; para t≫t∗, σ(t)→ℏt2mσ0=Δpm t. É o espalhamento balístico: cada componente de momento viaja com velocidade p/m. Equivalentemente σ2=σ02+(Δp/m)2t2, o resultado de Heisenberg em Pinturas. O produto σ(t) Δp=ℏ21+τ2≥ℏ2 satura a incerteza só em t=0.

Números Elétron com σ0=0,1 nm: t∗=2meσ02/ℏ=1,73×10−16 s. Em t=1 fs, τ=5,79 e σ=0,11+5,792=0,587 nm; em 1 ps, σ=0,58 μm. Um grão de poeira de 1 g com σ0=1 μm tem t∗=1,9×1019 s, cerca de 6×1011 anos: não se espalha por razões práticas.

Resultado. ψ(x,t)∝exp⁡[−x2/4σ02(1+iτ)], τ=ℏt/2mσ02, σ(t)=σ01+τ2, com Δp=ℏ/2σ0 constante. Elétron com σ0=0,1 nm: σ(1 fs)=0,587 nm.